初中北师大版4 平行线的性质导学案

专题7.5  平行线的性质（知识讲解）

【学习目标】

1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；

2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；

【要点梳理】

要点一、平行线的性质

    性质1：两直线平行，同位角相等；

    性质2：两直线平行，内错角相等；

    性质3：两直线平行，同旁内角互补.

特别说明：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．

 (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

的距离．

特别说明：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．

　【典型例题】

类型一、理由填写

1、如图，已知EF∥AD，试说明请将下面的说明过程填写完整．

解：EF∥AD，已知

____________

又，已知

，______

∥______，______

______

【答案】 ；两直线平行，同位角相等 ；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补

【分析】

根据平行线的判定和性质解答即可．

解：EF∥AD，（已知）

（两直线平行，同位角相等）

又，（已知）

，（等量代换）

，（内错角相等，两直线平行）

（两直线平行，同旁内角互补）

故答案为： ；两直线平行，同位角相等 ；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补

【点拨】本题考查平行线的判定与性质，熟记判定定理和性质定理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：

已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．

求证：∠B＝∠C．

证明：∵∠1＝∠2，（已知）

又：∵∠1＝∠3，（            ）

∴∠2＝____________（等量代换）

（同位角相等，两直线平行）

∴∠A＝∠BFD（            ）

∵∠A＝∠D（已知）

∴∠D＝_____________（等量代换）

∴____________∥CD（            ）

∴∠B＝∠C（            ）

【答案】对顶角相等；∠3；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等

【分析】根据对顶角相等，平行线的性质与判定定理填空即可．

证明：∵∠1＝∠2，（已知）

又：∵∠1＝∠3，（对顶角相等）

∴∠2＝∠3（等量代换）

（同位角相等，两直线平行）

∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）

∵∠A＝∠D（已知）

∴∠D＝∠BFD（等量代换）

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．

【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．

【变式2】完成下面的证明：

如图所示，AB⊥BF，∠CDF＝90°，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠E．

证明：∵AB⊥BF

∴∠B＝　 　（ 　 　）

∵∠CDF＝90

∴∠B＝∠CDF

∴AB∥CD（ 　 　）

∵∠1＝∠2

∴AB∥　 　（ 　 　）

∴CD∥　 　（ 　 　）

∴∠3＝∠E（ 　 　）

【分析】由条件可先证明AB∥EF，则可得CD∥EF，再根据平行线的性质可得∠3=∠E．

证明：∵AB⊥BF，

∴∠B＝90°，（ 垂直的定义）

∵∠CDF＝90°，

∴∠B＝∠CDF，

∴AB∥CD，（ 同位角相等，两直线平行）

∵∠1＝∠2，

∴AB∥EF，（内错角相等，两直线平行）

∴CD∥EF，（ 平行于同一直线的两直线平行）

∴∠3＝∠E．（ 两直线平行，同位角相等）

【点拨】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．

【变式3】完成下面推理过程，并在括号中填写推理依据：

如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3，试说明：AD平分∠BAC．

证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC

∴∠ADC＝　 　＝90°（垂直定义）

∴　 　∥EG（同位角相等，两直线平行）

∴∠1＝　 　（ 　 　）

∠2＝∠3（ 　 　）

又∵∠3＝∠E（已知）

∴　 　＝∠2 　 　

∴AD平分∠BAC　 　

【答案】；两直线平等行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线定义

【分析】根据AD⊥BC，EG⊥BC，可得，进而根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，内错角相等，可得，，由已知条件∠3＝∠E，等量代换即可的，即可证明AD平分∠BAC．

证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC

∴∠ADC＝＝90°（垂直定义）

∴∥EG（同位角相等，两直线平行）

∴∠1＝（两直线平等行，同位角相等）

∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）

又∵∠3＝∠E（已知）

∴＝∠2（等量代换）

∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）

故答案是：∠EGC；AD；∠E；两直线平等行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；∠1；等量代换；角平分线定义．

【点拨】本题考查了垂线的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握以上定理性质是解题的关键．

类型二、证明 

2、如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．

【分析】根据条件证明△ABC≌△DEF即可得解；

证明：∵AB∥ED，

∴∠ABC＝∠DEF．

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS）．

∴AC＝DF．

【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，结合平行线的性质求解是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分线

（1）AB与DE平行吗？请说明理由；

（2）试说明∠ABC=∠C；

（3）试说明BD是∠ABC的平分线．

【答案】（1）AB∥DE，理由见解析，（2）见解析，（3）见解析

【分析】

（1）首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得∠ABC＝∠1＝60°，进而证明∠ABC＝∠2，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；

（2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得∠NDE的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得∠C的度数，从而判断；

（3）先求得∠ADB的度数，根据平行求出∠DBC的度数，然后求得∠ABD的度数，即可证得．

解：（1）AB∥DE，理由如下：

∵MN∥BC，（ 已知 ）

∴∠ABC＝∠1＝60°．（ 两直线平行，内错角相等  ）

又∵∠1＝∠2，（ 已知 ）

∴∠ABC＝∠2．（ 等量代换 ）

∴AB∥DE．（ 同位角相等，两直线平行 ）；

（2）∵MN∥BC，

∴∠NDE+∠2＝180°，

∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°．

∵DC是∠NDE的平分线，

∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°．

∵MN∥BC，

∴∠C＝∠NDC＝60°．

∴∠ABC＝∠C．

（3）∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，

∵BD⊥DC，

∴∠BDC＝90°．

∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°．

∵MN∥BC，

∴∠DBC＝∠ADB＝30°．

∵∠ABC＝∠C＝60°．

∴∠ABD＝30°

∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC．

∴BD是∠ABC的平分线．

【点拨】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理证明和计算．

【变式2】如图：E在的边的延长线上，，D点在边上，交于点F，，求证：．

【分析】通过平行线的性质证明即可得解；

证明：过D作，交于点G，

则，；

在和中，

，

∴（），

∴，

∵，

∴，

∴．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，准确分析证明是解题的关键．

【变式3】已知：如图，，．求证：BD平分．

【分析】先利用平行线的性质得到，加上，则利用等量代换得到，于是可判断BD平分．

解：∵（已知），

∴（两直线平行，内错角相等）．

又∵（已知），

∴（等量代换）．

∴BD平分（角平分线的定义）．

【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

【变式4】如图，，，三点在同一直线上，且，

（1）线段，，有怎样的数量关系？请说明理由．

（2）请你猜想满足什么条件时，，并证明．

【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析．

【分析】

（1）根据全等三角形的性质得出，再根据，，三点在同一直线上，求出，则答案可解；

（2）根据平行线的性质得出，根据全等三角形的性质得出，求出，即可得出答案．

解：（1）．

理由：∵，

∴，．

∵，，三点在同一直线上，

∴，

∴．

（2）假如，

则．

∵，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴当满足时，．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．