2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合

【详解】解：由解得，所以，所以，

故选：D.

2．若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的模等于（   ）

A．5 B．25 C． D．

【答案】A

【分析】由复数的运算，求得，进而得，再根据复数模的计算公式，即可求解复数的模.

【详解】由题意，复数的共轭复数满足，所以，

所以复数，所以.

故选：A.

3．设，，且，均为非零向量，则“”是“”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】A

【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解.

【详解】若，则，则，满足充分性；反之，若，则，不能推出，

比如，显然满足，但无意义，不满足必要性；故“”是“”的充分非必要条件.

故选：A.

4．若都不为零的实数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】AB可以举出反例，C选项可以根据指数函数单调性进行判断，D选项可以从定义域上排除.

【详解】[方法一]：特值法：

取，满足，但，A错误；

当，满足，但，B错误；

因为，所以，所以，C正确；

当或时，无意义，故D错误.

故选：C

[方法二]：函数性质法

对于A，由于不清楚的正负，不能直接取倒数，A错误；

对于B，由于不清楚是否为正，没有办法利用基本不等式，B错误；

对于D，由于不清楚的正负，不一定有意义，D错误；故选C.

5．1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴长（单位：米）的立方与它的公转周期（单位：秒）的平方之比是一个常量，即，（其中k为开普勒常数，M为中心天体质量，G为引力常量）．已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的运行周期约为1年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米，则冥王星的运行周期约为（    ）

A．150年 B．200年 C．250年 D．300年

【答案】C

【解析】地球轨道的半长轴长和运行周期可求得的值，再进一步利用公式计算冥王星的运行周期.

【详解】由题意得：，

，

（秒）

年.

故选：C.

【点睛】本题考查数学文化，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，求解时注意对时间单位的理解，可减少计算量.

6．把，两支篮球队在一个赛季十场比赛中的得分情况绘成如图所示的茎叶图，设A队得分的极差为，队得分的25%分位数为，则，的值分别为（    ）

A．42  66.5 B．47  66.5 C．42  69 D．47  69

【答案】D

【分析】由茎叶图中的数据，利用极差与百分位的定义求解即可.

【详解】由茎叶图可知，

A队得分的极差

因为

所以队得分的25%分位数为从小到大的第三位数，

所以，

故选：D.

7．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.

【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，

当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，

所以的最大值为.

故选：A

8．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且，，若是线段上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦定理及找到外接球的直径，再利用球的表面积公式即可求解.

【详解】由题意可知，设的外接圆半径为r，由正弦定理，知

，当时，取得最小值为2，

此时外接球半径满足，解得或.

所以三棱锥的外接球的最小半径为.

所以外接球表面积为.

故选：C.

二、多选题

9．在中，已知，，，则角的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据正弦定理求出，根据可得或.

【详解】由正弦定理得，得，

因为，且，所以或.

故选：AC.

10．下列直线中与直线：平行且距离为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据两直线互相平行设直线方程，再结合两直线间距离公式解方程即可.

【详解】设与与直线：平行的直线为，

又，

解得或，

即该直线为或，

故选：AC.

11．如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（    ）

A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD

【答案】ACD

【分析】ACD可以通过旋转到CD⊥BC时，进行证明；B选项可以假设成立，推出矛盾.

【详解】当将△ACD绕AC边旋转到CD⊥BC时，因为CD⊥AC，，此时CD⊥平面ABC，而平面ABC，则CD⊥AB，CD⊥BC，AD正确；

此时AB⊥平面BCD，平面BCD，所以AB⊥DB，C正确；

若，而AB⊥BC，，故必有BC⊥平面ABD，由图形可知，D点在B点正上方，而，所以显然不可能；

故选：ACD

12．已知函数对任意都有，若函数的图像关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数 B．

C．的图像关于对称 D．

【答案】ABC

【分析】由，得到，得出是周期为4的周期函数，根据函数的图象变换，得到函数的关于对称，得出函数为偶函数，结合，根据，进而求得，得到函数关于中心对称，结合函数的单调性和周期性，进而得出.

【详解】由函数对任意都有，可得，

所以函数是周期为4的周期函数，

又由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；

因为，可得，

则，所以B正确；

又因为函数为偶函数，即，所以，

可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；

由对任意的，且，都有，

可得函数在区间上为单调递增函数，

又由，

可得，即，所以D不正确.

故选：ABC

三、填空题

13．在的展开式中，含的系数为______．

【答案】

【分析】由的展开式的通项公式，令，即可求得结论．

【详解】的展开式的通项公式为

令，则，的展开式中含项的系数是.

故答案为：．

14．等差数列的前n项和为，若，是方程的两根，则______.

【答案】9

【分析】由题意可得，再有等差数列的下标和性质可求得答案.

【详解】因为，是方程的两根，所以，

则.

故答案为：9.

