6.2向心力-高一物理同步精品讲义（人教2019必修第二册 ）

第六章 圆周运动

第2课  向心力

知识点01  向心力

1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力．

2．作用：改变速度的方向．

3．方向：始终沿着半径指向圆心．

4．向心力是根据力的作用效果命名的，它是由某个力或者几个力的合力提供的．

【即学即练1】把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动．此时小球所受到的力有(　　)

A．重力、支持力

B．重力、支持力、向心力

C．重力、支持力、沿漏斗壁的下滑力

D．重力、支持力、向心力、沿漏斗壁的下滑力

【答案】　A

【解析】小球受到重力和支持力，由于小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球的向心力由重力和支持力的合力提供，故A正确，B、C、D错误．

知识点02  探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

探究方案一　感受向心力

1．实验原理

如图1所示，在绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，另一端握在手中．将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的拉力．

图1

2．实验步骤

(1)在小物体的质量和角速度不变的条件下，改变小物体做圆周运动的半径进行实验，比较向心力与半径的关系．

(2)在小物体的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变小物体的角速度进行实验，比较向心力与角速度的关系．

(3)换用不同质量的小物体，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作，比较向心力与质量的关系．

3．实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大．

探究方案二　用向心力演示器定量探究

1.实验原理

向心力演示器如图2所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动．小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值．

图2

2．实验步骤

(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系．

(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系．

(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系．

3．实验结论：在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成正比．

在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比．

在质量和半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比.

【即学即练2】(多选)向心力演示仪可以利用控制变量法探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系．它通过皮带传动改变两轮的转速，让两轮上的实心小球(体积相同)同时做圆周运动，然后通过连动装置使安放在圆盘中心套筒中的弹簧产生形变，利用形变大小来反映向心力的大小，形变越大，露出的标尺格数越多．采用如图所示的实验装置，可以实现的实验目的和观察到的现象是(　　)

A．控制角速度和半径相同，研究向心力大小与质量的关系

B．控制半径相同，研究向心力大小与角速度大小的关系

C．钢球比铝球的质量大，钢球一侧露出的标尺格数多

D．钢球比铝球的质量大，铝球一侧露出的标尺格数多

【答案】　AC

知识点03  向心力的大小

向心力的大小可以表示为Fn＝mω2r或Fn＝m.

【即学即练3】甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为(　　)

A．1∶4  B．2∶3  C．4∶9  D．9∶16

【答案】　C

知识点04  变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点

1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图3所示．

图3

(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小．

(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向．

2．一般的曲线运动的处理方法

(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．

(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理．

【即学即练4】如图所示为蒙晋边界的黄河大峡谷，河水沿着河床做曲线运动．图中A、B、C、D四处，受河水冲击最严重的是(　　)

A．A处  B．B处  C．C处  D．D处

【答案】　B

【解析】可看作河水沿着河道做圆周运动，根据运动路径可知，在B处的河床要提供做圆周运动的向心力，故B处的河床受河水的冲击最严重．

考法01  向心力的理解

1．向心力的作用效果是改变速度方向，不改变速度大小．

2．向心力不是作为具有某种性质的力来命名的，而是根据力的作用效果命名的，它可以由某个力或几个力的合力提供．

3．向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力为变力．

【典例1】(多选)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)

A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力

B．向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力

C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力

D．向心力的大小等于mgtan θ

【答案】　BCD

【解析】

　对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A错误，B、C正确；向心力的大小Fn＝mgtan θ，D正确．

考法02  定量研究影响向心力大小的因素

【典例2】如图甲为“用向心力演示器探究向心力大小的表达式”的实验示意图，图乙为俯视图．图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同．a、b两轮在皮带的传动下匀速转动．

 (1)两槽转动的角速度ωA________ωB(选填“>”“＝”或“<”)．

(2)现有两个质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1，如图乙所示，则钢球①、②的线速度大小之比为________，受到的向心力大小之比为________．

【答案】　(1)＝　(2)2∶1　2∶1

考法03  向心力的来源分析和计算

1．向心力的大小：Fn＝mω2r＝m＝m2r.

2．向心力的来源分析

在匀速圆周运动中，由合力提供向心力．

3．几种常见的圆周运动向心力的来源

【典例3】如图所示，半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体a不下落，圆筒转动的角速度至少为(　　)

A. 　 B.

C. D.

【答案】　C

【解析】

当圆筒的角速度为ω时，其内壁对小物体a的弹力为FN，要使小物体a不下落，应满足μFN≥mg，又因为小物体a在水平面内做匀速圆周运动，则FN＝mrω2，联立两式解得ω≥，则圆筒转动的角速度至少为ω0＝.

