【同步练习】苏科版初二数学下册 第9章《中心对称图形》全章复习（知识讲解）

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第9章 中心对称图形——平行四边形（全章复习与巩固）
（知识讲解）
【学习目标】
1.掌握旋转的三要素，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；
2.理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
4. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.
5. 掌握三角形中位线定理.
【要点梳理】
要点一、旋转的定义及性质
（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点二、中心对称与中心对称图形
1.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
　　这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系．
②对称中心不定．
①指一个图形本身成中心对称．
②对称中心是图形自身或内部的点．
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
要点三、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
要点四、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点五、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点六、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、旋转与中心对称➽➼性质➽➼证明✮✮求角度✮✮求线段
1．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．

举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为．
(1)如图，当时，求点的坐标；
(2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

【变式2】已知，且它们都是等腰直角三角形，．
(1)如图1，当点D在边上时，连接并延长交于点F，则 ．（直接填空）
(2)绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接并延长交于点F．
①求证：；   
②求证：点F为中点．

2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，．将绕点O按逆时针方向旋转后得到．

(1)画出，并写出点，，的坐标；
(2)画出关于原点O对称的；
举一反三：
【变式1】如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1) 画出关于原点成中心对称的；
(2) 画出绕C点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为______；
(3) 若P为y轴上一点，求的最小值．

【变式2】如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．
(1) 当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(2) 当点与点重合时，求的值；
(3) 当时，求的值；
(4) 若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．

类型二、平行四边形➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
3．已知：如图，在四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1) 求证：互相平分；
(2) 若，求四边形的周长和面积．

举一反三：
【变式1】如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，．
(1) 求证：四边形是平行四边形．
(2) 若与交于点，且，，，求的面积．

【变式2】已知四边形，，，，，是的角平分线，交射线于，线段的延长线上取一点使，直线，交于点．
(1) 补全图形；
(2) 猜想的形状，并证明你的猜想；
(3) 求与的数量关系．

类型三、矩形➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
4．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1) 求证：四边形ABCD是矩形．
(2) 若，求的度数．

举一反三：
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(1) 求证：四边形ABCD是矩形；
(2) 若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3) 在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．

【变式2】如图1，在ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，，．
(1) 求证：四边形BFCE是矩形；
(2) 如图2，连接EF与BC交于点O，当四边形ABCD是矩形时，试判断EF与BC关系，并说明理由．

类型四、菱形➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
5．如图，在中，，分别以点，点为圆心、大于为半径作弧，两弧交于点，点，作直线，交边于点，交边于点，过点作交于点，连接．

(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若四边形是菱形，直接写出的度数．
举一反三：
【变式1】已知：四边形中，，，点E在对角线上，F在边上，连接，且，．
(1) 求证：；
(2) 若，，，求长．

【变式2】在中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F．

(1) 求证：；
(2) 证明：四边形ADCF是菱形：
(3) 若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．

类型五、正方形➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
6．如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F，
(1) 判断BD与CG的数量关系，并证明；
(2) 求证：；
(3) 若，求AE的值．
举一反三：
【变式1】如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、．

（1）求证：．
（2）延长交于点F，若．求的度数．
【变式2】如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MNOA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t．
(1) 求点M的坐标（用含t的代数式表示）；
(2) 求直线OB的解析式；
(3) 求线段MN的长度．

类型六、中位线➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
7．如图，中，，于点，，．
(1) 求，的长；
(2) 若点是射线上的一个动点，作于点，连接．当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长．

举一反三：
【变式1】如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E为的中点，于点F，点G为上一点，连接，且．

(1) 求证：四边形为矩形；
(2) 若，，，求矩形的面积．

【变式2】如图，正方形和正方形有公共顶点D．
(1) 如图1，连接和，直接写出和的数量及位置关系 ；
(2) 如图2，连接，M为中点，连接、，探究、的数量及位置关系，并说明理由；


第9章 中心对称图形——平行四边形（全章复习与巩固）
（知识讲解）
【学习目标】
1.掌握旋转的三要素，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；
2.理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
4. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.
5. 掌握三角形中位线定理.
【要点梳理】
要点一、旋转的定义及性质
（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点二、中心对称与中心对称图形
1.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
　　这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系．
②对称中心不定．
①指一个图形本身成中心对称．
②对称中心是图形自身或内部的点．
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
要点三、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
要点四、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点五、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点六、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、旋转与中心对称➽➼性质➽➼证明✮✮求角度✮✮求线段
1．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．

