2022-2023学年重庆市铁路中学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市铁路中学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定的概念判断即可.

【详解】命题“”的否定是“”，

故选：B

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据抽象函数的定义域可得的定义域为，进而可求解.

【详解】的定义域为，所以，

因此的定义域为，所以的定义域满足 ，即

故选：B

3．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.

【详解】因为和均为增函数，

所以为定义域上的增函数，

又因为，，，，，

根据零点存在定理可知的零点在区间内，

故选：C

4．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数和三角函数的图像和性质分别和0和1比较大小即可.

【详解】因为，，，即，

所以，

故选：D

5．已知幂函数在（0，+）上单调递减，则m的值为（    ）

A． B．4 C．或    D．1或4

【答案】A

【分析】根据幂函数的定义以及幂函数的单调性即可求解.

【详解】由题意可知：且，所以解得

故选：A

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由得，然后利用诱导公式计算即可.

【详解】因为，

所以，

所以

，

故选：D.

7．已知函数 ，则方程的解的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】将方程的解的个数转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.

【详解】由题意可知方程的解的个数即为函数的图象的交点个数，

作出函数的图象，如图：

由图象知的图象有3个交点，

故方程的解的个数是3，

故选：D

8．设函数，对于任意负数，都.已知函数的图象关于对称，若，则的解集为（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【分析】根据所给的条件可得 为上的单调递减，由的对称性可知为偶函数，进而得因此为偶函数，且在，在单调递增，即可求解.

【详解】不妨设，由 得，

由于，所以，因此函数 为上的单调递减函数，又的图象关于对称，所以为偶函数，

因此为偶函数，且在单调递减，在单调递增，

，等价于，

因此时，，当时，，因此不等式的解为 ，

故选：A

二、多选题

9．若，,则下列不等式成立的是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】BC

【分析】举反例可判断,根据不等式的性质可分别判断.

【详解】对于A,取 ，满足，,

但，故A错误；

对于B,因为，所以 ，又，

故，B正确；

对于C, 因为，所以，故，C正确；

对于D,取满足，

但，D错误，

故选：

10．的值可能是（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】ACD

【分析】根据的不同取值去绝对值即可求解.

【详解】当是第一象限角时，均大于0，；

当是第二象限角时，大于0，小于0，；

当是第三象限角时，小于0，大于0，；

当是第四象限角时，小于0，大于0，；

故选：ACD

11．下列说法错误的是（    ）

A．函数 的值域是

B．设函数 ，则为奇函数

C．已知函数 是定义在的偶函数， ，且当 时， ，则

D．已知是定义在 上的减函数，且 ，则实数a的取值范围是

【答案】BD

【分析】根据函数的单调性求值域，判断A;根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断B;根据偶函数性质求得a的值，继而求得，判断C；根据函数单调性解不等式，判断D.

【详解】A:对于函数，定义域为，

由于在递增，故在递增，

故的最小值为，即值域为，A正确；

B: 函数 ，则设，

故，而，

故不为奇函数，B错误；

C，函数 是定义在的偶函数，，

则，又当时，，

故，故，C正确；

对于D, 是定义在上的减函数，且,

故 ，解得 ，D错误，

故选：

12．， 的方程，下列叙述中正确的是（    ）

A．当时，方程恰有个不同的实数根

B．当时，方程恰有4不同的实数根

C．该方程最多有8个不同的实数根

D．无论取何值，方程都不可能有个不同的实数根

【答案】BCD

【分析】作出的图像，根据方程不同的解讨论与的交点个数即可.

【详解】，

又对数函数的图像和性质可得的大致图像如图所示：

当时，由方程解得，

由图像可知有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，A错误；

当时，由方程解得或，

由图像可知有两个不同的实数根，有两个不同的实数根，所以方程有四个不同的实数根，B正确；

对于任意，令，则方程有解时，或，设解为，由韦达定理得，

当，即时，由图像可知有2个实数根；

当，即时，由图像可知有4个实数根；

当，有且均大于0时，由图像可知有4个实数根；

当，有且均小于0时，由图像可知有8个实数根；

故方程最多有8个不同的实数根，无论取何值都不可能有个不同的实数根，

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：由求出的值，并判断该值的范围，再结合的图像分析求解是解题关键.

