陕西省咸阳市乾县第一中学2022-2023学年第一次质量检测数学 （理科）试题

陕西省咸阳市乾县第一中学2023届第一次质量检测 数学 理科

满分150分 年级: 高三

一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）

1.已知集合 ，则 （   ）

A.            B.

C.  D.

2.命题“ ”的否定是（   ）

A.  B. ,

C. ,  D. ,

3.若复数 ，则 （   ）

A.  B.   C.  D.

4. 命题“ ”为真命题的一个必要不充分条件是（   ）

A.  B.  C.  D.

5.记 表示不超过 的最大整数，已知 ,则 （   ）

A.  B.  C.  D.

6. 若 在区间 上是减少的，则 的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

7.函数 的图像大致为（   ）

A. B.C. D.

8.已知函数 ，则不等式 的解集为（   ）

A.  B.  C.  D.

9.医学上用基于 流行病传播模型测算基本传染数 也叫基本再生数 来衡量传染性的强弱，基本传染数可表示为 计算基本传染数 需要确定的参数有：（1）参数 ，即需要知道第一例病例发生的时间 确定起点以便计算 ，以及之后某一时刻的累计病例数 ，时间 的单位为天数；（2）参数 和 ：只要确定了潜伏期 和传染期 和 就都确定了.已知 年 月 日某地发现首例 型传染性病例，到 年 月 日累计 型传染性病例数达到 例.取 ，根据上面的公式计算这 天 型传染性基本传染数 约为 注：参考数据： （    ）

A.  B.  C.  D.

10.已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 都有 ，当 时， ，则 （   ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数 ,若关于 的方程 有三个实数解，则实数 的取值范围是（   ）

A.  B.

C.  D.

12.已知 ，则 , , 的大小关系为（   ）

A.  B.

C.  D.

二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）

13.已知函数 ，若 ，则实数 ________．

14.若函数 在 上为增函数，则 取值范围为_____．

15.已知定义在 上的函数 满足 为奇函数， 为偶函数，且 ,则 ______．

16.对任意的 ，不等式 恒成立，则 的范围为__________．

三解答题（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）

17. 解答题（12分）在 中， ．

（1）求 的大小：

（2）若 ，求 的面积.

18. 解答题（12分）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和

（1）求数列 的通项公式；

（2）设 ，求数列 的前 项和

19. 解答题（12分）已知函数 在 处取得极值．

（1）确定 的值；

（2）若 ，讨论 的单调性．

20. 解答题（12分）某市劳动部门坚持就业优先，采取多项措施加快发展新兴产业，服务经济，带来大量就业岗位，据政府工作报告显示，截至 年末，全市城镇新增就业 万人，创历史新高.城镇登记失业率为 ，比上年度下降 个百分点，处于近 年来的最低水平.

（1）现从该城镇适龄人群中抽取 人，得到如下列联表：

根据联表判断是否有 的把握认为失业与性别有关？

附：

（2）调查显示，新增就业人群中，新兴业态，民营经济，大型国企对就业支撑作用不断增强，其岗位比例为 ，现从全市新增就业人群 数目较大 中抽取 人，记抽到的新兴业态的就业人数为 ，求 的分布列和数学期望.

21. 解答题（12分）已知函数

（1）求 在 处的切线方程；

（2）求 在 上的最小值 参考数据：

22. 选做题（10分）【选修 ：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数， ，直线 的参数方程为 为参数， ，直线 ，垂足为 以 为坐标原点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）分别写出曲线 与直线 的极坐标方程；

（2）设直线 ､ 分别与曲线 交于 ､ 与 ､ ，顺次连接 ､ ､ ､ 四个点构成四边形 ，求

【选修 ：不等式选讲】

已知函数 ．

（1）当 时，求不等式 的解集；

（2）若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.

陕西省咸阳市乾县第一中学2023届第一次质量检测 数学 理科

参考答案及解析

一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）

1.  【答案】A

 【解析】集合 ，

，

．

2.  【答案】A

 【解析】根据全称命题的否定，可得 .

3.  【答案】B

 【解析】 复数 满足 ,

,

4.  【答案】C

 【解析】若命题“∃ ”为真命题，

即∃ ， ，

当 时， ，

，

命题“∃ ， ”为真命题的一个必要不充分条件，即集合 为其真子集，

只有选项 满足，，

5.  【答案】C

 【解析】由已知可得： , 则 :

又

6.  【答案】A

 【解析】令 ,则 ,

配方得 ，故对称轴为 ,如图所示：

由图象可知，当对称轴 时， 在区间 上单调递减，

又真数 ，二次函数 在 上单调递减，

故只需当 时，若 ，

则 时，真数 ，

代入 解得 ，所以 的取值范围是

7.  【答案】B

 【解析】 ,

为奇函数, 舍去 ,

, 舍去 ；

所以舍去 ; 因此选 .

