2023-2024学年辽宁省沈阳市辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，问答题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】两个集合元素类型不同，故，得到答案.
【详解】，，
两个集合元素类型不同，故，
故选：D
2．已知函数是幂函数，且时，单调递增，则的值为（ ）
A．1B．
C．D．或1
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性列式计算即可.
【详解】函数是幂函数，且时，单调递增,
,
解得.
故选：C.
3．若是方程的两个实数根，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用方程的根产生的等式及韦达定理计算即可.
【详解】是方程的两个实数根，
，
.
故选：B.
4．一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：）（ ）
A．5小时后B．7小时后
C．9小时后D．11小时后
【答案】B
【分析】设小时后减少到，依题意可得，两边同时取对数，再根据对数的运算法则计算可得.
【详解】设小时后减少到，则，则，即，
则，则，则注射时间需小于小时.
故选：B．
5．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数运算和对数函数的单调性得到，，，得到答案.
【详解】；
；
；
故.
故选：C.
6．设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的图象过点，得到，即的图象过点，然后再根据原函数和反函数图象上的点的对称性求解.
【详解】解：因为函数的图象过点，
所以，解得，即的图象过点，
所以的图象过点，的图象过点，
所以的图象过点，
故选：A
7．函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（ ）
A．66B．70C．124D．144
【答案】B
【分析】先根据条件得到函数和的对称性，然后由，利用对称性得到，再求出，解方程可得结果.
【详解】为偶函数，即，
的图像关于对称，
为奇函数，即，
的图像关于点对称，
对于，均有，
，
的图像关于对称，，
的图像关于点对称，
又
解得，
.
故选：B.
8．已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出函数的图像，然后对于不等式，分和以及和进行分析说明得实数的最小值.
【详解】函数的图像如下：
不等式恰有两个整数解，
①当时，，即，
当时，，
由于恰有两个整数解，又，
则整数解为和，又，
因为求最小值，此时就不用考虑了，的最小值为，
②当时，对于，
则，
只考虑，
则
又时有两个整数解，则不等式的解集中含有多于个整数解，故舍去，
综上，实数的最小值是.
故选：A.
二、多选题
9．下面命题正确的是（ ）
A．设，则“且”是“”的必要不充分条件
B．设，则“”是“”的必要不充分条件
C．命题“”的否定是“”；
D．“”是假命题，则
【答案】BD
【分析】“且”是“”的充分不必要条件，A错误，根据定义判断B正确，根据全称命题的否定得到C错误，变换得到，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】对选项A：若且，则；
若，取满足，不满足且；
故“且”是“”的充分不必要条件，错误；
对选项B：若，，则；若，则且；
故“”是“”的必要不充分条件，正确；
对选项C：命题“”的否定是“”，错误；
对选项D：“”是假命题，即，
即，，当且仅当时等号成立，故，正确；
故选：BD
10．甲乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图，下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的中位数是86
B．乙组数据的众数是77
C．甲组数据方差比乙组数据方差大
D．乙组数据的分位数是81
【答案】ABCD
【分析】A.由茎叶图判断；B.由茎叶图判断；C.利用方差公式求解判断；D利用百分位数定义求解判断.
【详解】解：由茎叶图知：甲组的中位数为，故A正确；
由茎叶图知：乙组的众数为77，故B正确；
甲组数据的平均数为，
乙组数据的平均数为甲组数据的平均数为，
甲组数据的方差为 ，
乙组数据的方差为
则甲组数据方差比乙组数据方差大，故C正确；
因为，所以乙组数据的分位数是从小到大排列的第5个数，即为81，故D正确；
故选：ABCD
11．已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，当时，，且方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的单调减区间为和
C．若方程有5个不同的实根，则
D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】根据对称确定函数解析式，画出函数图像，根据图像的对称性得到，A正确，根据图像得到单调区间，B正确，当时满足条件，C错误，确定，代入计算结合二次函数性质得到D正确，得到答案.
【详解】当时，，
当时，，，
画出函数图像，如图所示：
对选项A：根据对称性知，，故，正确；
对选项B：的单调减区间为和，正确；
对选项C：，，
或，
当或时，有两个解，有3个解，共有5个解，错误；
对选项D：，根据图像知：，
且，即，，
，
设，，故，
原式，正确；
故选：ABD
12．已知，下列说法正确的有（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用换元法，结合二次方程的判别式判断ABD，利用完全平方公式，结合二次不等式判断C，从而得解.
【详解】对于A，因为，即，
将其看成关于的一元二次方程，显然有解，
所以，解得，故A错误；
对于B，令，则，
将其代入，得，
整理得，将其看成关于的一元二次方程，显然有解，
所以，解得，故B正确；
对于C，因为，令，
所以由，得 ，即，
两边平方，得，解得，故C正确；
对于D，令，则，
将其代入，得，
整理得，将其看成关于的一元二次方程，显然有解，
所以，解得，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是善用换元法，将问题进行转化，从而得解.
三、问答题
13．已知总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5个数字开始，由左到右依次选取两个数字，写出选取的5个个体编号.
