2022-2023学年陕西省咸阳市乾县第一中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市乾县第一中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．在直角坐标系中，若角的终边经过点，，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，再利用诱导公式求得的值．

【详解】解：角的终边经过点，，则，，

则，

故选：B．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

2．已知​中，​， 则​等于（    ）

A．​ B．​

C．​或​ D．​或​

【答案】C

【分析】利用正弦定理求得，再由大边对大角得到，由此可得​的值.

【详解】因为​，

所以​由正弦定理​得，​，

由得​，

所以​或​.

故选：C.

3．已知向量是非零向量，是单位向量，的夹角为，且，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】由，可得，化简后可求出.

【详解】因为，

所以，即，

因为是单位向量，的夹角为，

所以，

因为向量是非零向量，

所以，

故选：A

4．北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，用列举法写出所有的基本事件及没有选择冰壶的所有事件，从而求出没有选择冰壶的概率.

【详解】解：记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，

则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，

其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，

所以所求概率为.

故选：C.

5．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是（    ）

A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.

【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

，

B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，

C选项结论错误.

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，

D选项结论正确.

故选：C

6．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】将结合正弦定理可得到，与联立可得到，继而得到答案

【详解】解：由及正弦定理得，即①，

又，即②，

将②代入①可得即③，将③代入①得，

所以，从而为等边三角形，

故选：C

7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以为基底，结合已知条件，由平面向量的线性运算可得.

【详解】在△ABC中，AD⊥AB，，，

则

.

故选：A．

8．执行下边的程序框图，输出的（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据框图循环计算即可.

【详解】执行第一次循环，，

，

；

执行第二次循环，，

，

；

执行第三次循环，，

，

，此时输出.

故选：B

9．已知 ， 则 （    ）

A．506 B．1011 C．2022 D．4044

【答案】D

【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可.

【详解】解：，

，

，，

，，

显然，当时，满足，

∴，

.

故选：D.

10．数列 ​中，​， 若​， 则​（    ）

A．5 B．6 C．7 D．17

【答案】B

【分析】先令得到，从而得到数列​是等比数列，进而求得，再将化为，由此可得的值.

【详解】依题意，令​，则​，即有​，

故数列​是以2为首项，2为公比的等比数列，

设数列​的前​项和为​，则，

所以，

又因为，

所以，故​.

故选：B​.

11．已知数列中，，，则（    ）

A．2045 B．1021 C．1027 D．2051

【答案】A

【解析】由数列递推关系式得到数列 为首项为4，公比为2的等比数列．求出其通项公式可得的值．

【详解】，变形为

即

故数列 为等比数列，首项为4，公比为2．

．

故选：A

12．关于函数，下列命题中为假命题的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．直线是图象的一条对称轴

C．点是图象的一个对称中心

D．的最大值为

【答案】B

【分析】化简的解析式，结合三角函数的周期性、对称性最值求得正确答案.

【详解】，

的最小正周期为，A选项正确.

的最大值为，D选项正确.

，所以不是图象的一条的对称轴，B选项错误.

，所以是图象的一个对称中心，C选项正确.

故选：B

二、填空题

13．若等差数列满足，，则当的前项和最大时，的值为________.

【答案】8

【分析】利用等差数列的性质可得，分析即得解

【详解】∵等差数列满足

∴等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，

∴当的前项和最大时的值为8

故答案为：8

14．在 ​中， 内角​的对边分别为​， 若​， 且​的外接圆面积为​， 则​的面积为________

【答案】

【分析】先由题设条件求得，再由正弦定理求得，由三角形内角和与诱导公式求得，从而利用三角形面积公式即可求得结果.

【详解】因为，，所以，

又因为，所以，，

因为​的外接圆面积为​，所以由得，

由正弦定理得，，，

又因为，

所以​.

故答案为：.

15．已知 ​， 则​_________

【答案】

【分析】先由的范围及的值确定的范围，再利用三角函数基本关系式中的平方关系求得，从而利用正弦的倍角求得.

