2022-2023学年陕西省咸阳市乾县第一中学高二上学期第一次质量检测数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市乾县第一中学高二上学期第一次质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.

【详解】平方得：，

即，解得：

故选：A

2．已知数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先通过归纳得到数列的周期为3，即得解.

【详解】当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以数列的周期为3，

因为，

所以.

故选：B

3．设等差数列 ​的前​项和为​，若 ​，则 ​（    ）

A．​ B． ​ C．​ D． ​

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质可得，利用等差数列前n项和公式即可求得答案.

【详解】​等差数列​中，，故，

，

故选：B.​

4．某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用等比例分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则(    )

A．21 B．24 C．27 D．30

【答案】C

【分析】根据分层抽样的等比例特性计算即可．

【详解】总体容量为，则总体中，甲品牌占的比例为，

样本中甲品牌占的比例为，

∵是等比例抽样，故，解得．

故选：C．

5． 执行如图所示的程序框图，输出S的值为

A．－ B． C．－ D．

【答案】D

【详解】试题分析：由已知可得，故选D.

【解析】程序框图.

6．若两个等差数列和的前项和分别是，，已知，则（    ）

A． B． C．7 D．

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．

【详解】由已知得

.

故选：B.

【点睛】等差数列的性质的灵活应用是解决此题的关键，等差数列是比较重要的一类数列，也是高考中考查的重点内容.

7．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.

【详解】根据函数的图象，可得，可得，

所以，

又由，可得，即，

解得，

因为，所以.

故选：A.

8．运动员甲 ​次射击成绩 （单位: 环） 如下:​，则下 列关于这组数据说法不正确的是（    ）

A．众数为 ​和​ B．平均数为 ​

C．中位数为 ​ D．方差为 ​

【答案】C

【分析】根据众数，平均数，中位数和方差的定义，即可判断选项.

【详解】由题意，这组数据中 7 和9都出现 3 次，其余数出现次数没超过 3 次，

故众数为7和9，A正确；

计算平均数为​，故B正确；

将10次射击成绩从小到大排列为: ​，

则中位数为 ​，故C错误；

方差为​，故D正确.

故选：C

9．已知是平面内一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则点的轨迹一定通过的（　　）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.

【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，

则的方向为∠BAC的平分线的方向，

又，所以λ的方向与的方向相同.

而＝＋λ可得，

所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过的内心.

故选：.

10．在各项为正的递增等比数列 ​中，​，则​（    ）

A．​ B．​

C．​ D．​

【答案】B

【分析】首先根据等比数列的通项公式求，再利用公比表示，代入方程，即可求得公比，再表示通项公式.

【详解】数列 ​为各项为正的递增数列，设公比为​，且​，

​，

​

​，

​，

​，

即 ​，

解得: ​

​

​.

故选：B

11．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出，利用二倍角公式求出.

【详解】由，可得

又

故选：C.

【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)根据条件选择合适的公式进行计算．

12．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（    ）

A．0.368 B．0.468 C．0.648 D．0.848

【答案】C

【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可

【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为

二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为，

而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为，

故选：C

二、填空题

13．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.

【答案】且

【分析】根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围.

【详解】由于与夹角为钝角，所以，

解得且.

所以的取值范围是且.

故答案为：且

14．若等差数列满足，，则当的前项和最大时，的值为________.

【答案】8

【分析】利用等差数列的性质可得，分析即得解

【详解】∵等差数列满足

∴等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，

∴当的前项和最大时的值为8

故答案为：8

15．已知，，且，则______．

【答案】0.5

【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值，再利用即求.

【详解】依题意，则，

所以，

所以，，

所以

.

故答案为：.

16．给出如下几个命题：

①若A​是随机事件，则 ​；

②若事件 A​与​是互斥事件，则A​与​一定是对立事件；

③若事件A​与​是对立事件，则A​与​一定是互斥事件；

④事件中至少有一个发生的概率一定比中恰有一个发生的概率大．

其中正确的是___________．（填序号）

【答案】①③

【分析】根据随机事件的概念可判断①；根据互斥事件与对立事件的关系可判断②③；举例当事件互斥时事件中至少有一个发生的概率和中恰有一个发生的概率一样大，判断④.

【详解】①若A为不可能事件时，其概率为0，当A为必然事件时，其概率为1，

不可能事件和必然事件是作为随机事件的两个极端情形，故，所以①正确；

②若事件A与B是互斥事件，则A与B不一定是对立事件，比如掷色子“朝上的面为1”和”朝上的面为2“互斥但不对立，所以不正确；   

③若事件A与B是对立事件，即A与B不会同时发生，则A与B一定是互斥事件，所以正确；  

④事件 中至少有一个发生的概率不一定比中恰有一个发生的概率大，比如当互斥时则概率一样大，所以错误.

故答案为：①③

三、解答题

17．已知等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将利用已知条件求得，由此求得数列的通项公式；

（2）利用等差数列前项和公式求得

【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，

因为，所以，又，

所以公差，

所以．

（2）由（1）知，，

所以.

【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于中档题.

18．已知函数.

（1）求的值；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.

【分析】（1）直接代值计算可得结果；

（2）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由计算得出的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值.

【详解】（1）；

（2）

，

当时，，

所以，当时，取最小值，即，

当时，取最大值，即.

【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：

第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；

第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；

第三步：求出所求函数的值域（或最值）.

19．已知数列满足，，令

(1)求证：是等比数列；

(2)记数列的前项和为，求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设数列的前项和为，则，则，两式作差，化简整理可得，根据等比数列的定义，即可得证.

（2）由（1）可得，利用错位相减求和法，计算化简，即可得答案.

【详解】(1)证明：，

，①

②

①-②得，

经检验，当时上式也成立，

即.

所以

即，且.

所以是首项为3，公比为3的等比数列.

(2)由（1）得，.

所以，

两式相减，得

，

20．某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)估计这次测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了5人，若从这5人中随机抽取2人向全班同学介绍自己 的学习经验，设事件A＝“抽取的两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；

（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；

（3）根据题意确定抽样比，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】(1)解：由频率分布直方图的性质，可得，

解得.

(2)解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式，

这次测试成绩的平均数为 （分）.

(3)解：测试成绩位于的频率，

位于的频率，

因为，所以确定的5人中成绩在内的有3人，分别记为，成绩在内的有2人，分别记为，

从5人中随机抽取2人的样本空间：共有10个样本点，

其中，即，

所以概率为.

21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．

(1)求角A的大小；

(2)求周长的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可的解；

（2）利用正弦定理求得边，再利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质即可得出答案.

【详解】(1)解：由余弦定理，即，

所以，因为，所以．

(2)由正弦定理：，则，，

由（1），故

因为，则，

所以，即周长范围是．

22．某杂志刚刚上市销售，销售前对该杂志拟定了5种单价进行试销售，每本单价x（元）试销售1天，得到如表单价x（元）与销量y的数据关系：

(1)已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)若该杂志每本的成本为5元，要使得售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？

附：．

【答案】(1).

(2)单价定为20元.

【分析】（1）运用公式直接求回归直线的方程即可；

（2）写出利润与单价x的函数关系式，求其最值即可.

【详解】(1)因为，

，

，，所以

，

，

所以y关于x的回归直线方程为．

(2)设获得的利润为W，则，

因为二次函数的开口向下，

所以当时，W取最大值，故当单价定为20元时，可获得最大利润．