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初中数学人教版七年级上册 第一章 有理数-单元复习 课件
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人教版七年级上册 第一章 有理数 思维导图 11. 理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小. 2. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法. 3. 理解乘方的意义. 4. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.5. 能运用有理数的运算解决简单问题. 课程标准 2 知识要点 3知识点一 有理数的概念和分类 （1）相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量。如前进8m与前进5m，上升与下降不是相反意义的量；因为前者意义相同，后者缺少数量。（2）与一个量成相反意义的量不止一个，如与上升2m成相反意义的量就很多，如：下降1m，下降0.2m,……㈠正数与负数1、正数与负数的概念：①正数：大于0的数。②负数：小于0的数。带“-”号的数并不都是负数。如：-（-6)③0既不是正数，也不是负数。2、正数与负数的意义：在实际中表示意义相反的量。知识点一 有理数的概念和分类 （3）在同一问题中，用正、负数表示具有相反意义的量。对于两个具有相反意义的量， 把哪一种意义规定为正，带有任意性，不过习惯上把向东、上升、盈利、运进、增加、收入等规定为正，把它们的相反量规定为负的。㈡有理数：1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。2、有理数的分类：⑴按整数与分数的关系分： ⑵按正数、负数、0的关系分： 知识点一 有理数的概念和分类 注意：（1）有限小数、无限循环小数是有理数，可化为分数；无限不循环小数不是有理数. 如：π（2）负数和0统称为非正数； 正数和0统称为 非负数； 正整数和0统称为非负整数；负整数和0统称为非正整数。【典例讲解】(3)非负整数集合：{ }；(4)有理数集合：{ }． 0,2020，-（-6） 【答案】【答案】B 知识要点 4知识点二 数轴、绝对值与相反数 3、数轴⑴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。⑵数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 (画数轴时，要注意三要素缺一不可)⑶数轴的画法：①画一条直线；②确定正方向③选定原点④选取单位长度（单位长度可灵活选定）⑷数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，有理数都可以在数轴上找到它的位置。正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示。⑸利用数轴比较有理数的大小：①数轴上右边的数总比左边的数大； ②负数＜0＜正数。知识点二 数轴、绝对值与相反数 4、相反数：①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。②a的相反数是-a;0的相反数是0；（相反数是它本身的数是0） a-b的相反数是b-a; ③若a、b互为相反数，则a+b=0. 反之亦然。④从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，分居在原点两边，到原点距离相等．5、绝对值：①数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离叫做a的绝对值。a的绝对值就是数a所表示点到原点的距离。表示成︱a︱。（︱a︱≥0，一个数的绝对值是非负数）若︱a-2︱+︱3-b︱=0,则a-2=0；3-b=0，可求出a=2；b=3知识点二 数轴、绝对值与相反数 ②绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．③互为相反数的两个数的绝对值相等。 即︱a︱=︱-a︱且︱a-b︱=︱b-a︱ 若︱c︱=5,则c=±5若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。④利用绝对值比较大小：两个负数，绝对值大的反而小。其步骤如下：第一步分别求出两个负数的绝对值，第二步比较这两个绝对值的大小，第三步根据性质比较。注意：0非常特殊，绝对值等于它本身的有正数和0，绝对值等于它的相反数的有负数和0.知识点二 数轴、绝对值与相反数 6、实数比大小：①利用数轴：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 ②利用绝对值比较负数大小：两个负数大小，绝对值大的反而小 注意：特别是字母比较大小时，利用数轴就比较简单。如：已知有理数a，b所对应的点在数轴上的位置如图所示，把0，a，b,-a,-b用＜连接（提示只要在数轴上标出-a,-b即可） ㈢ 科学记数法： ①把一个大于10的数表示成（其中1≤ ＜10）的形式，这种表示数的方法叫科学记数法 ㈣ 近似数：1、近似数：近似地表示某个量准确值的数。2、精确度：一个近似数,四舍五入到哪位，就精确到哪位；3、在使用和确定近似数时要特别注意：（1）一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零。（2）求精确到某一位的近似值时，只需把下一位的数四舍五入，而不看后面各数位上的数的大小。（3）用科学记数法表示的近似数，精确到哪一位，要看“×”号前的部分，最末尾一个数在原数处于哪一位就精确到哪一位．【典例讲解】 例2.