【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）在和中，利用即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得，从而求解．
解：（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
又，
又中，，
中，，
，
．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确证明三角形全等．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为．
(1)如图，当时，求点的坐标；
(2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

【答案】(1) (2)点的坐标为或
【分析】（1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可．
（2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得．
（1）解：如图，过点作于．

，
，
，
，
．
（2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．

轴，
，
，，
，
∵，
，
，
，
当在轴下方时，同法可得．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点拨】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】已知，且它们都是等腰直角三角形，．
(3)如图1，当点D在边上时，连接并延长交于点F，则 ．（直接填空）
(4)绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接并延长交于点F．
①求证：；   
②求证：点F为中点．

【答案】(1) (2)①见分析；②见分析
【分析】（1）根据，可得，从而得到，再由，即可求解；
（2）①根据，可得，从而得到，进而得到，即可求证；②过点E作交BF延长线于G，可得到，再由，可得，从而得到，可证得，即可求证．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴；
故答案为：
（2）①证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点E作交BF延长线于G，

∴，
由①得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴F为的中点．
【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，．将绕点O按逆时针方向旋转后得到．

(3)画出，并写出点，，的坐标；
(4)画出关于原点O对称的；
【答案】(1)画图见分析，，， (2)见分析
【分析】（1）将点A，B，C绕点O逆时针旋转，再连接三个顶点，并确定坐标；
（2）将三个点绕原点旋转，再连接三个顶点即可．
解：（1）如图所示．

点的坐标，点的坐标是，点的坐标是；
（2）如图所示．

【点拨】本题主要考查了作旋转图形，确定图形各顶点旋转后的对应点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．
(4) 画出关于原点成中心对称的；
(5) 画出绕C点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为______；
(6) 若P为y轴上一点，求的最小值．

【答案】(1)见分析 (2)图见分析， (3)见分析，的最小值为
【分析】（1）根据中心对称确定点，顺次连线即可；
（2）根据旋转的性质得到点，连线即可得到及的坐标；
（3）取点C关于y轴的对称点，连接交y轴一点即为点P，此时的值最小，利用勾股定理计算即可．
（1）解：如图，即为所求；

（2）如图，即为所求，；
故答案为：；
（3）如图，点P即为所求，此时，即的最小值为，
，
∴的最小值为．
【点拨】此题考查了作图—旋转变换，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会利用轴对称解决最短路径问题．
【变式2】如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．
(5) 当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(6) 当点与点重合时，求的值；
(7) 当时，求的值；
(8) 若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．

【答案】(1)2t-4（2≤t≤5）； (2) (3)t=或； (4)满足条件的t的值为或．
【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
（2）先判断P的位置，再根据BP+CQ=BC，构建方程求解；
（3）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（4）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（1）解：当2≤t≤5时，PB=2t-4，
故答案为：（2t-4）（2≤t≤5）；
（2）当时，重合，此时不重合，
当P，Q重合时，2t-4+t=6，
∴；
（3）当BQ=2PB时，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4），
解得，或，
∴t=或；
（4）当点P在AB上时，如图甲所示，
∴×2（4-2t）×6=×t×4，
解得，．
当点P在BC上时，如图乙所示，
×2（2t-4）×4=×t×4，解得，，
综上所述，满足条件的t的值为或．

【点拨】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
类型二、平行四边形➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
3．已知：如图，在四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(3) 求证：互相平分；
(4) 若，求四边形的周长和面积．

【答案】(1)见分析 (2)四边形的周长为12，四边形的面积为
【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明．
（2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，

在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
举一反三：
【变式1】如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，．
(3) 求证：四边形是平行四边形．
(4) 若与交于点，且，，，求的面积．

【答案】(1)见分析 (2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证；
（2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵等边和等边，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
过G作于H，
在中，，，，
∴，
中，，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．

【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键．
【变式2】已知四边形，，，，，是的角平分线，交射线于，线段的延长线上取一点使，直线，交于点．
(2) 补全图形；
(2) 猜想的形状，并证明你的猜想；
(3) 求与的数量关系．