考法04  变速圆周运动和一般的曲线运动

1．变速圆周运动

(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果．

(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解．

2．一般的曲线运动

曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理．

(1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大．

(2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小．

【典例4】(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是(　　)

A．绳的拉力

B．重力和绳拉力的合力

C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力

D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

【答案】　CD

【解析】

分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图．如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力．

题组A  基础过关练

1．下列关于向心力的论述中,正确的是 (　　)

A.物体做圆周运动一段时间后才会受到向心力

B.向心力与重力、弹力、摩擦力一样,是一种特定的力,它只有在物体做圆周运动时才产生

C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力,也可以是这些力中某几个力的合力

D.向心力既可以改变物体运动的方向,又可以改变物体运动的快慢

【答案】C　

【解析】　因为有向心力,物体才做圆周运动,A错误;向心力是按作用效果命名的,与重力、弹力、摩擦力等性质力不一样,故B错误;向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力,也可以是某一个力的分力,或者是这些力中某几个力的合力,故C正确;向心力只能改变物体运动的方向,不能改变物体运动的快慢,故D错误。

2. 如图所示是探究向心力大小F与质量m、角速度ω及半径r之间关系的实验装置图。转动手柄1,可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5分别随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上,可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供,球对挡板的反作用力通过横臂6的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降,从而露出标尺8,标尺8上露出的红白相间的等分格子数与两个球的向心力成正比,那么:

(1)现将两小球分别放在两边的槽内,为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系,下列说法中正确的是 (　　)

A.在小球运动半径相等的情况下,用质量相同的小球做实验

B.在小球运动半径相等的情况下,用质量不同的小球做实验

C.在小球运动半径不等的情况下,用质量相同的小球做实验

D.在小球运动半径不等的情况下,用质量不同的小球做实验

(2)当用两个质量相等的小球做实验,且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时,发现右边标尺露出的红白相间的等分格子数为左边的2倍,那么,左边塔轮与右边塔轮转动的角速度大小之比为　　　　。 

【答案】　(1)A　(2)1∶2

【解析】

　(1)本实验采用控制变量法,根据F=mrω2可知,要探究小球受到的向心力大小与角速度的关系,需在小球运动半径相等的情况下,用质量相同的小球做实验,故选A。

(2)标尺露出的格子数与小球所受的向心力大小成正比,右边标尺露出的红白相间的等分格子数为左边的2倍,有F左∶F右=1∶2,左边小球的轨道半径为右边小球的2倍,即r左∶r右=2∶1,且已知m左=m右,根据F=mω2r,可得ω=,可知左边塔轮与右边塔轮转动的角速度大小之比为1∶2。

3．一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速奔跑,如图所示为雪橇所受的牵引力F及摩擦力Ff的示意图,其中正确的是              (　　)

【答案】C　

【解析】　雪橇运动时所受的摩擦力为滑动摩擦力,其方向与雪橇运动方向相反,可知与圆弧相切;又因为雪橇做匀速圆周运动,所受合力充当向心力,合力方向指向圆心,故C正确。

4. 如图所示,一辆轿车正在水平路面上做匀速圆周运动,下列说法正确的是 (    )

A.水平路面对轿车弹力的方向斜向上

B.静摩擦力提供向心力

C.重力、支持力的合力提供向心力

D.轿车受到的重力、支持力和摩擦力的合力为零

【答案】　B

【解析】　水平路面对轿车的弹力方向竖直向上,故A错误;在竖直方向重力和支持力相互平衡,轿车做圆周运动靠水平路面对车轮的静摩擦力提供向心力,轿车受到的重力、支持力和摩擦力的合力不为零,故B正确,C、D错误。

5．如图所示为游乐园空中飞椅的理论示意图,长度不同的两根细绳悬挂于同一点,另一端各系一个质量相同的小球,不计空气阻力,使它们在不同的水平面内做匀速圆周运动,则对于A、B两个小球转动周期的说法正确的是              (　　)

A.A的周期大

B.B的周期大

C.A、B的周期一样大

D.A、B的周期无法比较

【答案】A　

【解析】　设细绳与竖直方向的夹角为α,绳长为L,小球受到的重力和细绳的拉力的合力提供向心力,则有mg tan α=,解得T=2π,L cos α为悬点到球所在平面的距离,由题图可知A球的大于B球的,故A球的周期较大,故A正确,B、C、D错误。

6. (多选)如图所示,长为L的悬线固定在O点,在O点正下方有一钉子C,O、C的距离为,把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放,小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子,则小球的              (　　)

A.线速度突然增大为原来的2倍

B.角速度突然增大为原来的2倍

C.向心力突然增大为原来的2倍

D.向心力突然增大为原来的4倍

【答案】BC　

【解析】　悬线碰到钉子前后,悬线的拉力始终与小球的运动方向垂直,小球的线速度大小不变,故A错误;悬线碰到钉子后,小球的运动半径减小为原来的一半,线速度大小不变,由ω=知角速度变为原来的2倍,由Fn=可知向心力变为原来的2倍,故B、C对,D错。

题组B  能力提升练

7. (多选)如图所示,摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m,运动半径为R,角速度大小为ω,重力加速度为g,则座舱              (　　)

A.运动周期为

B.线速度的大小为ωR

C.受摩天轮作用力的大小始终为mg

D.所受合力的大小始终为mω2R

【答案】　BD

【解析】　由于座舱做匀速圆周运动,由公式ω=,解得T=,故A错误;由圆周运动的线速度与角速度的关系可知v=ωR,故B正确;由于座舱做匀速圆周运动,故座舱所受摩天轮的作用力是变力,不可能始终为mg,故C错误;由做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力,可得F合=mω2R,故D正确。