在数轴上把下列各数表示出来，并用从小到大排列出来 2.5，﹣2，|﹣4|，﹣（﹣1），0，﹣（+3） 解：|﹣4|=4，﹣（﹣1）=1，﹣（+3）=﹣3，﹣（+3）＜﹣2＜0＜﹣（﹣1）＜2.5＜|﹣4|．例3．已知|x|＝5，|y|＝3，且x>y.求x＋y的值．解：因为|x|＝5，所以x＝±5.因为|y|＝3，所以y＝±3.因为x＞y所以x＝5，y＝3或y=-3，当x＝5，y＝3时，x＋y＝5+3＝8当x＝5，y＝-3时，x＋y＝5-3＝2所以x＋y的值是8或2【典例讲解】解：由题意，得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝2，故m2＝4，原式＝0＋2×4－3×1＝5【典例讲解】【变式训练】3．（2021·河南）中国科学院高能物理研究所2021年5月17日公布，国家重大科技基础设施“高海拔宇宙线观测站”记录到1 400万亿电子伏特的伽马光子，这是人类迄今观测到的最高能量光子. 数据“1 400万亿”用科学记数法表示为（ ）A. 1.4×1015 B. 1.4×1016C. 1 400×1012 D. 1 400×10134．已知有理数a，b所对应的点在数轴上的位置如图所示，则有（ ）AA5．已知(a－2)2＋(b＋3)2＋|c－5|＝0，求a－2b＋c2的值．解：依题意得a－2=0，b＋3=0，c－5=0所以a＝2，b＝－3，c＝5，原式＝2-2×（-3）+5²=336．若m，n互为相反数，x，y互为倒数．求2019m＋2019n－2020xy的值．解：因为m，n互为相反数，所以m+n=0因为x，y互为倒数, 所以xy=1原式=2019（m+n）－2020xy =2019×0－2020×1 =－2020 5 知识要点知识点三 有理数的计算法则知识点三 有理数的运算 知识点三 有理数的运算难点突破（一）加法、乘除和乘方的符号问题（1）加法符号法则：同号两数相加，取相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号。减法是减号变成加号，减数变成相反数，然后按照加法法则去计算。 (2)乘除法符号法则：两数相乘（除），同号得正，异号得负。 (3)乘方符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数。 加法和乘除法的符号法则易混淆，一定要牢记！做题切记先判断符号！！！（二）乘方易错点 知识点三 有理数的运算知识点三 有理数的运算【典例讲解】 (2)(－25)×(－9)×4×(－0.6)；解：原式=－（25×4）×（9×0.6) =－100×5.4 =－540解：原式=－1×5+（－5）－（－2) =－5+（－5）+2 =－8解：原式=10×[(－2.7)＋(－8.3)＋1] = 10×（－11+1） =10 ×（－10） = －100(4)10×(－2.7)＋10×(－8.3)＋10；解：原式==18-20+14=12例6：某巡警骑摩托车在一条南北大道上来回巡逻，一天早晨，他从岗亭出发，中午停留在A处，规定向北方向为正，当天上午连续行驶情况记录如下（单位：千米）：+5，﹣4，+3，﹣7，+4，﹣8，+2，﹣1．（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？（2）若摩托车每行驶1千米耗油升，这一天上午共耗油多少升？解：（1）+5-4+3-7+4-8+2-1=1-4-4+1=-6,即A处在岗亭南方6km 处,（2）5+4+3+7+4+8+2+1=9+10+12+3=34,所以这一天上午共耗油34a升.【典例讲解】例7：小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．（1）小虫最后是否回到出发点A？（2）小虫离开原点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？【典例讲解】解：（1）+5-3+10-8-6+12-10=27-27=0，所以小虫最后回到出发点A；（2）第一次爬行距离原点是5cm，第二次爬行距离原点是5-3=2（cm），第三次爬行距离原点是2+10=12（cm），第四次爬行距离原点是12-8=4（cm），第五次爬行距离原点是|4-6|=2（cm），第六次爬行距离原点是-2+12=10（cm），第七次爬行距离原点是10-10=0（cm），从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；（3）小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3+10+8+6+12+10=54（cm）．54×1=54（粒）所以小虫一共得到54粒芝麻．【变式训练】=-1=-2=-1348.数－(－1)，(－1)2，－(－1)3，－(＋1)中为负数的是( )A．－(－1) B．(－1)2C．－(－1)3 D．－(＋1)9.在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积是 （ ），最小的积是（ ）．解：在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积必须为正数，即（﹣5）×（﹣3）×5＝75，最小的积为负数，即（﹣5）×（﹣3）×（﹣2）＝﹣30．D75-3010.上午8点，某人驾驶一辆汽车从A地出发，向东记为正，向西记为负.记录前4次行驶过程如下：－15公里，＋ 25公里，－20公里，＋30公里，若要汽车最后回到A地，则最后一次如何行驶？已知汽车行驶的速度为55千米/小时，在这期间他办事花去2小时，问他回到A地的时间.解：由题意得：-15+25-20+30=20， 因为汽车最后回到A地，所以最后一次向西行驶20公里； 汽车共行驶|﹣15|+|+25|+|﹣20|+|+30|+|﹣20|=110（公里）， 用时为：110÷55=2（时）， 所以共用时2+2=4小时， 故回到A地的时间为8+4=12点．
