2022-2023学年陕西省兴平市南郊高级中学高二上学期第一次质量检测数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省兴平市南郊高级中学高二上学期第一次质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造等差数列，结合等差数列的通项公式，求得，再求结果即可.

【详解】根据题意可得：，则，故数列是首项为，公差为的等差数列，

则，，故.

故选：B.

2．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】D

【分析】设公比为，则由已知可得，从而可求出公比.

【详解】设公比为，

因为，，所以，

所以，即

两个方程左右两边分别相除，得，

因为数列是正项等比数列，所以，

故选：D.

3．已知数列的前n项和为，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据通项与前n项和的关系，分与两种情况分别求解即可.

【详解】当时，；当时，，且当时也满足.

故.

故选：D

4．在等差数列中，，则的值为（    ）

A．6 B．12 C．24 D．48

【答案】D

【解析】根据等差数列下标和的性质即可求的值.

【详解】由等差数列的性质知：，由，

∴，即，

故选：D

【点睛】本题考查了等差数列的性质，应用了等差数列下标和相同的两项之和相等，属于简单题.

5．记为等差数列的前项和.若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用等差数列通项和求和公式可构造不等式组求得，由等差数列通项公式可求得结果.

【详解】设等差数列的公差为，

由得：，解得：，

.

故选：D.

6．等差数列的前n项和为，若，则公差(    )

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于和d的方程组求解即可．

【详解】由题可知．

故选：B．

7．已知等差数列的前n项和为．若，，则（    ）

A．35 B．42 C．24 D．63

【答案】C

【分析】根据等差数列的前n项和满足成等差数列求解即可.

【详解】因为等差数列的前n项和为，故成等差数列，即，解得.

故选：C

8．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.

【详解】∵为等比数列的前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.

9．是正项等比数列的前项和，，，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题得，故选A.

10．记等比数列{}的前n项和为.若，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据条件得到，，从而求出公比，利用求和公式求出答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

所以公比，

所以

故选：C

11．若数列{an}满足a1＝3，an＝3an﹣1+3n（n≥2），则数列{an}的通项公式an＝（    ）

A．2×3n B． C．n3n D．

【答案】C

【分析】由递推关系求得，结合选项一一代入检验排除即可得结果．

【详解】由an＝3an﹣1+3n（n≥2），当时，

对于A，，故A错；

对于B，，，故B错；

对于C，，，

对于D，，故D错，

故选：C

12．在等比数列中，已知，，则（   ）

A．20 B．12 C．8 D．4

【答案】C

【分析】设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.

【详解】设的公比为q，则，

解得，所以，

故选：C．

二、填空题

13．等差数列的前n项和为，若，则______

【答案】

【解析】结合已知条件，利用等差数列的求和公式求得公差，然后再由等差数列的通项公式，即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，可得，解得，

所以.

故答案为：.

14．等比数列的前项和为，且，，成等差数列,若，则____________.

【答案】15．

【详解】由题意得

15．在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为________

【答案】

【分析】根据等比数列的性质，结合已知条件，即可直接求解.

【详解】设等比数列的公比为，因为是方程的两个实数根，

所以＝＝2，，

所以，，则，所以．

故答案为：.

16．设是数列的前n项和，且，则的通项公式为________

【答案】

【分析】由与的关系求出通项公式即可.

【详解】当时，，则，∴，∴是公比为2的等比数列，

又，∴.

故答案为：

三、解答题

17．在等比数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)记为的前项和，若，求.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）利用等比数列通项公式化简已知等式，可构造方程求得公比，由等比数列通项公式可得；

（2）分别在和的情况下，根据等比数列求和公式可构造方程求得.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

由得：，即，解得：或，

或.

（2）当时，，解得：；

当时，，解得：；

综上所述：或.

18．在等差数列中，，，求的最小值．

【答案】

【分析】根据等差数列的基本量的运算，求得或，再根据二次函数的性质，或的正负，即可求得结果.

【详解】方法一：设等差数列的公差为．由，得，

解得，又解得．

所以，．

由二次函数的性质，知当时，有最小值．

方法二：设等差数列的公差为．由，得，

解得，又解得．所以，

故时，时．

所以当时，有最小值，．

19．在数列中，首项，且满足，其前n项和为.

(1)证明数列为等比数列；

(2)求数列的通项公式，并判断n，，是否成等差数列？

【答案】(1)证明见解析；

(2)，n，，成等差数列.

【分析】（1）根据等比数列的定义，结合已知递推公式进行证明即可；

（2）结合（1）的结论，根据等比数列的通项公式、前n项和公式，利用等差数列的性质进行求解即可.

【详解】（1）∵，，

又，

∴是首项为，公比为2的等比数列；

（2）由（1）知，，∴，∴，

∴，∴.

即n，，成等差数列.

20．已知数列满足．

(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和为．

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【分析】（1）根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可；

（2）利用错位相减法进行求解即可.

【详解】（1）由，

得.

又，故数列是以1为首项，以为公差的等差数列.

故，，故；

（2），

，

两式相减，得

，

，

，

，

故.

21．已知是等差数列，其前项和为，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由已知条件可建立关于和的方程组，即可求出通项公式；

（2）可知是首项为2，公比为2的等比数列，由公式即可求出.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

则，解得，

；

（2），，

是首项为2，公比为2的等比数列，

.

22．设数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列 的前项和．

【答案】(1) ；(2).

【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.

（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.

【详解】（1）数列满足

时,

∴

∴

当时,,上式也成立

∴

（2）

∴数列的前n项和

【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.