2023届陕西省咸阳市乾县第一中学高三下学期一模数学（文）试题含解析

2023届陕西省咸阳市乾县第一中学高三下学期一模数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合交集运算求解即可.

【详解】解：因为，，

所以

故选：C

2．已知复数的共轭复数为，则在复平面上对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数与共轭复数关系，复数的几何意义即可解决.

【详解】由题知，，

所以共轭复数为

在复平面上对应的点为，在第一象限，

故选：A

3．已知两个单位向量的夹角是，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据向量模的运算法则运算求解即可.

【详解】解：因为两个单位向量的夹角是，

所以，.

故选：A

4．古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（    ）

A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.

【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，，

所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离.

故选：C

5．若满足约束条件,则的最小值为（    ）

A． B．0 C．4 D．1

【答案】A

【分析】根据几何意义，数形结合求解即可.

【详解】解：如图，作出约束条件的平面区域，如图所示阴影部分，

将目标函数变形得，

所以，根据其几何意义，当直线过点时，其截距最小，

所以，的最小值为.

故选：A

6．设F为抛物线C：的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.

【详解】抛物线C：的焦点，准线方程，

显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得：，所以.

故选：B

7．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出s＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的程序框图，运行程序，依次计算判断作答.

【详解】执行程序，第一次循环：；第二次循环：；

第三次循环：；第四次循环：，退出循环，输出，

所以.

故选：A

8．已知α，β是两个不同平面，a，b是两条不同直线，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】C

【分析】分别利用线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理判断即可.

【详解】对于,若，，则或，故错误，

对于,若，，时，可能与相交，但不垂直，即不一定，故错误，

对于,由平面与平面垂直的性质定理可知，若，，，时，则，若时，直线与平面不垂直，故错误，

对于C. 若，则两平面的法向量互相垂直，因为，，所以，正确

故选：C.

9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再判断三角形形状，求出面积作答.

【详解】在中，由正弦定理得：，因此，

则，而，即有是正三角形，

所以的面积.

故选：B

10．如图，中，，为的中点，将沿折叠成三棱锥，则该棱锥体积最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意易得平面，进而得三棱锥的体积为即可得答案.

【详解】解：因为在中，，为的中点，

所以，，

所以，在折叠成的三棱锥中，，

因为平面，

所以平面，

所以，三棱锥的体积为，当且仅当时等号成立，

所以，该棱锥体积最大值为

故选：B

11．双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】设，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可.

【详解】解：由题，设，因为

所以，

因为，

所以，解得

因为，解得，

所以，双曲线的离心率为.

故选：A

12．已知定义在上的偶函数满足：当时，，且，则方程实根个数为（    ）

A．6 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】由题知函数为周期函数，周期为，在上单调递增，再令，易得在上为偶函数，进而作出函数与的图象，数形结合求解即可.

【详解】解：因为函数满足，

所以，，即函数为周期函数，周期为，

因为当时，，

所以，当时，恒成立，

所以，函数在上单调递增，

因为为定义在上的偶函数，

令，则定义域为，，

所以函数为定义在上的偶函数，

因为

因为，

所以

所以，作出函数，图象如图，

由图象可知，当时，函数与图象有4个交点，

所以，由偶函数的对称性可知，当时，函数与图象有4个交点，

所以，方程实根个数为个.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合题意，利用导数研究函数的性质，得到函数是周期为的周期函数，且在上单调递增，进而作出函数图象，数形结合求解.

二、填空题

13．某校有高三学生1200名，现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测，用电脑对这1200名学生随机编号1，2，3，…，1200，已知随机抽取的一个学生编号为10，则抽取的学生最大编号为____.

【答案】1198

【分析】根据系统抽样法求出分段间隔和最大编号.

【详解】根据系统抽样法可知，分段间隔为6，编号共分为200段，编号10属于第2段，

所以最大编号在第200段，号码为10＋6×(200－2)＝1198．

故答案为：1198.

14．圆心在轴，半径为1，且过点的圆的标准方程是_____.

【答案】

【分析】设圆心坐标为，进而结合题意得，再求圆的标准方程即可.

【详解】由题，可设圆心坐标为，

因为所求圆的圆心在轴，半径为1，且过点，

所以，，解得，

所以，圆心坐标为，半径为1，

所以，所求圆的标准方程为

故答案为：

15．已知函数是奇函数，则____.

