陕西省咸阳市乾县第一中学2022-2023学年高二上学期第一次质量检测数学（文科）试题（含答案）

2024届乾县第一中学高二第一次质量检测  数学 （文科）

 满分: 150分  高二 类型: 月考试卷

一.选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 

1. 已知 ​, 则​的值为（    ）

A.​ B.​      C.​ D.​

2. 已知数列 ​中,​, 则​（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

3. 设等差数列 ​的前​项和为​, 若​, 则​（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

4. 某电器城为应对即将到来的空调销售旺季, 批发了一批新型号空调, 其中甲品牌 ​台, 乙品牌​台, 丙品牌​台, 为了确保产品质量, 质检员要在这批空调中采用等比 例分层随机抽样的方法, 抽取一个容量为​的样本进行安全性能检验, 若甲品牌空调抽 取了​台，则​（    ）

A.21 B.24 C.27 D.30

5. 执行如图所示的程序框图, 则输出 ​的值为（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

6. 若两个等差数列 ​和​的前​项和分别是​, 已知​, 则​（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

7. 函数 ​的部分图象如图所示, 则​的值分别 是（    ）

A.​ B.​  C.​ D.​

运动员甲 ​次射击成绩 (单位: 环) 如下:​, 则下 列关于这组数据说法不正确的是（    ）

A.众数为 ​和​ B.平均数为 ​

C.中位数为 ​ D.方差为 ​

9. 已知 ​是平面内一定点,​是平面上不共线的三个点, 动点​满足​, 则点​的轨迹一定通过​的（    ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

10. 在各项为正的递增等比数列 ​中,​, 则​（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

11. 已知 ​, 则​（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

12.甲乙两选手进行象棋比赛, 已知每局比赛甲获胜的概率为 ​, 乙获胜的概率为​, 若采用三局二胜制, 则甲最终获胜的概率为（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知 ​, 且​与​夹角为钝角, 则​的取值范围___________.

14. 若等差数列满足 ​, 则当​的前​项和最大时,​的值 为___________.

15 已知 ​, 且​, 则​___________.

16给出如下几个命题：

①若​是随机事件，则​；

②若事件 ​与​是互斥事件，则​与​一定是对立事件；

③若事件​与​是对立事件，则​与​一定是互斥事件；

④事件​，​中至少有一个发生的概率一定比​，​中恰有一个发生的概率大．

其中正确的是___________．（填序号）

三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. （本题满分1 0分）已知等差数列 ​中,​.

(1) 求数列 ​的通项公式;

(2) 求数列 ​的前​项和​.

18. （本题满分1 2分）已领函数 ​

(1) 求 ​的值;(2) 求 ​在区间​上的最大值和最小值.

19 （本题满分1 2分）已知数列 ​满足​, 令​.

(1)求证: ​是等比数列;(2)记数列 ​的前​项和为​, 求​.

20. （本题满分1 2分）

某班进行了一次数学测试, 并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中 ​的值;

(2)估计这次测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(3)在测试成绩位于区间 ​和​的学生中, 采用分层抽样, 确定了​人, 若从这​人中随机抽取​人向全班同学介绍自己 的学习经验, 设事件 “​抽取的两人 的测试成绩分别位于​和​”, 求事件​的概率​.

21 （本题满分1 2分） ​的内角​的对边分别为​且满足​.

(1)求角 ​的大小;(2)求 ​周长的范围.

22 （本题满分1 2分）某杂志刚刚上市销售, 销售前对该杂志拟定了​种单价进行试销售, 每本单价​(元) 试销售​天, 得到如表单价​（元）与销量​的数据关系:

(1) 已知销量 ​与单价​具有线性相关关系，求​关于​的线性回归方程;

(2)若该杂志每本的成本为 ​元, 要使得售卖时利润最大, 请利用所求的线性相关关系确 定单价应该定为多少元?

附: ​

2024届乾县第一中学高二第一次质量检测  数学 （文科）

 满分: 150分  高二 类型: 月考试卷

参考答案及解析

1.  【答案】A

 【解析】因为 ​,所以 ​,

所以 ​,则 ​.

2.  【答案】B

 【解析】​,​,​,

​,​,

​数列​是以​为周期的数列,

​

3.  【答案】B

 【解析】

​等差数列​的前​项和为​,

​

​

4.  【答案】C

 【解析】根据分层抽样原理知, ​解得​.

5.  【答案】C

 【解析】按照程序框图依次循环运算, 当 ​时, 停 止循环, 当​时,​.

6.  【答案】B

 【解析】​

​​

7.  【答案】A

 【解析】​

​

当 ​时,​.

8.  【答案】C

 【解析】由题意，这组数据中 7 和9都出现 3 次，其余数出现次数没超过 3 次，

故众数为7和9， A正确；

计算平均数为 ​，故B正确；

将10次射击成绩从小到大排列为: ​，

则中位数为 ​，故C错误；

方差为 ​， 故D正确

9.  【答案】B

 【解析】由 ​,

得 ​,

即 ​,

所以点 ​在​的平分线上,

故点 ​的轨迹一定通过​的内心.