人教版七年级上册 第一章 有理数 思维导图 11. 理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小. 2. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法. 3. 理解乘方的意义. 4. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.5. 能运用有理数的运算解决简单问题. 课程标准 2 知识要点 3知识点一 有理数的概念和分类 （1）相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量。如前进8m与前进5m，上升与下降不是相反意义的量；因为前者意义相同，后者缺少数量。（2）与一个量成相反意义的量不止一个，如与上升2m成相反意义的量就很多，如：下降1m，下降0.2m,……㈠正数与负数1、正数与负数的概念：①正数：大于0的数。②负数：小于0的数。带“-”号的数并不都是负数。如：-（-6)③0既不是正数，也不是负数。2、正数与负数的意义：在实际中表示意义相反的量。知识点一 有理数的概念和分类 （3）在同一问题中，用正、负数表示具有相反意义的量。对于两个具有相反意义的量， 把哪一种意义规定为正，带有任意性，不过习惯上把向东、上升、盈利、运进、增加、收入等规定为正，把它们的相反量规定为负的。㈡有理数：1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。2、有理数的分类：⑴按整数与分数的关系分： ⑵按正数、负数、0的关系分： 知识点一 有理数的概念和分类 注意：（1）有限小数、无限循环小数是有理数，可化为分数；无限不循环小数不是有理数. 如：π（2）负数和0统称为非正数； 正数和0统称为 非负数； 正整数和0统称为非负整数；负整数和0统称为非正整数。【典例讲解】(3)非负整数集合：{ }；(4)有理数集合：{ }． 0,2020，-（-6） 【答案】【答案】B 知识要点 4知识点二 数轴、绝对值与相反数 3、数轴⑴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。⑵数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 (画数轴时，要注意三要素缺一不可)⑶数轴的画法：①画一条直线；②确定正方向③选定原点④选取单位长度（单位长度可灵活选定）⑷数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，有理数都可以在数轴上找到它的位置。正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示。⑸利用数轴比较有理数的大小：①数轴上右边的数总比左边的数大； ②负数＜0＜正数。知识点二 数轴、绝对值与相反数 4、相反数：①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。②a的相反数是-a;0的相反数是0；（相反数是它本身的数是0） a-b的相反数是b-a; ③若a、b互为相反数，则a+b=0. 反之亦然。④从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，分居在原点两边，到原点距离相等．5、绝对值：①数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离叫做a的绝对值。a的绝对值就是数a所表示点到原点的距离。表示成︱a︱。（︱a︱≥0，一个数的绝对值是非负数）若︱a-2︱+︱3-b︱=0,则a-2=0；3-b=0，可求出a=2；b=3知识点二 数轴、绝对值与相反数 ②绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．③互为相反数的两个数的绝对值相等。 即︱a︱=︱-a︱且︱a-b︱=︱b-a︱ 若︱c︱=5,则c=±5若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。④利用绝对值比较大小：两个负数，绝对值大的反而小。其步骤如下：第一步分别求出两个负数的绝对值，第二步比较这两个绝对值的大小，第三步根据性质比较。注意：0非常特殊，绝对值等于它本身的有正数和0，绝对值等于它的相反数的有负数和0.知识点二 数轴、绝对值与相反数 6、实数比大小：①利用数轴：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 ②利用绝对值比较负数大小：两个负数大小，绝对值大的反而小 注意：特别是字母比较大小时，利用数轴就比较简单。如：已知有理数a，b所对应的点在数轴上的位置如图所示，把0，a，b,-a,-b用＜连接（提示只要在数轴上标出-a,-b即可） ㈢ 科学记数法： ①把一个大于10的数表示成（其中1≤ ＜10）的形式，这种表示数的方法叫科学记数法 ㈣ 近似数：1、近似数：近似地表示某个量准确值的数。2、精确度：一个近似数,四舍五入到哪位，就精确到哪位；3、在使用和确定近似数时要特别注意：（1）一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零。（2）求精确到某一位的近似值时，只需把下一位的数四舍五入，而不看后面各数位上的数的大小。（3）用科学记数法表示的近似数，精确到哪一位，要看“×”号前的部分，最末尾一个数在原数处于哪一位就精确到哪一位．【典例讲解】 例2.在数轴上把下列各数表示出来，并用从小到大排列出来 2.5，﹣2，|﹣4|，﹣（﹣1），0，﹣（+3） 解：|﹣4|=4，﹣（﹣1）=1，﹣（+3）=﹣3，﹣（+3）＜﹣2＜0＜﹣（﹣1）＜2.5＜|﹣4|．