2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题含解析

2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集 ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为  

A． B．或 C． D．

【答案】D

【详解】 ,所以阴影部分所表示的集合为 ,选D.

2．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，

故选：A

3．下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是（    ）

A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|

C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)

【答案】C

【分析】由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以逐个分析判断即可

【详解】由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；

B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，

对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，

因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数.

故选：C

【点睛】此题考查函数的单调性的判断，解题的关键是掌握基本函数的单调性，属于基础题

4．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

【答案】A

【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.

【详解】由函数图象平移变换的性质可知：

将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

.

则函数的单调递增区间满足：，

即，

令可得一个单调递增区间为：.

函数的单调递减区间满足：，

即，

令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.

【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（    ）

A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里

【答案】B

【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.

【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，

由题意和等比数列的求和公式可得，解得，

第此人第二天走里.

故选：B．

6．如图，在四面体ABCD中，已知那么D在面ABC内的射影H必在

A．直线AB上 B．直线BC上

C．直线AC上 D．内部

【答案】A

【详解】由可得，即平面内的射影必在平面与平面的交线上，故选A

7．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.

【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题；

当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；

故命题，，均为假命题，命题为真命题．

故选：B．

8．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

【答案】B

【解析】对于①；②都是奇函数，而椭圆图像关于原点成中心对称，①②满足要求；对于③是偶函数，图像关于轴对称，若要满足条件，当时函数的图像要把椭圆在轴右侧部分平分，分析其图像不满足要求，即可得出结论.

【详解】∵①为奇函数，作出其图象，

由图可知能等分该椭圆面积；

同理，②为奇函数，能等分该椭圆面积；

③为偶函数，其图象关于轴对称，

在轴右侧时，，

时，故不能等分该椭圆面积.

故选：B

【点睛】关键点点睛：根据椭圆的对称性，函数图象的对称性，结合数形结合的思想，判定能否平分椭圆的面积，考查了函数的奇偶性，属于中档题.

9．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果.

【详解】由等比数列的性质可得：，，，成等比数列，

则，即，解得：，

，，解得：.

故选：D.

10．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.

详解：在中，

设，则，

又由椭圆定义可知

则离心率，

故选D.

点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.

11．若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为

A．-3 B．1 C． D．3

【答案】B

【详解】如图，

，

由于不等式组,表示的平面区域为，且其面积等于，

再注意到直线与直线互相垂直，所以是直角三角形，

易知，,;从而=，

化简得：，解得,或，检验知当时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以;故选B.

【解析】线性规划与三角形的面积.

12．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可

详解：直线分别与轴，轴交于，两点

,则

点P在圆上

圆心为（2，0），则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

则

故答案选A.

点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．

13．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D.

【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.

14．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

二、填空题

15．已知，，则的最小值为______．

【答案】3

【分析】由得到，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.

【详解】解：因为，

由得，

则，即；

所以，

；

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为：3．

故答案为：3

16．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽     米.

【答案】2米

【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，

将A（2，-2）代入，

得m=-2，

∴，代入B得，

故水面宽为米，故答案为米．

【解析】抛物线的应用

17．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．

【答案】36π

【详解】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，

若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，

可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，

可得 ，解得r=3.

球O的表面积为： .

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

18．已知，，则______．

【答案】5.

【解析】直接利用两角和与差的正弦函数，展开已知表达式，求出，；然后得到结果.

【详解】∵，∴．①

∵，∴．②

①+②，得．③

①-②，得．④

③÷④,得．

故答案为：5

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．属于基础题.

19．数列满足，则数列的第2022项为___________.

【答案】##0.2

【分析】根据递推关系可通过计算前面，发现数列是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解.

【详解】由，得，

，，，，，

故数列是周期为4的周期数列，故，

故答案为：

20．椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________.

【答案】

【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合，整理可得离心率．

【详解】已知，设，则，

，，

故①，

∵，即②，

②代入①整理得：，

．

故答案为：．

三、解答题

21．已知在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】(1);(2) .

【详解】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．

详解：(1)由题意及正、余弦定理得，

整理得，

∴

（2）由题意得，

∴，

∵，

∴，

∴.           

由余弦定理得，

∴，

 ，当且仅当时等号成立．

∴．

∴面积的最大值为．

点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．

（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．

22．已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，当为何值时，数列的前项和最大？

【答案】（1）若a1 =0, 若a1；（2）数列{lg}的前6项的和最大.

【详解】(1)取n=1,得

若a1=0,则s1="0," 当n

若a1, 当n

上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列

综上，若a1 = 0,

若a1

（2）当a1>0,且

所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）

则 b1>b2>b3>…>b6=

当n≥7时，bn≤b7=

故数列{lg}的前6项的和最大

【点睛】本小题主要考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力.

23．已知过点且斜率为k的直线与圆：交于M，N两点.

(1)求k的取值范围；

(2)，其中O为坐标原点，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求过点与圆的切线斜率，由题意，可得答案；

（2）将直线方程与圆的方程联立，整理一元二次方程，写出韦达定理，利用数量积的值，建立方程，解得斜率，可得答案.

【详解】（1）根据题意设方程为，即.

∵圆的半径，

∴圆心到切线的距离为，解得.

即k的取值范围为.

（2）将直线的方程代入圆的方程，得.

设，，则

，.

∴.

∴，解得或（舍去）.

∴直线的方程为.

故圆心在直线上，∴.

24．设，分别是椭圆：的左右焦点.

(1)设椭圆上的点到，两点距离之和等于，写出椭圆的方程；

(2)设点P是（1）中椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线有关，并证明你的结论.

【答案】(1)

(2)的值与点P的位置无关，同时与直线无关，证明见解析

【分析】（1）根据椭圆定义可得，又点在椭圆上，代入椭圆方程联立即可得解；

（2）根据椭圆的对称性可得两点M，N关于坐标原点对称，故，，，利用斜率公式同时结合椭圆方程，即可得解.

【详解】（1）由于点在椭圆上，所以

解得，故椭圆C的方程为

（2）过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，

设，，，

由，，在椭圆上，

可得，

两式相减得

又∵，，

∴

故：的值与点P的位置无关，同时与直线无关.