10. 【答案】B

 【解析】数列 ​为各项为正的递增数列, 设公比为​, 且​,

​,

​

​,

​,

​,

即 ​,

解得 ​

​

​

11. 【答案】C

 【解析】因为 ​,

所以 ​,

又 ​,

所以 ​是第一象限角,​

所以 ​,

​

12. 【答案】C

 【解析】由题意可得甲最终获胜有两种情况: 一是前两局甲获胜，则获胜的概率为 ​

二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为 ​

而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为 ​

二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13由题意知 ​与​的夹角为钝角所以​, 所以​当​与​共线时,​, 则​, 此时​即​与​反向故​的取值范围为​且

14. 根据题意知​, 即​.又​​当​时,​的前​项和最大.

15 由​, 得​,​,​​​​​​​

16. ①若A是随机事件，则​，在几何概型种随机事件的发生概率可以为0或1，所以正确；

②若事件A与B是互斥事件，则A与B不一定是对立事件，比如掷色子“朝上的面为1”和”朝上的面为2“互斥但不对立，所以不正确；  

③若事件A与B是对立事件，则A与B一定是互斥事件，互斥事件包含对立事件，所以正确； 

④事件A，B中至少有一个发生的概率不一定比A，B中恰有一个发生的概率大，如果A或B的发生概率为0或A、B互斥则概率一样大，所以错误.

故答案为①③

三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17 【答案】（1）​（2）​

 【解析】(1) 将利用已知条件求得 ​, 由此求得数列​的通项公式;

(2) 利用等差数列前 ​项和公式求得​

【详解】(1) 依题意, 设等差数列 ​的公差为​,

因为 ​, 所以​, 又​,

所以公差 ​,

所以 ​

(2) 由 (1) 知 ​,

所以 ​

18 【答案】（1）​（2）​

 【解析】【分析】(1) 根据两角和的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简 ​, 然后代入计算即可.

(2) 根据 (1) 的条件, 以及正弦函数的性质进行计算和判断即可.

【详解】解: (1) 因为 ​

​

​,

所以 ​

 (2) 因为 ​, 所以​,

所以 ​,

所以，当 ​, 即​时,​取到最大值​;

当 ​, 即​时,​取到最小值​

19. 【答案】（1）见解析（2）​

 【解析】【分析】（1）设数列 ​的前​项和为​, 则​, 则​, 两式作差, 化简整理可得​, 根据等比数列的定义, 即可得证.

（2）由（1）可得 ​, 利用错位相减求和法, 计算化简, 即可得答案.

(1) 证明: ​

​①,

​

①-②得, ​

经检验, 当 ​时上式也成立,

即 ​.

所以 ​

即 ​, 且​.

所以 ​是首项为​, 公比为​的等比数列

(2) 由（1）得 ​.

所以 ​,

​

两式相减, 得 ​

​

​

20 【答案】（1）​（2）​（3）​

 【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图的性质, 列出方程, 即可求解;

（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式, 即可求解;

（3）根据题意确定抽样比, 利用列举法求得基本事件的总数, 以及所求事件中 所包含的基本事件的个数, 利用古典摡型的概率计算公式, 即可求解.

（1）解: 由频率分布直方图的性质, 可得

​,

解得 ​

（2）解: 根据频率分布直方图的平均数的计算公式,

这次测试成绩的平均数为 ​​

(3) 解: 测试成绩位于 ​的频率​,

位于 ​的频率​，

因为 ​, 所以确定的 5 人中成绩在​内的有 3 人, 分别记为​,

成绩在 ​内的有 2 人, 分别记为​,

从 5 人中随机抽取 2 人的样本空间:

​共有10 个样本点,

其中 ​，即​,

所以概率为 ​

21. 【答案】（1） ​（2）​

 【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角为边, 再根据余弦定理即可的解;

(2) 利用正弦定理得边 ​, 再利用三角恒等变换化简, 结合正弦函数的性质即 可得出答案.

（1）解: 由余弦定理 ​, 即​,

所以 ​, 因为​, 所以​

 (2) 由正弦定理:

​

则​

由 (1) ​, 故​

​

​

因为 ​,

则 ​,

所以 ​, 即周长范围是​

22 【答案】（1） ​（2）当单价定为​元时, 可获得最大利润

 【解析】

【分析】(1) 运用公式直接求回归直线的方程即可;

（2）写出利润与单价 ​的函数关系式, 求其最值即可.

(1) 因为 ​,

​,

​,

所以 ​

​

​,

所以 ​关于​的回归直线方程为​

（2）设获得的利润为 ​, 则​, 因为二次函数​的开口向下, 所以当​时,​取最大值, 故当单价定为​元时, 可获得最大利润