15．设函数，若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】由的取值范围，求出，再根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，当，

所以，

因为在上有且仅有个零点，

所以，解得，即；

故答案为：

16．已知双曲线的左、右焦点分别是，点A是圆上的一个动点，且线段的中点B在E的一条渐近线上．若E的焦距为4，则E的离心率的最小值是__________．

【答案】2

【分析】设，，由条件出点的轨迹，根据所求曲线与双曲线渐近线有公共点，求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.

【详解】设，且E的焦距为4，则，

因为点A是圆上的一个动点，

所以．

因为B是的中点，

所以，即，

所以，

所以B点在圆上，同时B在E的一条渐近线上．

设E的渐近线：，所以直线与圆有公共点，

即，

又．

故答案为：2．

四、解答题

17．如图，在平面四边形中，，，，．

(1)求的大小；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由正弦定理求得，即可求得，即可求得；

（2）先求得，再由余弦定理求解即可.

【详解】（1）由正弦定理，得，即．所以，又为三角形内角，

且，故，所以．

（2）由（1）可知，所以．由余弦定理，得，所以．

18．设数列是等比数列，其前项和为

(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求的通项公式；

①；②；

(2)在（1）的条件下，若，求数列的前项和

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为若选①，根据求解即可；若选②，根据两式相减可得公比，再代入求得即可；

（2）代入（1）中可得，再根据等比数列的前项和公式求解即可

【详解】（1）设等比数列的公比为，，

若选①，，，

时，，

可得，，

所以；

若选②，，所以，

可得，所以，，；

（2），，所以，

所以是公比为首项为的等比数列，

故.

19．某省为了坚决打赢脱贫攻坚战，在100个贫困村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第i个贫困村中贫困户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，．

(1)试估计该省贫困村的贫困户年平均收入；

(2)根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数（精确到0.01）；

(3)根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

参考公式：

【答案】(1)1万元；

(2)；

(3)采用分层抽样，理由见解析.

【分析】（1）根据平均数公式即得；

（2）根据相关系数公式即得；

（3）根据分层抽样的概念即得.

【详解】（1）该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值为:

（万元）;

（2）样本的相关系数：

；

（3）采用分层抽样，

理由如下：由（2）知，各地区贫困村的贫困户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各贫困村产业扶贫资金投入差异很大，因此贫困村的贫困户年平均收入差异也很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该省更准确的脱贫验收估计．

20．如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

(1)证明：平面；

(2)若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在梯形中，取的中点，证明四边形为平行四边形，再根据圆的性质得出，利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.

【详解】（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，

所以且，所以四边形为平行四边形，

所以，又因为，所以，

所以点在以为直径的圆上，所以.

又因为，，平面

所以平面.

（2）取中点，连接，因为，所以，

由（1）得平面，又因为面，

所以平面面，因为为两平面交线，

所以面，

以为原点，为轴，过且与垂直的直线为轴，为轴建立直角坐标系，

设，则，，，，

由，得，

所以，

设平面的法向量为，

所以，即，

取，则，，所以，

又因为平面的法向量，

所以,

因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为.

21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，左顶点为A，上顶点为B，．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)不过椭圆点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2，若．证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．

【答案】(1)

(2)证明见解析；定点(－，0)

【分析】（1）结合离心率及|AB|的等式求得a，b的值，得到椭圆C的方程；

（2）假设直线l的方程，与椭圆C的方程得到x的二次函数，韦达定理得到用参数k，m表示，，代入等式化简可以得到k，m的等式，从而得到直线l的定点坐标．

【详解】（1）由题意知：，，，，此时椭圆C的标准方程为：；

（2）设直线l的方程为，M(，)，N(，)

依题意知：A(－2，0)，，即

化简得   ①

联立，整理得

∴，，将它们代入①得：

化简得．

当时，直线l的方程为，此时直线l恒过点(－2，0)，不符合题意(舍去)；

当时，直线l的方程为，此时直线l恒过点(－，0)．

综上：直线l恒过定点(－，0)

22．已知函数.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若关于x的方程在无实数解，求实数a的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）代入，求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间及极值情况；

（2）构造函数，二次求导，确定导函数的单调性，结合端点值，对进行分类讨论，确定实数a的取值范围.

【详解】（1）当时，，定义域为R，

，令，解得：，

当时，，单增，当时，，单减

所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.

（2）即在无实数解，

令，

则，

令，

则，

因为，所以，所以，

，即在上单调递增，

其中，

当，即时，时，，

在上单调递增，又，

故当时，没有零点；

②当，即时，

令，

在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以，故，，

所以，

又，故存在，使得，

当时，，单调递减，又，

故当时，，所以在内没有零点，

当时，，单调递增，

因为，所以，

且

令，，

，，

令，，

，所以在上单调递增，

又，故时，，

在上单调递增，

所以，故，

又，由零点存在性定理可知，存在，，

故在内，函数有且仅有一个零点，

综上：时满足题意

即的取值范围是

【点睛】导函数求解参数取值范围问题，通常需要构造函数，求出构造函数的导函数，确定其单调性，极值和最值情况，本题中要注意到特殊点的函数值，确定参数的取值范围，即必要性探究，再进行充分性证明.