初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用第1课时教学设计

28.2  解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例（第1课时）

一、教学目标

【知识与技能】

1.巩固解直角三角形相关知识；

2.能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.

【过程与方法】

经历解直角三角形的实际应用，运用转化思想，学会把实际问题转化为数学问题来解决，培养学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时 共3课时

四、教学重难点

【教学重点】 

能利用直角三角形元素之间的关系，解决实际问题.

【教学难点】 

实际问题转化为数学模型.

五、课前准备 

教师：课件、直尺、三角板等.

学生：直尺、三角板.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.

你知道高跟鞋的鞋底与地面的夹角为多少度时，人脚的感觉最舒适吗？

（二）探索新知

知识点  利用解直角三角形解答简单的问题（出示课件4）

解直角三角形主要用到以下知识：

⑴三边之间的关系；

（2）两锐角之间的关系；

（3）边角之间的关系.

；；

；；

；.

小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了300m.在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?（出示课件5）

师生共同解决：

解：BD=ABsin30°=150m.

小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？（出示课件6）

师生共同解决：

解：

231÷2=115.5（s），

小明需要115.5s才能到达目的地.

考点1 建立直角三角形模型解答简单的问题.

例  2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？（出示课件7～8）

教师分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切的切点.求最远点与P点的距离就是求弧PQ的长.为计算弧PQ的长,必须要求出∠POQ的度数.

解:设∠FOQ =α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形．

∵，

∴a≈18.36°

.

当组合体在P点的正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.

教师问：从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？（出示课件9）

学生分组讨论后，教师强调：一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．

师生共同总结：（出示课件10）

解直角三角形的应用：

(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；

(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；

(3)得到数学问题答案；

(4)得到实际问题答案.

教师强调：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.

出示课件11，学生独立解决，一生板演，教师订正.

考点2 建立直角三角形模型解答生活问题.

例  如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？（出示课件12～13）

师生共同分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.

师生共同解决:（出示课件14）

解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，

∴AC=ABcos∠CAB=1.5m.

∴CD=AD－AC=1.5m.

∴CE=CD+DE=2.0m.

即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.

出示课件15～16，学生独立解决，一生板演，教师订正.

（三）课堂练习（出示课件17-25）

引导学生练习课件17-25页题目，解决相应问题，约用时20分钟

（四）课堂小结（出示课件26）

本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）

师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：

解直角三角形的应用：

(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；

(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；

(3)得到数学问题答案；

(4)得到实际问题答案.

（五）课前预习

预习下节课（28.2.2（第2课时））的相关内容.

会解简单的仰角、俯角问题.

七、课后作业

教材第76页练习第2题.

八、板书设计

28.2.2 应用举例（第1课时）

1.简单应用

2.例题

九、教学反思

本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.