2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市第一一三中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式求出集合，列举法写出集合，由交集的定义求即可.【详解】由，得，所以,又所以故选B．2．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定为：“”. 故选：B.3．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可【详解】因为，所以所以.故选：D4．幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.【详解】设，代入点得，则，令，函数的值域是.故选：C.5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（    ）A．-18 B．-12 C．-8 D．-6【答案】D【分析】首先根据题意得到，再根据的奇偶性求解即可.【详解】由题知：，所以当时，，又因为函数是奇函数，所以.故选：D6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得关于a的不等式组，求解得答案．【详解】当时，单调递减，且当时，单调递减，则，因为函数在上单调递减，所以，解得，故的取值范围为．故选：A．7．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边按顺时针方向旋转后经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角的旋转与三角函数定义得，利用两角和的正切公式求得，然后待求式由二倍公式，“1”的代换，变成二次齐次式，转化为的式子，再计算可得．【详解】解：将角的终边按顺时针方向旋转后所得的角为，因为旋转后的终边过点，所以，所以.所以.故选：A．8．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（    ）参考数据：参考时间轴：A．宋 B．唐 C．汉 D．战国【答案】D【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，则有，解得，于是得，当时，，于是得：，解得，由得，对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国.故选：D 二、多选题9．下列选项中，正确的是（    ）A．函数（且）的图象恒过定点B．若不等式的解集为，则C．若，，则，D．函数恰有1个零点．【答案】CD【分析】对A：根据指数函数的图象与性质即可求解；对B：根据一元二次不等式的解法即可求解；对C：由特称命题的否定为全称命题即可求解；对D：由函数零点存在定理即可求解.【详解】解：对A：函数（且）的图象恒过定点，故选项A错误；对B：若不等式的解集为，则，且和是方程的两根，所以，解得，所以，故选项B错误；对C：若，，则，，故选项C正确；对D：易知函数在上单调递增，又，，所以由函数零点存在定理可得存在唯一，使，所以选项D正确.故选：CD.10．下列函数中,最小值为2的是A．B．C．D．【答案】AB【解析】对A,根据二次函数的最值判定即可.对B,利用基本不等式判定即可.对C,利用基本不等式判定即可.对D,根据指数函数的值域判定即可.【详解】对A, ,当且仅当时取等号.故A正确.对B, ,当且仅当时取等号.故B正确.对C, .取等号时,又故不可能成立.故C错误 .对D,因为,故.故D错误.故选：AB【点睛】本题主要考查了函数最值的运算,属于基础题.11．设，则下列不等式中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式判断AC；举反例判断BD即可【详解】对A，因为，故，故，故A正确；对B，取，则，但，故B错误；对C，因为，故故，当且仅当取等号，因为，故，故C正确；对D，取，则，故D错误；故选：AC12．设函数，集合，则下列命题正确的是（    ）A．当时，B．当时C．若，则k的取值范围为D．若（其中），则【答案】ABD【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；B：时，方程无解，则，正确；由解析式可得其函数图象如下图示：令，开口向上且对称轴为，若，则，即，有以下情况：1、，：此时，令，则在上有一个零点，∴，可得， 2、，，由A知：.综上：，故C错误；若，由函数的性质及图象知：必有，.此时，，，所以，，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误. 三、填空题13．函数，则______.【答案】【解析】首先求出，再将代入对应的解析式即可求解.【详解】由，所以，所以，故答案为：【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.14．已知，，则的值为__________．【答案】【分析】根据两角和的正弦公式即可求解.【详解】由题意可知，因为，所以，所以，则 ．故答案为：.15．已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为_______.【答案】【分析】根据扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为,解得 故答案为【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.16．已知关于的方程在有解，则的取值范围是________．【答案】【分析】将原式化为，然后研究函数在上的值域即可【详解】解：由，得，令，令，因为，所以，所以，即，因为，所以函数可化为，该函数在上单调递增，所以，所以，所以，所以的取值范围是，故答案为： 四、解答题17．计算：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式.（2）解：原式.18．已知函数．(1)证明函数在上是减函数；(2)求，的值域．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用单调性的定义，采用作差法进行证明；（2）利用函数的单调性求其值域.【详解】（1）任取、，且，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上是减函数．（2）由（1）的证明知，函数在上是减函数．因为，所以函数在上是减函数．所以函数在上的最大值是，最小值是，所以函数在上的值域是．19．已知函数．(1)求的值及的单调递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值．【答案】(1)1，，(2)时，有最大值；时，有最小值. 【分析】（1）将化简为，解不等式，，即可得函数的单调递增区间；（2）由，得，从而根据正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最值．【详解】（1）解：因为，，令，，得，，所以的单调递增区间为，；（2）解：因为，所以，所以，所以，当，即时，有最大值，当，即时，有最小值．20．已知，且.(1)求；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角函数相关公式化简求解；（2）根据三角恒等变换化简求解.【详解】（1）解：，由，得，解得又，所以.（2）解：若，，则，因为，又，所以，所以，所以21．为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）．(1)求函数；(2)试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【答案】(1)(2)当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多. 【分析】（1）一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得即为净收入，根据题意建立函数关系即可.（2）根据函数解析式，利用一次函数、二次函数、分段函数，求出最值.【详解】（1）当时，，令，解得，，，，，当时，，令，其整数解为：，，所以，，所以（2）对于，显然当时，元，对于，因为，所以当或时，元，，当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.22．对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的．现有函数.(1)当时，判断函数在上是否“友好”；(2)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．【答案】(1)当时，函数在，上是“友好”的(2) 【分析】（1）当时，利用函数的单调性求出和，由即可求得结论；（2）化简原方程，然后讨论的范围和方程的解即可得答案．【详解】（1）解：当时，，因为单调递增，在单调递减，所以在上单调递减，所以，，因为，所以由题意可得，当时，函数在上是“友好”的；（2）解：因为，即，且，①所以，即，②当时，方程②的解为，代入①成立；当时，方程②的解为，代入①不成立；当且时，方程②的解为或．将代入①，则且，解得且，将代入①，则，且，解得且．所以要使方程的解集中有且只有一个元素，则，综上，的取值范围为．