6.1圆周运动-高一物理同步精品讲义（人教2019必修第二册 ）

第六章 圆周运动

第1课  圆周运动

知识点01  线速度

1．定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt内，通过的弧长为Δs，则Δs与Δt的比值叫作线速度的大小，公式：v＝.

2．意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢．

3．方向：物体做圆周运动时该点的切线方向．

4．匀速圆周运动

(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动．

(2)性质：匀速圆周运动的线速度方向是在时刻变化的，所以它是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变．

【即学即练1】做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求物体做匀速圆周运动时：求线速度的大小；

【答案】　10 m/s

【解析】根据线速度的定义式可得

v＝＝ m/s＝10 m/s；

知识点02  角速度

1．定义：连接物体与圆心的半径转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，公式：ω＝.

2．意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．

3．单位：弧度每秒，符号是rad/s，在运算中角速度的单位可以写为s－1.

4．匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动．

【即学即练2】火车以60 m/s的速率驶过一段圆弧弯道，某乘客发现放在水平桌面上的指南针在10 s内匀速转过了10°.在此10 s时间内，求火车的角速度大小。

【答案】　 rad/s

【解析】角速度ω＝＝rad/s＝ rad/s

知识点03  周期

1．周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间．单位：秒(s)．

2．转速n：物体转动的圈数与所用时间之比．单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)．

3．周期和转速的关系：T＝(n的单位为r/s时)．

【即学即练3】做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求物体做匀速圆周运动时，求周期

【答案】　4π s.

【解析】根据线速度的定义式可得

v＝＝ m/s＝10 m/s；

根据v＝ωr可得，ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s；

T＝＝ s＝4π s.

知识点04 线速度与角速度的关系

1．在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积．

2．公式：v＝ωr.

【即学即练4】一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：

(1)曲轴转动的周期与角速度；

(2)距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小．

【答案】　(1) s　80π rad/s　(2)16π m/s

【解析】(1)由于曲轴每秒转＝40(周)，即n＝40 r/s，则周期T＝＝ s；由ω＝2πn可知，曲轴转动的角速度ω＝80π rad/s.

(2)由v＝ωr可知，距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小v＝ωr＝80π×0.2 m/s＝16π m/s.

考法01  描述圆周运动的物理量

1．对匀速圆周运动的理解

(1)匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化．

(2)“匀速”的含义：速度的大小不变，即速率不变．

(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，做匀速圆周运动的物体所受合外力不为零．

2．描述圆周运动的物理量

【典例1】(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是(　　)

A．因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比

B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比

C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比

D．因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比

【答案】　CD

【解析】

　当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，所以A错误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，所以B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，所以C、D正确．

考法02  描述圆周运动的物理量之间的关系

1．线速度与角速度的关系式：v＝ωr.

(1)当v一定时，ω与r成反比；

(2)当ω一定时，v与r成正比．

2．线速度与周期、转速的关系式：v＝＝2πrn.

3．角速度与周期、转速的关系式：ω＝＝2πn.

【典例2】图甲是一款感应垃圾桶．手或垃圾靠近其感应区，桶盖会自动绕O点水平打开，如图乙所示．桶盖打开过程中其上A、B两点的角速度分别为ωA、ωB，线速度分别为vA、vB，则(　　)

A．ωA＞ωB   B．ωA＜ωB

C．vA＞vB   D．vA＜vB

【答案】D　

【解析】桶盖上的A、B两点同时绕着O点转动，则角速度相等，即ωA＝ωB；根据v＝ωr，又有rB>rA，则vB>vA，故A、B、C错误，D正确．

考法03  圆周运动的传动问题

【典例3】(多选)如图所示的传动装置中,B、C两轮固定在一起绕同一轴转动,A、B两轮用皮带传动,三个轮的半径关系是rA=rC=2rB。若皮带不打滑,则关于A、B、C三轮边缘上的a、b、c三点的角速度之比和线速度大小之比,说法正确的是              (　　)

A.角速度之比为1∶2∶2

B.角速度之比为1∶1∶2

C.线速度大小之比为1∶2∶2

D.线速度大小之比为1∶1∶2

【答案】AD

【解析】　a、b两点是皮带传动边缘点,线速度大小相等,故va∶vb=1∶1,根据v=rω,有ωa∶ωb=rB∶rA=1∶2;b、c两点同轴转动,角速度相等,故ωb∶ωc=1∶1,根据v=rω,有vb∶vc=rB∶rC=1∶2。综上有ωa∶ωb∶ωc=1∶2∶2,va∶vb∶vc=1∶1∶2,故选项A、D正确。