【答案】(1)见分析 (2)是等边三角形，理由见分析 (3)，理由见分析
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论：是等边三角形；通过证明垂直平分线段，证得≌，再证明，推出，可得结论；
（3）结论：，过点作交于点．证明四边形是平行四边形，推出，再利用全等三角形的性质证明，可得结论．
（1）解：图形如图所示：

（2）解：猜想是等边三角形．
理由如下：
如图，设交于点H，

∵，平分，
∴
在与中，
，
∴，
∴，，
∴垂直平分线段，
，
在和中，
∵，
∴≌，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
在四边形中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（3）解：，理由如下：
证明：如图，过点作交于点．

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
类型三、矩形➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
4．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(3) 求证：四边形ABCD是矩形．
(4) 若，求的度数．

【答案】(1) 见分析 (2) 10°
【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．
（2）由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，则∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵于点E，于点F，
∴，
又∵  ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(4) 求证：四边形ABCD是矩形；
(5) 若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(6) 在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．

【答案】(1)详见分析； (2)75°； (3)．
【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；
（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，
由（1）可知，∠OCB＝30°，
∴AC=2AB=4，
∴，
∴矩形OEC的面积．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】如图1，在ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，，．
(3) 求证：四边形BFCE是矩形；
(4) 如图2，连接EF与BC交于点O，当四边形ABCD是矩形时，试判断EF与BC关系，并说明理由．

【答案】(1)见分析 (2)EF⊥BC，EF＝BC，理由见分析
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，得∠BEC＝90°，即可得答案；
（2）根据四边形ABCD是矩形，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，得BE＝CE，又因为四边形BFCE是矩形，得四边形BFCE是正方形，即可得答案．
(1)解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC， ∠ECB＝∠BCD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，    
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠EBC＋∠ECB＝（∠ABC＋∠BCD）＝×180°＝90°，  
∴∠BEC＝90°，
又∵BFCE，CFBE，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴平行四边形BFCE是矩形；
(2)EF与BC关系为 EF⊥BC，EF＝BC ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，    
∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠BCD＝45°，
∴ BE＝CE，
由（1）得：四边形BFCE是矩形，
∴四边形BFCE是正方形，
∴EF⊥BC，EF＝BC．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，解题的关键是掌握相关性质．
类型四、菱形➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
5．如图，在中，，分别以点，点为圆心、大于为半径作弧，两弧交于点，点，作直线，交边于点，交边于点，过点作交于点，连接．

(3) 求证：四边形是菱形；
(4) 若四边形是菱形，直接写出的度数．
【答案】(1)见分析 (2)
【分析】（1）由题意可知，为线段的垂直平分线，则，，，根据等腰三角的性质可得，由平行线的性质可得，进而可得，即，则，由此即可证明．
（2）由菱形的性质可得，进而可得为等边三角形，即，由（1）知，四边形是菱形，则，根据即可得答案．
（1）证明：由题意可知，为线段的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
，
，
即为等边三角形，
，
由（1）知，四边形是菱形，
，
，
．
【点拨】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和作图方法，以及菱形的判定与性质是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：四边形中，，，点E在对角线上，F在边上，连接，且，．
(3) 求证：；
(4) 若，，，求长．

【答案】(1)见分析 (2)．
【分析】（1）先证明四边形是菱形，设，，则，求得，，推出，据此即可证明结论；
（2）利用菱形的性质求得，设，则，，，由，求得，据此求解即可．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
连接，，设，，则，

∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
在中，，，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式2】在中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F．

(4) 求证：；
(5) 证明：四边形ADCF是菱形：
(6) 若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．

【答案】(1) 见分析 (2) 见分析 (3) 6
【分析】(1)根据AAS证；
(2)利用全等三角形的对应边相等得到AF＝DB，证出四边形ADCF是平行四边形，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；
(3)由Rt△ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．
（1）证明：∵，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，

∴；
（2）证明：由（1）知，，
则AF＝DB，
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：连接DF，如图所示：
∵，，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝4，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
类型五、正方形➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
6．如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F，
(4) 判断BD与CG的数量关系，并证明；
(5) 求证：；
(6) 若，求AE的值．

