2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先化简集合A和B,再求得解.

【详解】

由题得=或，=，

所以.

故选：C

【点睛】

本题主要考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．“是1和4的等比中项”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．即非充分也非毕必要条件

【答案】B

【解析】将条件“是1和4的等比中项”化简，得，结合充分必要条件判断即可

【详解】

由“是1和4的等比中项”可得，显然在命题“若是1和4的等比中项，则”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件

故选：B

【点睛】

本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题

3．若复数的共轭复数满足：，则复数等于（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由得出，利用复数的除法法则求出，利用共轭复数的概念可求出复数.

【详解】

，，因此，，

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.

4．每场足球比赛的时间长度为90分钟，若比赛过程中体力消耗过大，运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入到比赛之中了．某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20％，比赛结束前发生抽筋的概率为50％．若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，再利用条件概率求解.

【详解】

设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则.

所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为.

故选：C

【点睛】

本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．在中，，，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出,再利用基本不等式求的最大值.

【详解】

由题得，

因为,所以.

故选：A

【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】连结，由，可知异面直线与所成角是，分别求出，然后利用余弦定理可求出答案.

【详解】

连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，所以.

故选A.

【点睛】

本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.

7．如图，在正方体中，点、分别为线段、的中点，用平面截正方体，保留包含点在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】作出平面与正方体表面的交线，即得主视图.

【详解】

如图所示，平面截平面的交线为,平面截平面的交线为,所以以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为A.

故选：A

【点睛】

本题主要考查几何体的截面问题和三视图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．若，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题得，再通过求函数的值域得解.

【详解】

由题得，

设.

所以，

所以，

所以.

故选：A

【点睛】

本题主要考查指数运算和指数函数的性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．设点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据双曲线的定义可知，进而根据，分别求得和，进而根据勾股定理建立等式求得和的关系，然后求解渐近线方程．

【详解】

由双曲线的定义可得，

又，

得，；

在△中，，

，即，

则．即，

双曲线一条渐近线方程：；

故选：．

【点睛】

本题主要考查了双曲线的渐近线的求法．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．

10．将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（    ）种．

A．6 B．12 C．18 D．36

【答案】A

【解析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解.

【详解】

先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有种方法.

故选：A

【点睛】

本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11．设等差数列的前项和为，已知，为整数，且数列的最大项为，取，则的最大项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果．

【详解】

等差数列的前项和为，已知，为整数，，．

所以，

解得，

由于为整数，

所以．

则．

所以：，

所以：，

，

令，

由于函数的图象关于对称．

且，．

．

故：．

故选：．

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用．

12．已知对于任意的，总有成立，其中为自然对数的底数，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题得，设对a分类讨论利用导数求出函数f(x)的单调性，通过单调性求函数的最大值再分析得解.

【详解】

由题得，

设，

由得，

当时，，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，

所以

所以，

所以，

设，

所以，所以函数在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增，

所以.

所以此时的最小值为.

当时，函数f(x)单调递增，不符合题意.

故选：A

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值和恒成立问题 ，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、填空题

13．若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则正实数______．

【答案】

【解析】由积分的几何意义可得，，利用积分基本定理求解后可求正实数的值．

【详解】

由积分的几何意义可得，

解得．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题．

14．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】分离参数可得，根据基本不等式即可求出．

【详解】

不等式的解集是，

即，恒成立，

，

当，，

当时，，

因为.

所以．

故答案为：

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

15．已知，均为非零向量，且，若恒成立，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可．

【详解】

非零向量，夹角为，若，，

不等式对任意恒成立

，

，

即；

整理可得，恒成立，

，，

，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题．

16．已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，假定每个冰淇淋球都是半径为的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为______．

【答案】

【解析】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心组成一个边长为的等边三角形，其中心为,先求出，再作出圆台的轴截面图形，通过解三角形求出圆台下底的半径，即得圆台的体积,即得冰淇淋盒的体积.

【详解】

由题得三个球是平放在一起，三个球的球心组成一个边长为的等边三角形，其中心为,

所以，

由题得圆台的高为，其轴截面如图所示，

由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=,则BM=,

在直角中，，

所以，

所以下底的半径为，

所以圆台的体积为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查几何体的内切球的问题，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题

17．如图所示，在三棱柱中，，平面平面，，．

（1）证明：；

（2）若，、分别为、的中点，求直线与平面的夹角．

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）先证明平面，可得；（2）由得，延长到使得，连结．证明，，,建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面的夹角．

【详解】

解：（1）连结．

∵平面，且，∴平面．

又∵，∴平面．

又平面，∴

∵中，，∴为菱形，∴．

因为平面,,

所以平面，因为平面

所以.

