2022-2023学年辽宁省沈阳市外国语学校高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省沈阳市外国语学校高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．命题： ， 的否定是（　　）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，即可选出答案.

【详解】命题： ，为全称命题，其否定为特称命题形式，

即，

故选：B

2．下列不等式中成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.

【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；    

B. 若，则，所以该选项正确；

C. 若，则，所以该选项错误；

D. 若，则，所以该选项错误.

故选：B

3．已知全集，，，则如图中阴影部分表示的集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出，图中阴影部分表示的集合是，由此能求出结果.

【详解】解：∵全集，，∴，

∵，

∴图中阴影部分表示的集合是：.

故选：C.

4．已知集合，则下列式子表示正确的有（    ）

①；②；③；④.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】先确定集合的元素，然后根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断即可．

【详解】因为，，，

对于①，显然正确；

对于②，，是集合与集合之间的关系，显然用不对；

对于③，，根据空集是任何集合的子集知正确；

对于④，，．根据子集的定义知正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查元素与集合、集合与集合的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．

5．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】D

【分析】用列举法表示集合A，B，再根据给定的包含关系即可分析判断作答.

【详解】依题意，，，因，

则，且集合C是集合的每一个子集与集合的并集，

集合的所有子集有个，

所以满足条件的集合C的个数为16.

故选：D

6．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得以及两根之积小于，列不等式组即可求解.

【详解】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，

所以，解得，故.

故选：A.

7．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解即可.

【详解】解：由题设，，

当且仅当时等号成立，

∴要使恒成立，只需，

∴，

∴.

故选：B.

8．设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合，，我们定义集合运算且，．若，，则表示的6位字符串是（    ）

A．101010 B．011001 C．010101 D．000111

【答案】C

【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解.

【详解】由题意可得若，，则，

所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，

其余字符均为0，即表示的6位字符串是010101.

故选：C

9．下列说法中不正确的有（    ）

A．“至少有一个，使成立”是存在量词命题，是假命题；

B．不等式的解集为；

C．“”的必要不充分条件是“”；

D．“”是“”的充分不必要条件；

【答案】B

【分析】对于A，利用存在量词命题的定义及真假的判断即可求解；

对于B，利用分式不等式的解法即可求解；

对于C，D，利用充分条件必要条件的定义即可求解.

【详解】对于A，“至少有一个，使成立”是存在量词命题，但对于，，所以“至少有一个，使成立”是假命题；故A正确；

对于B，由，得，解得，所以不等式的解集为，故B不正确；

对于C，根据交集的定义可知，“”推出“”，但“”不能推出“”，所以“”的必要不充分条件是“”，故C正确；

对于D，由“”推出“”，但“”不能推出“”，即“”是“”的充分不必要条件，故D正确.

故选：B.

二、多选题

10．设集合，，则的子集个数可能为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】BC

【分析】讨论、确定集合M，在的情况继续讨论、确定的元素个数，即可求子集个数.

【详解】当时，，则：

若，则，子集有8个，

若，则，子集有4个；

当时，，此时，其子集有4个；

综上，的子集个数可能为4或8个.

故选：BC

11．下列不等式中解集为的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】结合抛物线的开口方向及判别式的值即可判断．

【详解】解：对于A，由为开口向下的抛物线，且，所以不等式的解集不是，故A不符合题意；

对于B，由为开口向下的抛物线，且，所以不等式的解集为，故B符合题意；

对于C，由为开口向上的抛物线，且，所以不等式的解集为，故C符合题意．

对于D，由为开口向上的抛物线，且，所以不等式的解集为，故D不符合题意.

故选：BC.

12．设，，若，则实数的值可以为（    ）

A． B．0 C．3 D．

【答案】ABD

【分析】根据，得到，然后分， 讨论求解即可.

【详解】，，又 ，

当时，，符合题意；

当时， ，

要使，则或，

解得或．

综上，或或．

故选：ABD．

三、填空题

13．设，，则和最精确的大小关系是______.

【答案】

【分析】利用作差法比较大小即可.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

14．函数的最小值为___________.

【答案】3

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

15．已知，则______.

【答案】##

【分析】先由两式相加得到，引入常数，从而用表示，据此得解.

【详解】根据题意，注意到作为比例分母，故，

因为，

所以两式相加得，

令，则，

将其代入，得，故，

所以.

故答案为：.

16．集合为单元素集合，则______.

【答案】或

【分析】结合单元素集合的意义，分类讨论与两种情况即可得解.

【详解】因为集合为单元素集合，

所以有且只有一个解，

当，即时，方程可化为，解得，满足题意；

当，即时，，解得，

经检验：当，方程的解为，满足题意；

综上：或.

故答案为：或.

四、解答题

17．求下列不等式的解.

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接解一元二次不等式即可

（2）将分式不等式转化为整式不等式求解

【详解】（1）由，得，解得，

所以不等式的解集为

（2）由，得，，

所以，且，解得

所以原不等式的解集为

18．设集合，

(1)若集合A为，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的值；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合题意，将问题转化为方程无实根，从而得解；

（2）由得，从而利用待定系数法即可得解.

【详解】（1）因为，，

所以方程无实根，即，

解得或，

所以的取值范围为.

（2）因为，所以，

又因为，，

所以，解得，

当时，，

所以.

19．已知不等式的解集为或．

（1）求a，b；

（2）解不等式．

【答案】（1），；（2）答案见解析.

【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出，的值；

（2）将，的值代入，并将不等式因式分解为，通过对与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集.

【详解】（1）因为不等式的解集为或，

所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1．

由根与系数的关系，得 ，

解得；

（2）原不等式化为：

，即，

①当时，不等式的解集为，

②当时，不等式的解集为，

③当时，不等式的解集为．

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

20．1.已知集合．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出，再求出；

（2）根据得到，然后分类讨论，和两种情况下的的范围，最后求并集，得到实数的取值范围.

【详解】（1）（1）当时，，             

，因此，；          

∴

（2）                          ．

①当时符合题意，此时，即；

②当时，要满足，则．

综上所述，当时，实数的取值范围是．

21．命题：，；命题：，

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题为假命题，求实数的取值范围；

(3)当命题为假命题且命题为真命题时，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由条件可得，据此求解即可；

（2）的否定“，”为真命题，由此即可得解；

（3）分别求出命题为假与命题为真时实数m的取值范围，再求两者交集即可.

【详解】（1）若命题p为真命题，则，解得，

所以实数m的取值范围是；

（2）若命题q为假命题，则q的否定“，”为真命题，

则，解得，

所以实数m的取值范围是；

（3）由（1）可知当命题为假时，，

由（2）可知为真时，或，

所以当命题为假命题且命题为真命题时，有或，故，

所以实数m的取值范围是.

22．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【分析】（1）根据题意列方程即可.

（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.

【详解】（1）由题意知，当时，（万件），

则，解得，∴．

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润．

（2）∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元）．

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．