2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校 高二下学期期中数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校 高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知随机变量的分布列是：

则（    ）A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】根据概率之和为1即可得解.

【详解】解：因为，

所以，所以.

故选：A.

2．已知随机变量服从正态分布，，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8

【答案】A

【分析】利用正态分布的性质即可得出结果.

【详解】因为随机变量服从正态分布，，

所以，

.

故选：A

3．曲线在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得；

【详解】解：因为，所以，，所以，

即切点为，切线的斜率为2，所以切线方程为，即．

故选：A

4．若离散型随机变量，则和分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用二项分布的期望和方差公式求和即可.

【详解】因为离散型随机变量，

所以，．

故选：B．

5．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是(       )

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】由题可知该女子每天织布的尺数成等比数列，根据等比数列通项公式和前n项和公式即可求解.

【详解】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2，

则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为，

则，∴.

故选：D.

6．某人上班从家到单位的路上途经6个红绿灯路口，遇到4次绿灯，2次红灯，则2次红灯不相邻的情况有多少种（    ）

A．5 B．10 C．15 D．30

【答案】B

【分析】利用插空法即得.

【详解】因为2次红灯不相邻，

所以在4次绿灯所形成的5个空插入红灯共有种.

故选：B.

7．某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2道数学文化题和3道作图题中不放回的依次抽取2道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】记“第一次抽到作图题”为事件，记“第二次抽到作图题”为事件，

，

所以.

故选：B.

8．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，加起来即可；也可以构建二项分布模型解决.

【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.

乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；

乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；

乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为.

所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为.

解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为.

故选：C.

二、多选题

9．记为等差数列的前n项和．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由已知条件列方程组求出，从而可求出其通项公式和求和公式

【详解】设等差数列的公差为，

因为，，

所以，即，

解得，

所以，

，

故选：BD

10．甲､乙两名射击运动员在同样条件下进行射击比赛，甲、乙命中的环数分别是，的分布列如下表，下列结论正确的是（    ）

A．两人的平均成绩一样 B．甲的平均成绩比乙高 C．甲发挥比乙稳定 D．乙发挥比甲稳定

【答案】AC

【分析】根据给定的分布列，求出的期望、方差，再比较并判断作答.

【详解】依题意，，，，

，，

显然，A正确，B不正确；，甲发挥比乙稳定，C正确，D不正确.

故选：AC

11．已知，则下列结论正确的是（    ）

A．＝32 B．＝2

C．＝－39 D．＝－15

【答案】BCD

【分析】分别令、和，可判断A错误，B、C正确，结合二项展开式的通项，可判定D正确.

【详解】令，则，故A错误，

令，则，故B正确，

令，则，

两式相减可得：，故C正确，

展开式中含x的项为，

故，所以D正确.

故选：BCD．

12．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ）

A．若有3个零点，则a的范围为

B．时，是的极值点

C．时.有唯一零点且

D．时，恒成立

【答案】AC

【分析】对于A,有3个零点转化成直线与的交点个数，对的单调性进行考察，进而可得a的范围.

对于B，时，对求导，分析单调性，进而确定极值点可判断.

对于C，时，对求导，分析单调性，根据零点存在性定理可做出判断.

对于D，时，取一个特殊值即可推翻.

【详解】令，则，记则

所以在单调递增，且值域为，在上单调递减，在上单调递增，且在上的值域为

若有3个零点，则，故A对.

当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为0，故可知，所以在上单调递增，无极值点，故B错.

当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为1，故可知，所以在上单调递增，此时有唯一的零点，且，由零点存在性定理可知，故C对.

当时，，，故D错.

故选:AC

三、填空题

13．已知随机变量满足，则__________.

【答案】18

【分析】根据方差的性质求解即可.

【详解】解：因为，

所以.

故答案为：18.

14．将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有__________种.

【答案】240

【分析】先从4个岗位中选一个岗位派2位志愿者，再分配剩下3人，根据分步乘法原理求解即可.

【详解】由题意，先从4个岗位中选一个岗位派2位志愿者，再分配剩下3人，共种不同分配方案.

故答案为：240

15．的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，则常数项为__________.

【答案】

【分析】根据题意求出，再求出展开式的通项，令的指数等于0，从而可得出答案.

