初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数优秀测试题

第4讲 二次函数

1、理解二次函数的概念；

2、能根据二次函的解析式判断是否为二次函数；

3、根据二次函数概念求参数。

知识点

1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.

若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.

特别说明：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0      时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.

特别说明：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三

种形式可以互化.

【知识拓展1】对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（   ）

A.     B.

C.       D.

【知识拓展2】下列函数关系中，不是二次函数的是（   ）

  A.边长为x的正方形的面积y与边长x的函数关系

B.一个直角三角形两条直角边长的和是6，则这个直角三角形的面积y与一条直角边x的函数关系

C.在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方形，剩余面积S与t的函数关系

D.多边形的内角和m与边数n的函数关系

【知识拓展3】二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（     ）

A.1        B.-1       C.2         D.-2

类型一、二次函数的判断

1． 下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______(其中x、t为自变量).

【变式1】 下列各式：；其中是的二次函数的有________（只填序号）

【变式2】当m＝____________时，函数是二次函数．

【变式3】 已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

类型二、根据二次函数定义求参数

2．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．

（1）若这个函数是一次函数，求k的值；

（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？

【变式1】已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：

（1）y是x的一次函数；

（2）y是x的二次函数．

【变式2】 （1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围；

（2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值．

【变式3】 已知．

（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；

（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．

类型三、列二次函数解析式

3、 王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式．

【变式1】 有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子。设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.

【变式2】已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：

（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP＝______，AQ＝______；

（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；

（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形，那么是否存在某一时间t，使四边形为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

（3）当t＝4时，四边形PQP′C是菱形，理由如下：

证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，

【变式3】 下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为2，3，4，…，设边长为 的等边三角形由 个小等边三角形组成，按此规律推断与有怎样的关系．

题组A  基础过关练

1. 二次函数中，______，______，______。

2.已知函数，若这个函数是二次函数，求的取值范围。

3. 下列表达式中，x为自变量，其中为二次函数的是（    ）

y=3(x-1)²-3；y=(x+3)²-x²；y=10πx²；④

1.       B.      C.       D. ④

4.圆环的内圆半径是x，外圆半径是R，圆环的面积是y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

题组B  能力提升练

1.若函数 是二次函数，则k的值为（     ）

A.0        B.0或3         C.3         D.不确定

2.判断下列所给函数表达式中是二次函数的有        .

①y=x2+；② y=+x；③y=(x+1)3-x2；  ④y=4(x-1)2；

⑤y=-（x-3）2+x2  ；⑥y=(x+2)(x-2)+2x+4.

3.某种品牌服装的进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件，在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，请列出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

,

题组C  培优拔尖练

1. 已知是关于x的二次函数，求a，b的值。

2.正方形的边长为5，如果边长减小a，那么面积减小b.请根据条件回答问题：

（1）求b与a之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；

（2）判断（1）所列函数表达式是二次函数吗，如果是，写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

3.某商场今年一月份销售额为50万元，二、三月份平均每月增长率为，第一季度销售额与之间

的函数表达式为             ，若第一季度销售额为84.5元，则此时的增长率x为         .

4.如图,直线l与x轴、y轴分别交于点M(8,0),点N(0,6).点P从点N出发,以每秒1个单位长度的速度沿N⇒O方向运动,点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动。已知点P、Q同时出发,当点Q达点M时,P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒。设四边形MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围。