2022-2023学年陕西省咸阳市乾县第二中学高二上学期12月阶段性测试（二）数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市乾县第二中学高二上学期12月阶段性测试（二）数学试题

一、单选题

1．已知直线与直线互相垂直，则实数（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【分析】若，垂直，则

【详解】解析由两直线垂直，可知，解得．

故选：C

2．在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.

【详解】如图所示，

故选:D.

3．设等差数列的前项和为，已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等差数列的性质和前项和公式求解．

【详解】设的公差为，

则解得

当时，，当时，

的最小值为．

故选:A.

4．已知抛物线的焦点为为抛物线上在第一象限内的一点，且，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由抛物线的定义求解即可

【详解】设，根据抛物线定义可知：

，

所以，

所以，

又为第一象限内的一点，

所以，

故．

故选：B

5．已知直线与圆交于两点，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】C

【分析】根据直线与圆相交弦长公式求解即可.

【详解】解：圆的圆心为，半径为

又圆心到直线的距离为，

则直线与圆相交弦长．

故选：C.

6．已知点在直线上，则点到原点的距离的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】点在直线上，转化为求原点到直线的最小值，利用点到直线的距离公式计算可得答案．

【详解】点在直线上，，

点在直线上，

其到原点的距离的最小值，即原点到直线的距离，为．

故选：B.

7．已知椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率分别为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由椭圆方程得到的坐标，再结合斜率公式即可求解

【详解】由题意知．

设，则，

为椭圆上一点，

，即，

即．

故选：A

8．如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标运算即可求解,

【详解】由于直三棱柱，且，所以以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则．由，可得．

设，则

，，即，解得．

所以

故选：B

9．已知椭圆的离心率为为的一个焦点，为上一动点，则的最大值为（    ）

A．3 B．5 C． D．

【答案】D

【分析】由题知椭圆的焦点在轴上且，进而得，.

【详解】解：设椭圆的半焦距为

，故焦点在轴上．

，离心率为，

，解得

．

∴根据椭圆的性质可知．

故选：D

10．已知数列满足，若是递增数列，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出函数和的图象，结合图象分析求解.

【详解】因为是递增数列，所以，即．

如图所示，作出函数和的图象，

由图可知，当时，，且．

故当时，，且，

依此类推可得，

满足是递增数列，即的取值范围是．

故选:A.

11．已知斜率为正数的直线过抛物线的焦点，且与的其中一个交点为，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设直线的倾斜角为，结合抛物线的定义求得，进而求得直线的斜率.

【详解】依题意，直线的斜率为正数，倾斜角为锐角，

如图，过点作垂直于的准线，垂足为，

则根据抛物线定义可知，而，．

设直线的倾斜角为，则，所以，

于是直线的斜率为．

故选：C

12．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，，则实数（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】设，根据双曲线性质得到，计算得到，再根据得到答案.

【详解】如图所示：设，，即，

解得，，即，故．

，，，，，即．

故选：C

二、填空题

13．双曲线的焦点坐标为__________．

【答案】

【分析】把双曲线的方程化为标准方程，由此可确定焦点位置与，进而即可求解

【详解】由双曲线可得，

故其焦点在轴上，半焦距为，

所以焦点坐标为．

故答案为：

14．设等差数列的前项和为，已知，则__________．

【答案】80

【分析】由等差数列的性质与前n项和公式求解，

【详解】由可得，则．

故答案为：80

15．已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数__________．

【答案】或

【分析】根据直线与圆相交，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求解.

【详解】圆的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，半径为，

又圆心为，故圆的方程为

圆心到直线的距离为即，解得或．

故答案为：-1或-11

16．如图所示，在坐标平面内有一质点从坐标原点出发，最开始向右，随后沿着箭头标注的路线运动，运动的方向始终与坐标轴平行，且每2秒移动1个单位长度，根据其运动的规律，经过__________秒后，该质点首次落在直线上．

【答案】1300

【分析】根据质点运动规律进行计算，结合等差数列前项和公式求得正确答案.

【详解】由解得，

根据题意可知，当该质点到达点处时，首次落在直线上．

质点到达处，走过的路程长度为2；

质点到达处，走过的路程长度为；

质点到达处，走过的路程长度为；

……

依此类推，可知质点到达处，

走过的路程长度为，

故该质点到达处时，走过的路程长度为个单位长度，即经过1300秒．

故答案为：

三、解答题

17．已知直线过点．

(1)若过直线所经过的定点，求的方程；

(2)若点到的距离为，求的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据直线经过的定点以及斜率公式即可求解斜率，进而可求直线方程，

（2）根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】（1）（1）由直线可得，

直线过定点，

的斜率为，

的方程为，即．

（2）若的斜率不存在，则其方程为，不符合条件，

故的斜率存在，设其斜率为，

则的方程为，即．

又点到的距离为，

，解得或，

直线的方程为或，

即或．．

18．设数列的前项和为，已知．

(1)证明：；

(2)求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据条件，用递推公式做差即可证明；

(2)由（1）的结论，求出通项公式，再求和即可.

【详解】（1）由题意知，

作差可得，

．

（2）知，又由条件可得，得，

的奇数项构成首项为1，公差为6的等差数列，

的偶数项构成首项为4，公差为6的等差数列，

又，是首项为1，公差为3的等差数列， ，

.

19．已知椭圆的右焦点为，离心率．

(1)求的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由题知，，进而得，再根据求解即可得答案；

（2）设，进而根据向量关系得，进而得，再解方程即可得答案.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，

∵右焦点为，

∴，

又∵离心率，

∴，解得

，

∴的方程为．

（2）解：设．

，

∴，即．

∴，即，解得，

设直线的斜率为，则，

∴直线的方程为，即或．

∴直线的方程为或．

20．如图，在四棱锥中，底面，且底面为矩形，为的中点．

(1)求证：；

(2)求平面和平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；

（2）求出平面平面与的法向量，利用向量法求解即可

【详解】（1）底面，

故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则，

于是，

，

，即．

（2），

设平面的法向量为，

则令，得

设平面的一个法向量为，，，

则，即，

令，则

设平面和平面的夹角为，

则．

21．已知在数列中，和为方程的两根，且．

(1)求的通项公式；

(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用等差数列通项公式直接求解；(2)利用数列的单调性求解数列的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.

【详解】（1）由可知数列为等差数列，设其公差为，

解方程得或13，

又．

，

，

．

（2）由得，

．

设，

则．

由于对恒成立，

所以只用考虑的符号，

设，

令解得，令解得，

当，

当时，即，

当时，，即，

，即，

的取值范围是．

22．已知抛物线上一点到其准线的距离为3，直线与在第二象限和第一象限分别交于两点，为坐标原点．

(1)求的方程；

(2)若，求与轴的交点坐标；

(3)设的焦点为，若，且与轴的交点为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据抛物线上的点到准线的距离即可求解，

（2）根据向量垂直的坐标运算即可联立方程，代入韦达定理求解.

（3）联立直线与抛物线方程，可得，进而可由两点坐标求直线的方程，结合向量垂直的坐标运算即可求解.

【详解】（1）由已知可知抛物线的准线为，

点到准线的距离为，解得，

的方程为．

（2）易知的斜率存在，设．

联立整理得，

由，得，解得或（舍去），

与轴的交点坐标为．

（3）易知，设所在直线的方程为在第二象限，．

联立整理得，解得或，则，

直线的斜率，于是直线的方程为．

联立,整理得，解得或，

则

，解得或（舍去）．

故直线的方程为．