【详解】解：因为的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，

即，所以，

则展开式的通项为，

令，则，

所以常数项为.

故答案为：.

16．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，，就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______．

【答案】0.83

【分析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”， 则，，，，，，根据全概率公式计算可得答案.

【详解】解：设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，

则，，，，，，

所以．所以所求概率为0.83．

故答案为：0.83.

四、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，．

(1)求角A；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知条件，结合和即可求解；

（2）由已知条件结合余弦定理可得的值，再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）因为

所以

即，

所以，

因为，所以，

又，所以.

（2）因为，

由余弦定理得：

即，则.

于是，

所以的面积为.

18．已知递增的等差数列中，，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列基本量思想计算即可；

（2）由（1）得，利用裂项相消法即可.

【详解】（1）设递增的等差数列的公差为，首项为，

因为成等比数列，所以，即.①

又，所以.②

联立①②解得，故.

（2）由（1）可知，

所以数列的前n项和

.

【点睛】本题主要考查等差数列基本量思想，数列裂项相消法求和.

19．近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；

(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列为

期望为

【分析】（1）有表格可得总的厨余垃圾总量,以及投入正确的垃圾投放量,即可求解.

（2）根据超几何分布,即可得分布列和期望.

【详解】（1）由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率；

（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3

，

，

所以X的分布列为

所以

所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为．

20．如图，四棱锥P-ABCD中，为正三角形，ABCD为正方形，平面平面ABCD，E､F分别为AC､BP中点.

(1)证明：平面PCD；

(2)求直线BP与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而得到线面平行；

（2）先做出辅助线，证明线面垂直和线线垂直，进而建立空间直角坐标系，用空间向量进行求解线面角.

【详解】（1）连接BD，

因为E是AC的中点，故对角线AC，BD相交于点E，

即E为BD的中点，

又因为F是BP的中点，

所以EF是三角形PBD的中位线，

所以EFDP，

因为PD平面PBD，EF平面PBD，

所以平面PCD

（2）取AB的中点O，连接OP，取CD中点H，连接OH，

因为为正三角形，

所以由三线合一知：OP⊥AB，

因为平面平面ABCD，交线为AB，

所以OP⊥平面ABCD，又四边形ABCD为正方形，

故OH，OB，OP两两垂直，

以O为坐标原点，OP，OB，OH所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，

设AB=2a，则，

设平面ACP的法向量为，

则，

令得：，

则，

设直线BP与平面PAC所成角为，

则

所以直线BP与平面PAC所成角的正弦值为

21．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的右顶点为B，直线l过定点，且交椭圆于P，Q两点（异于点B），试探究直线与的斜率的乘积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)是，定值为

【分析】（1）依题意得到方程组，解得、、，即可求出椭圆方程；

（2）设直线l的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到整理计算可得.

【详解】（1）解：依题意可得，解得，

所以椭圆C的方程为．

（2）解：设直线l的方程为，设，．

由得

由，解得，

所以，

所以

（定值）

22．设函数（其中）.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，证明函数在上有且只有一个零点.

【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为.

(2)证明见解析.

【分析】（1）将k=1代入得到的解析式，求，求解与可得结果.

（2）方法1：由时， 在上无零点，将问题转化为证明在上有且只有一个零点，分类讨论和，即可证明结论.

方法2：由x=0时，方程无根，当时，分离参数研究新函数的单调性来研究新函数的图象，由图可得结论.

【详解】（1）当k=1时，，

则

∴或，，

∴的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）方法1：

证明：∵

∴当时，，则在上无零点，

∴只需证在上有且只有一个零点.

①若 时，

当时，，则在上单调递增，

又∵，

∴在上有且只有一个零点.

②若 时，

，，

∴在上单调递减，上单调递增，

又∵， ，

令 ， ，则，，

∵ 则

∴在上单调递增，

∴

∴在上单调递增，

∴，即：

∴在上有且只有一个零点.

综述：当时，在R上有且只有一个零点.

方法2：

证明：∵，即： ，

①当x=0时，方程无根.

②当时， ，

令，

∴

∴，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

又∵当时，；当时，；

； ， ，

∴的草图如图所示，

∴当时，在R上有且只有一个零点.

【点睛】方法点睛：含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征研究交点个数；若不能分离参数，则分类讨论函数的零点个数.