（2）∵，且，∴，

∴．

延长到使得，连结．

∵，且，，

∴且，∴．

又∵平面平面，∴平面，

∴，．

又∵，∴可以建立如图所示的空间直角坐标系，

，

其中各点坐标为，，，

∴，，．

取平面的法向量为，

∴，，即，

不妨取，取直线与平面的夹角为，

则，

∴．

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．已知函数，在上的最大值为3．

（1）求的值及函数的周期与单调递增区间；

（2）若锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，求的取值范围．

【答案】（1），周期为，单调递增区间为，，（2）

【解析】（1）化简得，根据最大值求出p的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据得到，,化简得，再求范围得解.

【详解】

（1）依题意

，

∵的最大值为3，∴，∴，

∴，其中，，其周期为．

因为，时，单调递增，

解得．

∴的单调递增区间为，，．

（2）∵，且为锐角，

∴，∴，∴．

又∵，为锐角，所以∴．

∴，

其中，∴．

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19．对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量（分钟）表示步行到校的时间，可以认为．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为．

（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？

（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量表示这五天小明上学骑车的费用，求的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）

已知若随机变量，则％，％，％．

【答案】（1），三种方案都无法满足原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）（元），（元2）

【解析】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，求出％．若骑车到校，则不迟到概率记为，

（％，％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，

％．比较即可做出选择；（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．先求出和，再求的期望与方差.

【详解】

（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．

若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，取，，

则，，

％．

若骑车到校，则不迟到的概率记为，取，，

则，，，

则％，

％，

∴（％，％）

若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，取，，

则，，％．

综上，三种方案都无法满足原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．

（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．

依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为％，

∴，∴％，

％．

又∵，

∴（元），（元2）

【点睛】

本题主要考查正态分布的计算，考查期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20．已知，从原点作图像的切线，切点为，已知，其中为自然对数的底数．

（1）求的值；

（2）若有两个极值点，，

（i）求参数的范围；

（ii）若假定，求的取值范围．

【答案】（1）（2）（i）（ii）

【解析】（1）先求出切点为，再根据求出m的值；（2）（i），，则在有两零点，得到k的不等式，解不等式即得解；（ii）先求出，再利用导数求函数的值域得解.

【详解】

（1）∵，从原点作图像的切线，

设切点为，∴，

∴，∴切点为．

又∵，且，∴．

（2）（i）依题意，其中，

∴，取，

若函数有两个极值点，则在有两零点，

∴，，∴．

（ii）若，为的极值点，则，为的两根，

∴，．

又∵，∴，∴．

又∵，∴，∴，

取，∴，

∴在单调递增，

∴的值域为，即的取值范围为．

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调区间、最值和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

21．已知抛物线的焦点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，．

（1）求的取值范围；

（2）若，点的坐标为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与轴交于点，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设直线为，设，为交点，由得，即得解；（2）求出点和的坐标分别为，，利用在直线上得到，设，利用导数求出函数的取值范围.

【详解】

（1）依题意，设直线为，

代入得，其判别式为，

∴．

设，为交点，

∴，．

∵焦点的坐标为，

∴，．

∵，

∴

，

∴，

∴或．

∵成立．

∴．

（2）若，则，

设点，为直线、直线与抛物线的交点．

设直线为，代入得，

∴，∴，

同理可得，

∴点和的坐标分别为，．

又∵在直线上，

∴，共线，

∴，

∴．

∵，∴，

∴，设，

∴在时恒成立，

∴在单调递增，

∴的取值范围为．

【点睛】

本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题的解决方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于点，点满足，设倾斜角为的直线经过点．

（1）求曲线的直角坐标方程及直线的参数方程；

（2）直线与曲线交于、两点，当为何值时，最大？求出此最大值．

【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为，其中为参数（2）当时，取得最大值

【解析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线的直角坐标方程为，求出点的直角坐标为，再写出直线的参数方程；（2）设交点，所对应的参数分别为，，求出，再求出最大值得解.

【详解】

（1）∵，

∴曲线的直角坐标方程为．

∵点的极径为，

又∵，∴点的极径为，

∴点的直角坐标为，

∴直线的参数方程为，其中为参数．

（2）将的参数方程代入，

得，

设交点，所对应的参数分别为，，则，

∴，当即时取等．

【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查直线参数方程中t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

23．已知正实数、满足．

（1）若，求的范围；

（2）求的最小值．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）化简得，再解分类讨论解不等式得解；（2）先化简原式为，再利用基本不等式求最小值.

【详解】

（1）∵，∴，

取，

若，则，或，或，

解得．

（2）∵，

∴

，

当且仅当时取等．

【点睛】

本题主要考查解绝对值不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.