8.  【答案】B

 【解析】令 ，定义域为 ，

且 ，

所以 为奇函数，

变形为 ，

即 ，

其 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，

所以 在 上单调递增，

所以 ，解得： ，

所以解集为 .

9.  【答案】D

 【解析】由 ，

代入到 的计算公式可以得到 .

10. 【答案】C

 【解析】 , ，

函数 的周期为 ，

，

又 函数 是定义在 上的奇函数，

，

，

11. 【答案】B

 【解析】略

12. 【答案】A

 【解析】略

二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）

13. 【答案】

 【解析】根据题意，函数

若 , 则有 或 ,解可得 ；

14. 【答案】  

【解析】函数 在 上为增函数,

根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得 满足：

解得 ; 的取值范围为 .

15. 【答案】

 【解析】因为 为奇函数， 为偶函数，

所以 ，

即 ，

故 ，即 ，

可得 ，

可得周期为 ，

因为 ，

令 ，由 得 ，

又得 ，

所以 ，

16. 【答案】

 【解析】由题意可知 ,

设 ，则问题转化为 min 在 上成立，

因为 ,

令 ，

则 ，

所以 在 上单调递增，

因为当 趋于 1 时， 趋于 ，

因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，

由指数函数和反例函数的图象可知 与 在 上只有一个交点，

即 在 上只有一个根.

即有 ，

当 时， ，即 单调递减；

当 时， ，即 单调递增；

所以

.

所以 成立，

即

因为 ，所以 .

所以 ，

当且仅当 ，即 时，等号成立.

所以 ，

所以 ，即 .

三解答题（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）

17. 【答案】（1） （2）

 【解析】（1）因为 ，

所以由正弦定理得 ，

因为 ，所以 ，

由上式可知 ，所以 ，

因为 ，所以 ，

（2）因为 ,所以 ，

所以由正弦定理得 ，

所以 ，得 ，

因为 ， ，

所以 ，

所以

18. 【答案】（1） ； （2）

 【解析】

（1）因为 ,

当 时, ,

两式相减得 ,

当 时, 满足上式,所以 ；

同理,当 时, ,

两式相减得 ,

当 时, 满足上式,所以

（2）由（1） ,

两式相减得

整理得

19. 【答案】（1） ；

（2） 和 是函数 单调减区间，

和 是函数 的单调增区间

 【解析】(1)对 求导得 ，

因为 在 处取得极值，所以 ，

即 ，解得 ；

（2）由（1）得， ，

故

，

令 ，解得 或 ，

当 时， ，故 为减函数，

当 时， ，故 为增函数，

当 时， ，故 为减函数，

当 时， ，故 为增函数，

综上所知： 和 是函数 单调减区间，

和 是函数 的单调增区间.

20. 【答案】(1)没有 的把握认为失业与性别有关

（2） 的分布列为:

 【解析】

(1)根据联表:

，

所以没有 的把握认为失业与性别有关

（2）由题意知 ，

的取值为 , , , , ,

； ；

； ；

,

所以 的分布列为:

所以

21. 【答案】（1） （2）

 【解析】（1） ，

而 ，由 ，得 ，

所以 在 处的切线方程为

（2） ，由（1）知 ，

令 ，

当 时， ，

当 时， ，

则函数 ，即 在 上递增，在 上递减，则有 ，

即当 时， ，

而 ，

使 ，

当 时， ，

当 时， ，

因此当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，

令 ，

当 时，求导得 ，即函数 在 上单调递增，

则 ，即 ，

于是得 ，

而 ，则 ，

所以 在 上的最小值是 .

22. 【答案】（1） ； 且  （2）

 【解析】

（1）由 的参数方程，可得 ，

则 ，即 ,

由题设知： 为 ，故 的极坐标方程为 ，

又 ， 为 且

（2）由题设知： ，

若 ,

联立 与 ，

可得 ，

联立 与 ，

可得 ，

23. 【答案】(1) ；(2) ．

 【解析】(1)当 时， ．

当 时， ，解得 ，此时 ；

当 时， ，解得 ，此时 ；

当 时， ，解得 ，此时 ．

因此，当 时，不等式 的解集为 ；

（2）当 时， 可化为 ，

所以， 或 ，

即存在 ，使得 或 ．

，因为 ，所以 ，则 ，

，因为 ，所以 ，所以 ，

因此，实数 的取值范围为 ．