【答案】(1)，证明见分析 (2)证明见分析 (3)
【分析】（1）证明即可求解；
（2）连接DG，证明，结合（1）的结论即可求解；
（3）连接DG，勾股定理求得的长，继而求得的长，由（1）知，由（2）知，在中，勾股定理可得的长，由四边形是正方形，即可求解．
（1）解：
证明：∵四边形是正方形，∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴．
∴
（2）证明：如图，连接GF，∵四边形是正方形，

∴，
在和中，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴在中，，
∴
（3）连接DG，
∵，
∴在中，

，
∵，∴，
由（1）知，
由（2）知，在中，，
∵四边形是正方形，
∴，
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转模型全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、．

（1）求证：．
（2）延长交于点F，若．求的度数．
【答案】（1）见分析；（2）60°
【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论；
（2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS）；
（2）∵FD=FE，
∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x，
∵四边形ABCD是正方形

∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x，
∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC=135°-2x，
∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°，
解得：x=30，
∴∠AFE=60°．
【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式2】如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MNOA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t．
(4) 求点M的坐标（用含t的代数式表示）；
(5) 求直线OB的解析式；
(6) 求线段MN的长度．

【答案】(1) (t+4，t) (2) y＝x (3)4
【分析】（1）作ME⊥x轴于E，则∠MEP＝90°，先证出∠PME＝∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得出ME＝PO＝t，EP＝OC＝4，求出OE，即可得出点M的坐标；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）连接AM，AB与MN交于点F，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE＝45°＝∠BOA，AM∥OB，再证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN＝OA＝4．
（1）解：作ME⊥x轴于E，如图所示，则∠MEP＝90°，ME∥AB，

∴∠MPE+∠PME＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠POC＝90°，OA＝OC＝AB＝BC＝4，∠BOA＝45°，
∵PM⊥CP，
∴∠CPM＝90°，
∴∠MPE+∠CPO＝90°，
∴∠PME＝∠CPO，
在△MPE和△PCO中，
，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME＝PO＝t，EP＝OC＝4，
∴OE＝t+4，
∴点M的坐标为：（t+4，t）；
（2）∵AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，
∴点B（4，4），
设直线OB解析式为y＝kx，
∴4＝4k，
∴k＝1，
∴直线OB解析式为y＝x；
（3）连接AM，AB与MN交于点F，如图所示：

∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵EP＝OC＝OA，
∴AE＝PO＝t＝ME，
∴四边形AEMF是正方形，
∴∠MAE＝45°＝∠BOA，
∴AM∥OB，
∴四边形OAMN是平行四边形，
∴MN＝OA＝4．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
类型六、中位线➽➼性质与判定➽➼求线段长✮✮求角度✮✮证明
7．如图，中，，于点，，．
(3) 求，的长；
(4) 若点是射线上的一个动点，作于点，连接．当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长．

【答案】(1)5， (2)2或
【分析】（1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长；
（2）分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题．
（1）解：，，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
；
（2）分两种情况：
当时，过作于，如图1所示：

，
，
，
是的中位线，
；
当时，如图2所示：

在和中，
，
，
，
；
综上所述，的长为2或．
【点拨】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、分类讨论等知识；正确作出辅助线是等腰三角形是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E为的中点，于点F，点G为上一点，连接，且．

(3) 求证：四边形为矩形；
(4) 若，，，求矩形的面积．

【答案】(1)见分析 (2)
【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2），，证是等腰直角三角形，得，然后由勾股定理得，得出，得出，即可解决问题．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由（1）可知，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】如图，正方形和正方形有公共顶点D．
(3) 如图1，连接和，直接写出和的数量及位置关系 ；
(4) 如图2，连接，M为中点，连接、，探究、的数量及位置关系，并说明理由；

【答案】(1)，； (2)且，理由见分析
【分析】（1）如图，延长交于，交于Q，证明，可得到和的关系；
（2）延长至H，使，延长交于，再证明，最后由中位线得到结论；
（1）解：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
如图，延长交于，交于Q，
∵，
∴，
∴，
∴且．

（2）且，理由如下：
延长至点H，使得，连接，延长交于，则，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∵点M，D分别是，的中点，
∴，，
∴，且．

【点拨】本题主要考查了正方形、三角形全等、三角形的中位线，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质，对于想象能力不太好的同学，可以先画出对应的图形，然后根据图形特点逐步解题．