2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合与集合之间的关系以及元素与集合之间的关系即可求解.

【详解】A，，错误；

B，，正确；

C，与没有包含关系，错误；

D，为无理数，所以，错误.

故选：B

2．函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，进而解出即可得到答案.

【详解】令.

故选：A.

3．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数，的单调性比较大小即可

【详解】解：因为函数在区间上单调递增，所以，即，

因为函数在上单调递减，所以，即，

所以

故选：D

4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据解析式依次判断即可得出.

【详解】对A，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

对B，根据幂函数的性质可得是偶函数又在上单调递增，故B正确；

对C，不是偶函数，故C错误；

对D，当时，单调递减，故D错误.

故选：B.

5．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解．

【详解】解：令，

当时，，又，

所以，，即

所以，

故选：D．

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用特殊值排除错误选项，进而确定正确选项.

【详解】当时，，所以排除A，D，

当时，，所以排除B，

故选：C

7．有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（    ）

A．50 B．53 C．60 D．66

【答案】A

【分析】根据题意得，进而根据指数方程求解即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，整理得

所以，由于为非零常数，

所以.

故选：A

8．若函数图象上存在不同的两点，关于轴对称，则称点对是函数的一对“黄金点对”（注：点对与可看作同一对“黄金点对”）.已知函数则此函数的“黄金点对”有（    ）

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【答案】D

【分析】设出，结合已知条件对分类讨论，将问题转化成函数的交点问题即可求解.

【详解】由题意，不妨设，且，

①当时，，即为与在的交点的横坐标，如下图：

故此函数在的“黄金点对”有2对；

②当时，，为与在的交点的横坐标，如下图：

故此函数在的“黄金点对”有1对，

综上所述，此函数的“黄金点对”有3对.

故选：D.

二、多选题

9．下列函数是指数函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据指数函数的概念依次判断即可得答案.

【详解】解：根据指数函数的定义，形如（且）的函数，其系数为，

故A选项不满足形式；B选项的系数为；C选项，满足；D选项满足.

故选：CD

10．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ）

A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为0

C．函数图象与轴有无数个交点 D．函数是增函数

【答案】BC

【分析】根据题意,画出函数的图像,根据图像分析函数的性质即可.

【详解】解：根据符号的意义,讨论当自变量取不同范围时函数的解析式：

当时,,则

当时,,则

当时,,则

当时,,则

画出函数的图像如下图所示：

从图像可知,

函数最高点处取不到,所以A错误；

函数图像最低点处函数值为0,所以B正确；

函数图象与轴有无数个交点，所以C正确

函数在特定区间内为增函数,在整个定义域内没有增减性,所以D错误

故选：BC

11．设函数，，，下列函数说法正确的是（    ）

A．在区间上为增函数 B．的图象关于点成中心对称

C．的图象关于轴成轴对称 D．的值域为

【答案】ABC

【分析】写出解析式，根据指数函数的性质可判断A；利用可判断B；利用函数为偶函数可判断C；利用指数函数的性质以及基本不等式可判断D.

【详解】A，由题意可得，

因为在区间上单调递增，

所以在区间上为增函数，A正确；

B，，

所以的图象关于点成中心对称，故B正确；

C，，

，即，

的图象关于轴成轴对称，故C正确；

D，，，

，

当且仅当，即时取等号，

所以，

的值域为 ，故D错误.

故选：ABC

12．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】AD

【分析】根据定义列不等式，得到的解析式，然后画出函数图象，根据函数图象求出区间的长度即可.

【详解】令①，

当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，

当时，不等式可整理为，解得，故，

所以不等式①的解为；

由上可得，不等式的解为或，

所以，

令，解得，令，解得或，

令，解得或，令，解得或，

所以区间的最小长度为1，最大长度为.

故选：AD.

三、填空题

13．已知函数，则函数的解析式为______.

【答案】，

【分析】根据凑配法求解函数解析式即可.

【详解】解：因为，

所以，

因为，

所以，

故答案为：，

14．函数的增区间为______.

【答案】

【分析】令，则，再根据复合函数的单调性可得出答案.

【详解】令，则，

二次函数的性质可得 的减区间为，

所以函数的增区间为

故答案为：.

15．若正数、满足，则的最小值为______.

【答案】

【分析】根据题意得，进而利用基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】解：因为正数、满足，

所以，且

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为

故答案为：

16．已知函数为偶函数，若，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【详解】因为函数为偶函数，所以，可得 ，经检验满足题意，且易得在上递减，又因为,，且，所以，解得 ，即实数的取值范围是，故答案为.

四、解答题

17．计算下列各式的值.