考法04  圆周运动的周期性和多解问题

1．问题特点

(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体．

(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)．

(3)运动的关系：根据两物体运动的时间相等建立等式，求解待求物理量．

2．分析技巧

(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点——时间相等．

(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律．

(3)分析时注意两个运动是独立的，互不影响．

【典例4】子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔(从A位置射入，B位置射出，如图所示)．OA、OB之间的夹角θ＝，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动(不考虑重力的作用)，则圆筒的转速可能是(　　)

A．20 r/s   B．60 r/s

C．100 r/s   D．140 r/s

【答案】C　

【解析】 根据几何关系可得A与B之间的距离为R，在子弹飞行距离为R的时间内，圆筒转动的角度为θ′＝π(n＝1,2,3，…)，由θ′＝ωt得t＝＝(n＝1,2,3，…)．设圆筒的转速为N，由ω＝2πN得时间t＝＝(n＝1,2,3…)，由题意知R＝v0t，得N＝20(6n－1) r/s(n＝1,2,3…)，当n＝1时，N＝100 r/s，当n＝2时，N＝220 r/s，故选C.

题组A  基础过关练

1． (多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是(　　)

A．周期  B．速率  C．角速度  D．线速度

【答案】　ABC

【解析】匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误．

2. (多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是(　　)

A．因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比

B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比

C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比

D．因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比

【答案】　CD

【解析】当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，所以A错误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，所以B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，所以C、D正确．

3．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法正确的是(　　)

A．线速度大的角速度一定大

B．线速度大的周期一定小

C．角速度大的半径一定小

D．角速度大的周期一定小

【答案】　D

【解析】由v＝ωr知ω＝，角速度与线速度、半径两个因素有关，线速度大的角速度不一定大，选项A错误；同理角速度大的半径不一定小，选项C错误；由T＝知，周期与半径、线速度两个因素有关，线速度大的周期不一定小，选项B错误；由T＝可知，ω越大，T越小，选项D正确．

4. 如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中(　　)

A．笔尖的速率不变

B．笔尖做的是匀速运动

C．任意相等时间内笔尖通过的位移相同

D．相同时间内笔尖转过的角度不同

【答案】A　

【解析】　由线速度的定义知，匀速圆周运动的线速度大小不变，也就是速率不变，但速度的方向时刻改变，故A正确，B错误；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的位移大小相等，但位移还要考虑方向，C错误；相同时间内笔尖转过的角度相同，D错误．

5．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速率跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速率跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则(　　)

A．ω1>ω2，v1>v2   B．ω1<ω2，v1<v2

C．ω1＝ω2，v1<v2   D．ω1＝ω2，v1＝v2

【答案】C　

【解析】由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝，v2＝，v1<v2.由ω＝，得ω1＝ω2，故选C.

6. 小红同学在体验糕点制作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放置一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘每隔4 s均匀“点”一次奶油，蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶油．下列说法正确的是(　　)

A．圆盘转动的转速为2π r/min

B．圆盘转动的角速度大小为 rad/s

C．蛋糕边缘的线速度大小为 m/s

D．蛋糕边缘的奶油半个周期内的平均速度为0

【答案】B　

【解析】　由题意可知，圆盘转动的周期为T＝15×4 s＝60 s＝1 min，则圆盘转动的转速为1 r/min，A错误；圆盘转动的角速度为ω＝＝ rad/s＝ rad/s，B正确；蛋糕边缘的线速度大小为v＝rω＝0.1× m/s＝ m/s，C错误；蛋糕边缘的奶油半个周期内的平均速度约为＝＝ m/s＝ m/s，故D错误．

题组B  能力提升练

7. 如图,A、B、C三点为奶茶塑封机手压杆上的点,A在杆的顶端,O为杆转动的轴,且AB=BC=CO。在杆向下转动的过程中,下列说法正确的是              (　　)

