人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用教案设计

28.2  解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形

一、教学目标

【知识与技能】

1.了解解直角三角形的意义和条件；

2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系；

3.能根据直角三角形中除直角以外的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形.

【过程与方法】

通过探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过程中渗透“数学建模”和“转化”思想.

【情感态度与价值观】

通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识能应用于社会实践。并让学生体验到学习是需要付出努力和劳动的.

二、课型

新授课

三、课时

1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形.

【教学难点】 

选择适当的关系式解直角三角形.

五、课前准备 

教师：课件、直尺、三角板等.

学生：直尺、三角板.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6m的梯子，问：

（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？

（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1°）？这时人能够安全使用这个梯子吗？

（二）探索新知

知识点1 解直角三角形的概念（出示课件4）

如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.

根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角．

学生尝试解决：

，

利用计算器可得.

教师强调：将上述问题推广到一般情形，就是：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.

教师问：在直角三角形中知道几个条件可以求解呢？

学生思考后，师生共同探究：（出示课件5）

在Rt△ABC中,

教师问：根据∠A=60°，你能求出这个三角形的其他元素吗?

学生答：不能.

教师问：根据∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?

学生答：不能.

教师问：根据∠A=60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其他元素吗?

学生答：∠B；AC；BC.

教师问：根据，AC=2，你能求出这个三角形的其他元素吗？

学生答：∠A；∠B；AB.

教师问：你发现了什么？（出示课件6）

学生答：我发现了，在Rt△ABC中,已知一角或两角，不能求其它元素；已知一角一边或两边，能求其他元素.

教师强调：在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.

师生共同总结：（出示课件7）

由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.

解直角三角形的依据：

(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2.

(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°.

(3)边角之间的关系:sinA＝，cosA＝，tanA＝.

教师强调：解直角三角形的原则：（出示课件8）

(1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）；

(2)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算；

(3)取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间数据求解.

知识点2 知道两边解直角三角形

如图，在Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（出示课件9）

师生共同解答：

考点 已知两边解直角三角形（出示课件10）

例  如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，，解这个直角三角形.

该题属于已知两边求第三边和两个锐角的情况，有多种解题方法，学生尝试独立解题，之后进行比较，选出最简便的方法，并小结“已知两边如何解直角三角形”.

解：

出示课件11，学生独立解决一生板演，教师订正.

知识点3 已知一边和一锐角解直角三角形

如图，在Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（出示课件12）

师生共同解答：

考点 已知一边和一锐角解直角三角形（出示课件13）

例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).

该题属于已知一条边和一个锐角，求另外两条边和另一个锐角的情况，学生可以独立完成，之后比较各种方法中哪些较好，选一种板演．并引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形”

出示课件14～15，学生独立完成，找两生板演，教师订正.

知识点4 已知一边和三角函数值解直角三角形

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=5，试求AB的长.（出示课件16）

学生独立思考后，师生共同解决：

解：∵

∴

设

∵

∴

∴

∴AB的长为

出示课件17，学生独立完成并口答，教师订正.

（三）课堂练习（出示课件18-24）

引导学生练习相关题目，巩固本科所学知识点，约用时20分钟。

（四）课堂小结（出示课件25）

本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）

师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：

1.直角三角形的五个元素关系：

(1)三边之间的关系:(勾股定理)

(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°

(3)边角之间的关系:

2.已知两边,解直角三角形

3.已知一边和一锐角,解直角三角形

（五）课前预习

预习下节课（28.2.2（第1课时））的相关内容.

会解简单的直角三角形应用题.

七、课后作业

教材第74页练习.

八、板书设计

28.2.1 解直角三角形

1.解直角三角形：在直角三角形中除直角外，由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．

2.两种情况：

（1）已知两条边

（2）已知一边和一锐角

九、教学反思

在创设情境中，由一个实际问题引入，自然过渡到直角三角形．在探究新知中，采用启发法、讨论法等教学方法，学生通过讨论、实践形成理论体系，对知识掌握较为牢固.

解直角三角形是重点，而选择恰当的边角关系则是难点，为了突破此难点，本节课通过例题让学生探究、讨论、总结出选择边角关系的策略：有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切），宁乘勿除，取原避中”.因为有这些例题的引导，所以学生对于解直角三角形的两个类型的掌握，应该没有问题.