例3．已知|x|＝5，|y|＝3，且x>y.求x＋y的值．解：因为|x|＝5，所以x＝±5.因为|y|＝3，所以y＝±3.因为x＞y所以x＝5，y＝3或y=-3，当x＝5，y＝3时，x＋y＝5+3＝8当x＝5，y＝-3时，x＋y＝5-3＝2所以x＋y的值是8或2【典例讲解】解：由题意，得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝2，故m2＝4，原式＝0＋2×4－3×1＝5【典例讲解】【变式训练】3．（2021·河南）中国科学院高能物理研究所2021年5月17日公布，国家重大科技基础设施“高海拔宇宙线观测站”记录到1 400万亿电子伏特的伽马光子，这是人类迄今观测到的最高能量光子. 数据“1 400万亿”用科学记数法表示为（ ）A. 1.4×1015 B. 1.4×1016C. 1 400×1012 D. 1 400×10134．已知有理数a，b所对应的点在数轴上的位置如图所示，则有（ ）AA5．已知(a－2)2＋(b＋3)2＋|c－5|＝0，求a－2b＋c2的值．解：依题意得a－2=0，b＋3=0，c－5=0所以a＝2，b＝－3，c＝5，原式＝2-2×（-3）+5²=336．若m，n互为相反数，x，y互为倒数．求2019m＋2019n－2020xy的值．解：因为m，n互为相反数，所以m+n=0因为x，y互为倒数, 所以xy=1原式=2019（m+n）－2020xy =2019×0－2020×1 =－2020 5 知识要点知识点三 有理数的计算法则知识点三 有理数的运算 知识点三 有理数的运算难点突破（一）加法、乘除和乘方的符号问题（1）加法符号法则：同号两数相加，取相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号。减法是减号变成加号，减数变成相反数，然后按照加法法则去计算。 (2)乘除法符号法则：两数相乘（除），同号得正，异号得负。 (3)乘方符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数。 加法和乘除法的符号法则易混淆，一定要牢记！做题切记先判断符号！！！（二）乘方易错点 知识点三 有理数的运算知识点三 有理数的运算【典例讲解】 (2)(－25)×(－9)×4×(－0.6)；解：原式=－（25×4）×（9×0.6) =－100×5.4 =－540解：原式=－1×5+（－5）－（－2) =－5+（－5）+2 =－8解：原式=10×[(－2.7)＋(－8.3)＋1] = 10×（－11+1） =10 ×（－10） = －100(4)10×(－2.7)＋10×(－8.3)＋10；解：原式==18-20+14=12例6：某巡警骑摩托车在一条南北大道上来回巡逻，一天早晨，他从岗亭出发，中午停留在A处，规定向北方向为正，当天上午连续行驶情况记录如下（单位：千米）：+5，﹣4，+3，﹣7，+4，﹣8，+2，﹣1．（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？（2）若摩托车每行驶1千米耗油升，这一天上午共耗油多少升？解：（1）+5-4+3-7+4-8+2-1=1-4-4+1=-6,即A处在岗亭南方6km 处,（2）5+4+3+7+4+8+2+1=9+10+12+3=34,所以这一天上午共耗油34a升.【典例讲解】例7：小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．（1）小虫最后是否回到出发点A？（2）小虫离开原点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？【典例讲解】解：（1）+5-3+10-8-6+12-10=27-27=0，所以小虫最后回到出发点A；（2）第一次爬行距离原点是5cm，第二次爬行距离原点是5-3=2（cm），第三次爬行距离原点是2+10=12（cm），第四次爬行距离原点是12-8=4（cm），第五次爬行距离原点是|4-6|=2（cm），第六次爬行距离原点是-2+12=10（cm），第七次爬行距离原点是10-10=0（cm），从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；（3）小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3+10+8+6+12+10=54（cm）．54×1=54（粒）所以小虫一共得到54粒芝麻．【变式训练】=-1=-2=-1348.数－(－1)，(－1)2，－(－1)3，－(＋1)中为负数的是( )A．－(－1) B．(－1)2C．－(－1)3 D．－(＋1)9.在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积是 （ ），最小的积是（ ）．解：在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积必须为正数，即（﹣5）×（﹣3）×5＝75，最小的积为负数，即（﹣5）×（﹣3）×（﹣2）＝﹣30．D75-3010.上午8点，某人驾驶一辆汽车从A地出发，向东记为正，向西记为负.记录前4次行驶过程如下：－15公里，＋ 25公里，－20公里，＋30公里，若要汽车最后回到A地，则最后一次如何行驶？已知汽车行驶的速度为55千米/小时，在这期间他办事花去2小时，问他回到A地的时间.解：由题意得：-15+25-20+30=20， 因为汽车最后回到A地，所以最后一次向西行驶20公里； 汽车共行驶|﹣15|+|+25|+|﹣20|+|+30|+|﹣20|=110（公里）， 用时为：110÷55=2（时）， 所以共用时2+2=4小时， 故回到A地的时间为8+4=12点．
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