A.A、B两点线速度大小之比为1∶3

B.B、C两点周期之比为1∶1

C.A、B两点角速度之比为3∶2

D.B、C两点的线速度大小之比为1∶2

【答案】B　

【解析】　因为A、B两点同轴转动,所以A、B两点的角速度是相等的;由v=rω可知,角速度一定时,线速度大小之比等于运动半径之比,故A、B两点线速度大小之比为3∶2,A、C错误。因为B、C两点同轴转动,所以B、C两点的角速度是相等的,故周期相等,由v=ωr可知,B、C两点的线速度大小之比为2∶1,故B正确,D错误。

8. A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动,在相同时间内,它们通过的路程之比是4∶3,运动方向改变的角度之比是3∶2,则它们              (　　)

A.线速度大小之比为2∶3

B.角速度大小之比为3∶4

C.圆周运动的半径之比为2∶1

D.转速之比为3∶2

【答案】　D

【解析】　根据线速度定义式v=,已知在相同时间内它们通过的路程之比是4∶3,则线速度大小之比为4∶3,故A错误;根据角速度定义式ω=,相同时间内它们转过的角度之比为3∶2,则角速度之比为3∶2,故B错误;根据公式v=rω,可得圆周运动半径r=,线速度大小之比为4∶3,角速度之比为3∶2,则圆周运动的半径之比为8∶9,故C错误;根据T=得,周期之比为2∶3,再根据n=得转速之比为3∶2,故D正确。

9． “单车共享”是目前中国规模最大的近距离交通代步方案,为我们提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的交通服务。如图所示是一辆共享单车,A、B、C三点分别为单车轮胎和大、小齿轮外沿上的点,其中RA=2RB=5RC,下列说法中正确的是              (　　)

A.A点和B点的线速度满足vA=2vB

B.A点与C点的线速度满足vC=vA

C.B点与C点的角速度满足2ωB=5ωC

D.A点与B点的角速度满足2ωA=5ωB

【答案】D　

【解析】　大齿轮与小齿轮靠链条传动,边缘点的线速度大小相等,即vB=vC①,根据v=ωR及RA=2RB=5RC可得==②,即5ωB=2ωC,故C错误;后轮和小齿轮同轴转动,角速度相同,即ωA=ωC③,根据v=ωR及RA=2RB=5RC可得==④,故B错误;由①④可得=,A点和B点的线速度满足vA=5vB,故A错误;由②③可得=,即A点与B点的角速度满足2ωA=5ωB,故D正确。故选D。

10. 如图为某种水轮机的示意图,水平管出水口的水流速度恒定,为v0,当水流冲击到水轮机上某挡板时,水流的速度方向刚好与该挡板垂直,该挡板的延长线过水轮机的转轴O,且与水平方向的夹角为30°。当水轮机圆盘稳定转动后,挡板的线速度恰为冲击挡板的水流速度的一半。忽略挡板的大小,不计空气阻力,若水轮机圆盘的半径为R,则水轮机圆盘稳定转动的角速度大小为              (　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

【答案】B　　

【解析】水从管口流出后做平抛运动,设水流到达挡板时的速度大小为v,则v==2v0,圆盘稳定转动后,挡板的线速度恰为冲击挡板的水流速度的一半,即挡板的线速度为v'==v0,根据v=rω,可得圆盘转动的角速度ω==,故B正确,A、C、D错误

题组C  培优拔尖练

11．如图所示,一位同学玩飞镖游戏,圆盘最上端有一点P,飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高,且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛岀的同时,圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力,重力加速度为g,若飞镖恰好击中P点,求:

(1)圆盘的半径;

(2)圆盘转动角速度的最小值。

【答案】　(1)　(2)

【解析】

　(1)飞镖水平抛出后做平抛运动,在水平方向做匀速直线运动,因此飞行时间t=,飞镖击中P点时,P恰好在最下端,则2r=gt2,解得圆盘的半径为r=。

(2)飞镖击中P点,则P点转过的角度θ满足θ=π+2kπ(k=0,1,2,…),故ω==(k=0,1,2,…),圆盘转动角速度的最小值为。

12. 如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方高h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，B为圆盘边缘上的点，求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω.

【答案】　R　2nπ(n＝1,2,3…)

【解析】

设小球在空中运动时间为t，此时间内圆盘转过θ角，则R＝vt，h＝gt2

故初速度大小v＝R

θ＝n·2π(n＝1,2,3…)

又因为θ＝ωt

则圆盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3…)．