【答案】08，02，14，07，01.
【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论.
【详解】解：从随机数表的第一行得第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次选是08，02，14，07，，02，01等，其中02出现两次，所以依次选取的5个个体编号依次是08，02，14，07，01.
【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础.
四、填空题
14．关于的不等式的解集为 .
【答案】或
【分析】化简分式不等式通过分类讨论计算即可.
【详解】由，即，即，
若，则，解之得，
若，则，解之得，
故答案为：或．
15．已知正实数满足方程，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】通过构造函数，通过判断其单调性得到，再利用基本不等式求最值.
【详解】令，明显其在上单调递增，
又由得，
即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
16．已知函数，若，使恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先通过在上有解，将问题转化为关于的一次函数的最值问题，得到在上恒成立，去绝对值，通过参变分离进一步将问题转化为最值问题求解即可.
【详解】令在上有解，
，在上单调递增，
即，即，
在上恒成立，
即，
或，
即，解得或，
则在上恒成立，
当时，恒成立，
当时，有，即
又明显在上单调递增，，
当时，有，即
，
综上实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为在上恒成立，然后再分两类讨论，最后利用分离参数法即可得到答案.
五、问答题
17．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)-7
【分析】（1），两边平方得到，进而得到求解；
（2）分子利用指数幂的运算变形，分母利用根式的性质化简求解.
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
.
六、解答题
18．某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．
(1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；
(2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差．
【答案】(1)，平均数为76.50分，中位数为77.14分
(2)平均数87.5分，方差30.25．
【分析】（1）根据频率和为列方程求，然后直接求解平均数和中位数即可；
（2）先求出平均数，在利用方差公式计算方差即可.
【详解】（1）依题意，，得，
各组的频率依次为，
平均数为分，
中位数为分．
（2）分数在区间内的人数为，
分数在区间内的人数为，
所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分，
方差为.
七、证明题
19．已知
(1)求，并指出其在定义域内的单调性，无需写出证明过程；
(2)已知为的反函数，解不等式．
【答案】(1)，在上单调递增
(2)
【分析】（1）取，，代入函数化简得到解析式，根据解析式确定单调性即可.
（2）确定的值域为的定义域，的解集为，根据解得答案.
【详解】（1）取，则，，，
即，定义域为，
设，，则，函数单调递增，在上单调递增，
故在上单调递增．
（2）的值域为的定义域，在上单调递增，
故时，的取值范围为，故的解集为，
，可得，解集为．
20．已知为偶函数，
(1)求的值；
(2)指出并证明在的单调性．
【答案】(1)2
(2)函数在单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据偶函数得到，化简整理得到，得到答案.
（2）变换，，确定，得到，得到答案.
【详解】（1）为偶函数，即，
，故，，；
（2），其在单调递增，
下面给出证明：
，，
其中，，
故，则，
故，即，在单调递增．
八、问答题
21．汽车行驶过程中的油耗可以分为动力类油耗和非动力类油耗．汽车匀速行驶过程中，可以将汽车受到的阻力视作速度的函数，因此可以认为单位时间内的动力类油耗与成正比．非动力类油耗是指汽车内部的空调、指示灯、控制器件等电子设备在使用过程中带来的油耗增加，单位时间内的非动力类油耗可以看作是一个常数．某款家用汽车的实测单位时间油耗随速度变化的情况如下表所示．
(1)若认为匀速行驶过程中汽车所受阻力与速度的指数函数成正比，请建立汽车单位时间油耗随速度变化的数学模型，并根据实测数据确定模型中的参数．
(2)若认为匀速行驶过程中汽车所受阻力与速度的平方成正比，建立汽车每100公里油耗随速度变化的数学模型，根据实测数据确定模型中的参数，并据此估算汽车的每100公里油耗最低值，为驾驶员节能出行给出合理化建议．
【答案】(1)
(2)答案见解析．
【分析】（1）取，则汽车单位时间油耗可设为，根据数据列方程求解即可；
（2）取汽车单位时间油耗为，根据数据列方程求解，然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）取，则汽车单位时间油耗可设为，根据实测数据可知，
，解得，
；
（2）取汽车单位时间油耗为，
根据实测数据可知，，
解得，
，
汽车每100公里油耗随速度变化的函数为，
当且仅当时取等号，即当车速为80（公里小时）时，汽车每百公里油耗为8升，最为省油．
因此建议司机驾驶车辆尽量以80公里匀速行驶，最为节能．
22．已知，
(1)求的反函数；
(2)已知，若，使得，求的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）易得，从而根据其单调性求得值域，然后再利用反函数的定义求解；
（2）易得，由，得到其定义域为，由在上单调递增，其中．根据，由得到求解.
【详解】（1）解：，
则其在上单调递增，其值域为．
在中互换得，整理得，
，即反函数，定义域为．
（2）依题意，
其中，解得，即的定义域为，
则在上单调递增，其中．
，
，
．
，
当且仅当，即时取得，此时成立，
的最大值为．
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
速度（公里小时）
40
80
120
单位时间油耗（升小时）
4.00
6.40
10.40