【详解】因为​，所以​，又​，

因为在上单调递增，所以，

所以​是第一象限角，即​，

所以​，

所以​.

故答案为：

16．已知数列 ​满足:​， 则数列​的前​项和​为_______

【答案】

【分析】类比与的关系，分类讨论与两种情况，证得，再代入，从而利用分组求和法即可求得.

【详解】因为，

所以当​时，​， 故​；

当​时，​，则，

​两式相减得:​，故​，

经检验:满足，

所以当​时，​，

所以​，

故​.

故答案为：.

三、解答题

17．已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求与；

（2）设数列满足，求的前项和.

【答案】（1）, （2）

【分析】（1）由和，可求出和，然后利用等差数列的性质可求出与；（2）由（1）知，可得，利用裂项相消的求和方法，可求出的前项和.

【详解】解：（1）设等差数列公差为，，故，

，故，

，，

易得，

∴ ．

（2）由（1）知，则，

则 ．

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题．

18．递增等比数列​满足​， 且​是​和​的等差中项.

(1)求数列​的通项公式；

(2)若​，求数列​的前​项和​.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等比数列的通项公式与等差中项公式列出方程组，求得基本量即可求得​的通项公式；

（2）结合（1）中结论，利用分组求和法即可求得.

【详解】(1)设等比数列的公比为​，

则由得​，

解得​或​(舍去)，

所以​.

(2)由（1）得​，

所以.

19．已知数列

(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和

【答案】(I).

【分析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n项和

【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，                                                      

又因为当，，所以                 

所以 等比数列，且                      

（2）

所以

【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

20．在中，角所对的对边分别为，且，

(1)求A；

(2)若，求的面积.

【答案】(1).

(2).

【分析】(1)边角转换，再利用三角恒等变换可求得角；

(2)利用正弦定理求得边长，再利用三角形内角关系求得.

【详解】(1)将条件中的边转换为角度的正弦值

∴

∴

又∵

∴

(2)由得，又得，

，

，

所以的面积为.

21．2021年5月习近平总书记到某地的医圣祠考察，总书记说，过去中华民族几千年都是靠中医药治病救人，特别是经过抗击新冠肺炎疫情、非典等重大传染病之后，我们对中医药的作用有了更深的认识，我们要发展中医药，注重用现代科学解读中医药学原理，走中西医结合的道路．某农科所经过实地考察和研究，发现某地适合种植甲、乙两种药材，通过大量考察研究，得到如下统计数据；药材甲的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如表：

药材乙的收购价格始终为21元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如图：

(1)若药材甲的单价y（单位；元/公斤）与年份编号x具有线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；

(2)用上述频率分布直方图估计药材乙的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2022年该地区种植哪种药材收益更高？并说明理由．

参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】(1)

(2)甲种药材，理由见解析

【分析】（1）根据表中的数据，利用公式求解y关于x的线性回归方程；

（2）当时利用回归方程求出2022年药材甲的收购价，从而可估算出总收入，再利用频率分布直方图求出药材乙的亩产量，再求出药材乙的总收入，然后比较即可

【详解】(1)由表中数据，，，，．

，，

∴y关于x的线性回归方程．

(2)当时．

即2022年药材甲的收购价约为32.9元．

药材乙的平均亩产量约为，

若种植甲种药材每亩地的收入约为，

若种植乙种药材每亩堆的收入约为，

故应该种植甲种药材．

22．在​中，​分别是角​的对边，已知向量​， 设函数​.

(1)求​的单调递增区间；

(2)若 ​，求​的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由三角恒等变化化简，再由正弦的图像性质求得​的单调增区间；

（2）结合（1）中结论求得，再由正弦定理得到，故可求得关于角的三角关系式，进而可求得的值.

【详解】(1)因为，

由 ​， 得​，

所以​的单调增区间为.

(2)由​得​，故，

因为，所以​，故，得，

所以​，又，，

所以​，

又 ​， 所以​，故​，

所以​最大值为​.