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)利用指数幂运算法则即可求解；(2)利用对数运算和换底公式即可求解；(3)利用指数幂的运算法则和对数运算即可求解.

【详解】(1)由指数幂的运算可知，.

(2)由对数运算可知，

                        .

(3)由指数幂运算法则和对数运算法则可知，

.

18．已知定义域为的奇函数，且时，.

(1)求当时，函数的解析式；

(2)求证：在上为增函数.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)结合已知条件，首先求出当时，的解析式，然后结合奇函数性质求的解析式，最后利用奇函数定义求出即可；(2)结合已知条件，利用单调性定义证明即可.

【详解】(1)由题意，当时，，

①当时，则，故，

又因为为奇函数，从而，

故；

②因为为奇函数，所以，即，

综上所述，当时，.

(2)不妨设、，且，

，

又因为，，，即，

所以，即，

从而在上为增函数.

19．已知全集，集合，集合.

(1)求及；

(2)若的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；.

(2)

【分析】（1）由题知，，再根据集合关系求解即可；

（2）根据题意得，再根据集合关系求解即可.

【详解】(1)解：根据题意得，，

所以，，

所以

(2)解：因为的解集为，

所以或，

因为是的充分条件，

所以，

所以或，解得或，

所以实数的取值范围是

20．今年中国“芯”掀起研究热潮，某公司已成功研发、两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元；生产芯片的净收入（千万元）是关于投入的资金（千万元）的幂函数，其图象如图所示.

(1)试分别求出生产、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；

(2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产、两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产芯片投入的资金.（利润芯片净收入芯片净收入研发耗费资金）

【答案】(1)；.

(2)公司最大利润为9千万，此时生产芯片投入的资金为4千万.

【分析】(1)结合已知条件和图像分别求解即可；(2)根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可.

【详解】(1)(i)不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：，

从而，故；

(ii)、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式，

由图像可知，的图像过点，即，解得，

故所求函数关系式为.

(2)由题意可知，，

由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值9.

21．设函数是定义在上的函数，并且满足下列三个条件：

①对任意正数，，都有；②当时，；③.

(1)求和的值；

(2)如果不等式成立，求的取值范围；

(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）对于任意的，，，令，，，即可求得、的值；

（2），根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．

（3）把根据条件转化为，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．

【详解】(1)因为对于正数，都有，

令，即，则

又，再令，，

解得，令，

则.

(2)已知，，根据题干给出的条件有：，

当，时，，即，

于是等价于；

当时，，取，且，则

则令，代入等式得：，

所以函数单调递减，

，

，解得：，

所以的取值范围为.

(3)同上理，不等式可化为且，

得，此不等式有解，等价于，

在的范围内，易知，

故即为所求范围．

22．已知函数（为常数，且，）.请在下面三个函数：

①，②，③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性.

(1)请写出表达式，并求的值；

(2)当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；

(3)当为偶函数时，请讨论关于的方程解的个数.

【答案】(1)答案见解析；

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）根据所选条件，结合奇函数和偶函数的定义可得出的等式或表达式，可求得对应的实数的值；

（2）由已知条件可得出，由参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围；

（3）设，由参变量分离法得出，分析函数在区间上的单调性，由此可得出当在不同取值下方程的解的个数.

【详解】(1)解：当时， ，定义域为，

若函数为奇函数，则，故函数不能是奇函数，

若函数为偶函数，则，

由，可得，化简可得，

则不为常数，即函数不可能为偶函数，不合乎题意；

若选②，，则.

若函数为奇函数，则，不合乎题意；

若函数为偶函数，则，

由，可得，

整理可得，

则不为常数，不合乎题意.

选③，，，，

当为奇函数，则，即，可得；

当为偶函数，则，则，可得；

(2)解：由（1）知，当为奇函数时，，，

所以，

由于函数在上为增函数，函数在为减函数，

所以，函数在上为增函数，则，

若对于任意的，都有成立，

所以，

设，，

任取、，且，即，

则，

，则，，可得，即，

所以，函数在上为增函数，所以，，即.

所以的取值范围是；

(3)解：当为偶函数时，，，

令，当且仅当时，等号成立，

所以关于的方程解的个数等价于方程解的个数，

所以，

又在单调递增，所以.

①当，此时方程无解；

②当，存在唯一解，

又因为为偶函数，不妨设，

，

因为，则，，所以，，，

所以在单调递增，在单调递减，

（i）当时，，此时方程有唯一解；

（ii）当时，，此时方程有两个解；

下证必要性：令，该函数的定义域为，

，则为偶函数，在单调递增，

，，

所以在有一个零点，

又因为函数是偶函数，则函数在也有一个零点，

所以当，时原方程一共有两个解.

【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：

（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；

（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.