8. 如图所示,一竖直圆盘上固定着一个质量为0.2 kg的小球(可视为质点),小球与圆盘圆心O的距离为5 cm。现使圆盘绕过圆心O的水平轴以10 rad/s的角速度匀速转动,重力加速度g取10 m/s2,当小球运动到O点正上方时,圆盘对小球的作用力大小为F1,当小球运动到O点正下方时圆盘对小球的作用力大小为F2,则              (　　)

A.F1=2 N,F2=3 N　　　　　　　　B.F1=2 N,F2=4 N

C.F1=1 N,F2=3 N　　　　　　　　D.F1=1 N,F2=4 N

【答案】　C

【解析】

　小球运动半径r=5 cm=0.05 m,在最高点,设圆盘对小球的作用力为支持力,根据牛顿第二定律可得mg-F1=mω2r,解得F1=1 N;小球在最低点,根据牛顿第二定律可得F2-mg=mω2r,解得F2=3 N。故选C。

9．甲、乙两名滑冰运动员,在某次滑冰表演时,面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动(不计冰面的摩擦),如图所示,m甲=80 kg,m乙=40 kg,两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为9.2 N。下列判断中正确的是              (　　)

A.两人的线速度大小相等,约为40 m/s

B.两人的角速度相同,为6 rad/s

C.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m

D.两人的运动半径相同,都是0.45 m

【答案】　C

【解析】

　甲、乙两人做匀速圆周运动的角速度相同,向心力大小都等于弹簧测力计的弹力,有m甲ω2r甲=m乙ω2r乙,即m甲r甲=m乙r乙,且r甲+r乙=0.9 m,m甲=80 kg,m乙=40 kg,解得r甲=0.3 m,r乙=0.6 m;由于F=m甲ω2r甲,所以ω== rad/s≈0.62 rad/s;线速度v=ωr,甲、乙的角速度相同,r甲与r乙不相等,v不相等。故A、B、D错误,C正确。

10. 无动力风帽又叫球形通风器,是屋顶常见的一种通风设备。一风帽如图所示,它会在自然风的推动下绕其竖直中心轴旋转。在其边缘某处粘有一块质量为m的橡皮泥,过橡皮泥所处的位置的一条切线竖直,橡皮泥到中心轴的距离为l。某段时间内,风帽做匀速圆周运动,在时间t内发现风帽旋转了n圈。重力加速度大小为g。求:

(1)橡皮泥线速度的大小;

(2)风帽对橡皮泥作用力的大小。

【答案】　(1)　(2)m

【解析】

 (1)橡皮泥随风帽一起运动时的角速度为ω=

橡皮泥的线速度大小为v=ωl=

(2)橡皮泥运动时受到的向心力大小为F向=mω2l=

对橡皮泥受力分析可知,风帽对橡皮泥的作用力的大小为

F==m

题组C  培优拔尖练

11．如图所示,一根原长为L的轻弹簧套在光滑直杆AB上,其下端固定在杆的A端,质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO'匀速转动,且杆与水平面间的夹角始终保持为θ=37°。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L,重力加速度大小为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:

(1)弹簧的劲度系数k;

(2)弹簧为原长时,小球的角速度ω0;

(3)当杆的角速度ω=时弹簧的长度L'。

【答案】　(1)　(2)　(3)3L

【解析】　

　(1)杆处于静止状态时,对小球受力分析,由平衡条件得mg·sin 37°=k×(L-0.5L),解得弹簧的劲度系数k=。

(2)当弹簧处于原长时,弹簧弹力为零,小球只受重力和杆的支持力,它们的合力提供向心力,有mg tan 37°=mL cos 37°,解得ω0==。

(3)当ω=>ω0时,弹簧处于伸长状态,设弹簧伸长量为x,则在竖直方向有FN cos 37°-kx sin 37°=mg

在水平方向有FN sin 37°+kx cos 37°=mω2(L+x) cos 37°

解得x=2L

所以弹簧长度L'=3L。

12. (多选)如图,内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度ω匀速转动时,小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是              (　　)

A.仅增加绳长后,小球将受到玻璃管斜向上方的压力

B.仅增加绳长后,若仍保持小球与玻璃管间无压力,需减小ω

C.仅增加小球质量后,小球将受到玻璃管斜向上方的压力

D.仅增加角速度至ω'后,小球将受到玻璃管斜向下方的压力

【答案】BD　

【解析】　当玻璃管以角速度ω匀速转动时,小球只受重力和绳子拉力,受力分析如图所示,有T·cos θ=mg,T·sin θ=mrω2=mL sin θ·ω2,得T=mLω2,仅增加绳长后,所需向心力变大,小球将受到斜向下的压力,若保持小球与玻璃管间无压力,需减小ω,故A错误,B正确;仅增加小球质量m后,由T=,F向=·sin θ=mω2L sin θ,可得小球与管壁间仍无弹力,故C错误;仅增加角速度,所需向心力变大,小球将受到斜向下方的压力,故D正确。