2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用补集的定义可得正确的选项．

【详解】由补集定义可知：或，即，

故选：D．

2．下列命题中，正确的是（    ）

A．的虚部是 B．的共轭复数是

C． D．复数在复平面内对应的点在第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的虚部的概念可判断A；根据共轭复数的概念判断B;根据复数模的计算可判断C；根据复数的除法求得，结合复数的几何意义判断D.

【详解】因为的虚部是，故A错误；

的共轭复数是，故B错误；

，故C错误；

复数，故在复平面内对应的点在第四象限，D正确，

故选：D

3．在等差数列中，，则（    ）

A．10 B．17 C．21 D．35

【答案】B

【分析】由已知求出公差即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，则，即，解得，

所以.

故选：B.

4．已知，则（       ）

A． B．0 C．1 D．32

【答案】A

【分析】令可得．

【详解】令，则.

故选：A.

5．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的列联表：

根据表中数据，得到，所以我们至少有（    ）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据：，）A．99%              B．95%              C．1%              D．5%

【答案】B

【分析】利用与临界值比较，即可得到结论.

【详解】结合题意和独立性检验的结论，由

，，

故这种判断出错的可能性至多为，即，

故我们至少有95%的把握判定休闲方式与性别有关系.

故选：B

【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想与应用，属于基础题.

6．已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，则C=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦定理可得，再根据余弦定理化简求解即可

【详解】∵，∴由余弦定理知，整理得，故.

故选：D

7．现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出.

【详解】解：由题意知，，，

所以.

故选:C.

【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了组合数的计算，考查了分类计数原理.

8．等边的外接圆的半径为1，M是的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C． D．0

【答案】A

【分析】先将所求问题中的向量转换成起点为外心的向量，再根据向量数量积建立函数模型，最后通过函数思想即可求解．

【详解】如图，设等边的外心为，又半径为1，且是的边的中点，

、、三点共线，且，

，又，

当时，的最大值为．

故选：A．

二、多选题

9．已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（   ）

A．－ B． C． D．

【答案】BC

【分析】由题可知，即得.

【详解】由题可得，

∴或，经检验适合题意.

故选：BC.

10．数列的通项公式为则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】直接求出即得解.

【详解】解：由通项公式得，，所以.

故选：BC.

11．某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示．

根据表中的数据可得回归直线方程，则以下说法正确的是（    ）A．y与x的样本相关系数

B．产量为8吨时预测所需材料一定为5.95吨

C．

D．产品产量增加1吨时，所需材料约增加0.7吨

【答案】CD

【分析】由产量与材料正相关否定选项A；求得的值判断选项C；求得产量为8吨时所需材料的估计值判断选项B；求得产品产量增加1吨时所需材料约增加的值判断选项D.

【详解】表中的数据可得回归直线方程，则产量与材料正相关，

则相关系数.故选项A判断错误；

则，解之得.故选项C判断正确；

由（吨），可得产量为8吨时预测

所需材料约为5.95吨. 故选项B判断错误；

由可得，产品产量增加1吨时，所需材料约

增加0.7吨. 故选项D判断正确.

故选：CD

12．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，下列结论正确的有（    ）

A． B．

C．最小角的正弦值 D．最大角的余弦值为

【答案】AD

【分析】由正弦定理可判断A; 由，可设，丛而可判断B;根据题意可判断出最小角和最大角，由余弦定理可求得其值，判断C,D.

【详解】对于A，由正弦定理可得，故A正确；

对于B，由，可设，

故，故B错误；

对于C，由可知角A为最小角，设，

故 ，则 ，故C错误；

对于D，由C的分析可知C为最大角，则，

故D正确，

故选：AD

三、填空题

13．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ .

【答案】

【详解】∵平面向量与的夹角为，

∴.

∴

故答案为.

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．

(2) 常用来求向量的模．

14．已知为等比数列，，则_________．

【答案】

【分析】先由等比数列的性质求出，进而求出，再计算即可.

【详解】设公比为，由题意知：，又，解得或，

若，则，，则；

若，则，，则.

故答案为：.

15．为纪念北京冬奥会申奥成功，中国邮政发行纪念邮票，每套图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会“会徽飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为______________．

【答案】##

【分析】由古典概型的概率公式求解即可.

【详解】从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，

恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，

则恰有1枚吉祥物邮票的概率，

故答案为：

16．已知直线与曲线相切，则___________.

【答案】1

【分析】首先求出函数的导函数，设切点为，即可得到方程组，解得即可；

【详解】解：因为，所以，

设切点为，则，解得，两式相减得，

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列中，，，设.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）直接利用等比数列的定义证明；

（2）采用分组求和法分别求出数列与数列的前n项和，再相加即可.

【详解】（1）设的公差为，

由，可得，即.

又，可得.

故

依题意，，因为（常数）.

故是首项为4，公比4的等比数列.

（2）的前项和为

的前项和为

故的前项和为.

18．已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量的调查.

（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望.

【答案】（1）3人，2人，2人.（2）分布列见解析，

【解析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.

（2）根据独立重复试验中概率计算公式,可分别求得随机变量的概率,即可得其分布列.由数学期望公式,即可求得期望值.

【详解】（1）由已知,甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为,

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人,2人,2人.

（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.

则,

所以,随机变量的分布列为

随机变量的数学期望.

【点睛】本题考查了分层抽样的特征和计算,独立重复试验概率的计算方法,离散型随机变量分布列及数学期望的求法,属于基础题.

19．如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面分别是棱的中点．

(1)求证：∥平面；

(2)求平面与平面夹角的大小．

【答案】(1)证明见详解；

(2)

【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面与平面夹角公式可求得.

【详解】（1）

如图建系，

设平面的法向量为

所以不妨取

又

又平面，∥平面；

（2）由（1）知：,

设平面的法向量为，平面的法向量

所以不妨取

同理不妨取

设平面与平面夹角为

所以

20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求角A；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用正弦定理及余弦定理求得的值，进而求得角A的值；

（2）先利用余弦定理构造关于的不等式，进而得到的最大值，即可求得面积的最大值．

【详解】（1）由，可得，

得，则，

由于，所以．

（2）由，可得，又，则，

则，（当且仅当时等号成立）

则，（当且仅当时等号成立）

则，

即面积的最大值为．

21．已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）假设椭圆方程，根据短轴长、焦点坐标和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；

（2）利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程.

【详解】（1）由题意可设椭圆方程为：，

则，解得：，椭圆的标准方程为：.

（2）设，，则，

两式作差得：，

直线斜率，

又中点为，，，，

直线方程为：，即.

22．已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的最大值；

（2）通过分类讨论和构造新函数，列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围．

【详解】（1）时，，

则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

则当时，取得最大值

（2），，则，

当时，，在单调递增，

且，则当时，，不符合要求.

当时，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

则当时，取得最大值

则由恒成立，可得成立，

令

则

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

则当时，取得最小值

则恒成立，（当且仅当时等号成立）

则的解集为

则a的取值范围为．