三、填空题

13．已知角的终边上有一点，则______.

【答案】

【分析】由三角函数的定义求解即可.

【详解】依题意，

故答案为：

14．已知集合，，则满足条件的集合的个数为_____个.

【答案】31

【分析】根据得是的真子集，根据子集个数即可求解.

【详解】集合，，

由得,所以是的真子集

故有，

故答案为：31

15．“，使得成立”的一个充分不必要条件可以是_____.（写出满足题意的一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】先利用已知条件求出充要条件，再找出一个充分不必要条件.

【详解】“，使得成立”的充要条件是：

，

因为，

所以，

当且仅当时等号成立，

故“，使得成立”的充要条件是：

，

所以“，使得成立”

的一个充分不必要条件可以是：，

即.

16．函数的值域为，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【分析】由对数函数的图像可知是值域的子集，当时显然成立，当时，由二次函数的图像解的取值范围即可.

【详解】由函数的值域为及对数函数的图像和性质可得，

是值域的子集，

当即时，的值域为，显然成立；

当即时，二次函数的对称轴为，

所以由一元二次函数的图像可得，解得，.

综上，

故答案为：

四、解答题

17．求解下列小题.

(1)计算：

(2)已知，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接根据指数和对数的运算性质计算即可；

（2）先利用诱导公式变形得到，然后将目标式转化为用表示，再代入的值即可.

【详解】（1）

（2）由得，

，

18．（1）已知一个扇形周长为10cm，求该扇形的圆心角为多少时，扇形的面积最大？最大值是多少？

（2）已知关于的方程的两个实根为和，且，求的值和的值

【答案】（1）扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是

（2），.

【分析】（1）由题意设扇形的半径和弧长分别为：，可得，

扇形面积，再由基本不等式求解最大值，

再利用即可.

（2）写出韦达定理以及判断根的关系式，利用同角三角函数关系式求解，

在用完全平方关系及角的范围求出.

【详解】（1）设扇形的半径和弧长分别为：，

由题意可得：，

所以扇形面积为：

，

当且仅当，即时，

扇形的面积最大，此时圆心角为：，

所以扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是.

（2）由方程的两个实根为和，

所以

由，

即，

即，

解得：，

由或，

又，

所以，

所以，

所以，由，

所以，

由

，

所以.

19．（1）解不等式：

（2）已知集合，对于任意的集合A中的每一个元素，恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）

【分析】（1）先变形得到，再通过讨论和的大小来解不等式；

（2）先求出集合中的元素范围，再根据问题恒成立结合二次函数的性质列不等式求解.

【详解】（1）

，令

得或

当，即时，，

当，即时，，

当，即时，，

综上：

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为.

（2），

因为对于任意的集合A中的每一个元素，恒成立，

则或，

解得

20．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为80元.

(1)求2023年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.

(2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)答案见解析

(2)游客为40万人时利润最大，最大为370万．

【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式．

（2）根据（1）中求出的利润的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．

【详解】（1）解：由题意可得，

即

（2）解：当时，；

当时，；

当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立，

故，

综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万．

21．已知函数是指数函数，且

(1)解不等式；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）待定系数法求出，换元法求出，然后求解指数不等式即可得到；

（2）先证明，又，所以可得

.

【详解】（1）设（且），

令，可得，

因为，所以，

从而，解得．

所以，即，于是有，

令，得，所以，因此．

则不等式化为，即，

根据单调递增，有解得，

所以不等式的解集为．

（2）由（1）知，.

则，

所以，

又，所以.

所以.

22．已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③.

(1)求及的值；

(2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的减函数；

(3)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）分别令和即可求解；

（2）由奇偶性和单调性的定义求解即可；

（3）利用（2）中结论和条件①将变形为，利用单调性求解即可.

【详解】（1）当时，由题意得，解得，

当时，由题意，解得.

（2）令，则，

任取，则，即，

所以函数是上的奇函数；

任取，则，

因为，所以，由②知，所以，

即，所以函数是上的减函数.

（3）因为，

令可得，

所以，

又因为，所以，所以，

即，

由（2）可知是上的减函数，所以，

解得.