【答案】##

【分析】由辅助角公式得，再根据余弦函数的性质求解即可.

【详解】解：，

因为函数是奇函数，

所以，解得，

因为，

所以，

故答案为：

16．已知函数，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.

【详解】解：当时，，解得，

当时，，即，解得，

综上，不等式的解集为.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列的前项之积为.

(1)求数列的通项公式;

(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和.

请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据当时，计算并检验成立即可得答案；

（2）根据等差数列基本计算得，进而，再分组求和即可.

【详解】（1）解：当 时，

当时，

综上，；

（2）解：若选①，

设等差数列的公差为，

因为，，

所以，解得

所以，，

所以，，

所以，

所以，

若选②，

设等差数列的公差为，

因为，所以，

又因为，所以，解得

所以，，

所以，，

所以，

所以，

18．某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生(其中女生220名)平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：

将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”.

(1)完成下面2列联表，试问：能否有%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关?

附：，其中.

(2)在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取5人进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，这2人中至少有一名女生的概率.

【答案】(1)表格见解析，有%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关

(2)

【分析】（1）利用题意完成列联表，然后计算，与临界值进行比较即可；

（2）根据分层抽样抽取男生3人，女生2人，然后列举出抽取两人的基本事件和至少有一名女生的事件，即可求解

【详解】（1）

故有%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关.

（2）“锻炼达标生”中男女人数之比为，故抽取的男生有3人，女生有2人，

用表示男生，用表示女生，基本事件有共10个，

其中至少有一名女生的事件有共7个，

故所求概率为.

19．如图，直三棱柱中，，为上的中点.

(1)证明：平面平面;

(2)若，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）分别取的中点，连接，进而证明，再证明平面即可证明结论；

（2）由题知平面，进而根据等体积法计算即可得答案.

【详解】（1）证明：分别取的中点，连接

所以，，

因为为上的中点，

所以，

所以，，

所以，四边形是平行四边形，即

因为，是的中点，

所以，

因为在直三棱柱中,平面，平面，

所以，

因为平面

所以平面

又

所以平面，而平面

所以平面平面；

（2）解：因为在直三棱柱中,平面，平面，

所以，

因为，所以，即,

因为平面

所以平面，即平面，

设点到面的距离为

所以，在三棱锥中，因为，即

因为，

所以

在中，，得

所以，，得

所以，点到平面的距离为.

20．已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程，解出、的值，可得出椭圆的方程；

（2）分析可知，直线不与轴平行或重合，设直线的方程为，利用直线与圆相切可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及基本不等式可求得的最大值.

【详解】（1）解：椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，

由题意可得，解得，．

所以，椭圆的方程为．

（2）解：若直线与轴平行或重合，此时直线与圆相交，不合乎题意，

设直线的方程为，由题意可得，即.

联立消去得，即，

．

设、，则，．

所以，

．

令，则，则，

当且仅当时等号成立，此时，．

故的最大值为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

21．已知函数.

(1)求 在点处的切线方程;

(2)求证：当时，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可；

（2）由题知，进而构造函数，研究最小值即可证明；

【详解】（1）解：由题知，，，

所以，切点为，斜率为，

所以，所求切线为.

（2）证明：，即

令，则

令，，则在恒成立，

所以，在上单调递增，有，

所以，在恒成立，即在上单调递增，

所以，，即，

综上，当时，.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．

(1)写出曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线交于两点，若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标方程的互化求解即可；

（2）根据直线的参数方程的几何意义求解即可.

【详解】（1）解：曲线：，

所以，曲线的直角坐标方程为．

（2）解：法1：

将直线的参数方程为（t为参数）代入曲线的直角坐标方程得：

，整理得，

设方程的实数根为，

所以，，

所以一正一负，

所以，由直线的参数方程几何意义得：

．

法2：

由（1）知曲线表示圆，圆心为，半径为

直线（t为参数）化为直角坐标方程为，

所以，曲线的圆心到直线的距离为，

所以，直线与曲线相交，

因为，即点在圆内，

所以，．

23．已知函数．

(1)解不等式；

(2)设的最小值为m，且，求证．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）用分段函数表示函数，再分段解不等式作答.

（2）利用（1）的结论，利用均值不等式“1”的妙用推理作答.

【详解】（1）依题意，函数，因此不等式化为：

或或，解得或或，

所以不等式的解集为．

（2）由（1）知，，即有，

因此

，

当且仅当，即，，时等号成立，

所以．