初中数学北师大版八年级上册4 平行线的性质课后练习题

7.3-7.4 平行线的判定、平行线的性质

1．（2022·陕西西安·八年级期末）如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是（    ）

A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°

2．（2022·陕西西安·八年级期末）下列命题中是真命题的是（　　）

A．同位角相等，两直线平行

B．钝角三角形的两个锐角互余

C．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b

D．若实数a，b满足a<0，b>0，则ab>0

3．（2022·陕西·宝鸡市凤翔区教学研究室八年级期末）学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（　　）

①同位角相等，两直线平行；

②两直线平行，同位角相等；

③内错角相等，两直线平行；

④同旁内角互补，两直线平行．

A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④

4．（2022·陕西西安·八年级期末）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2022·陕西西安·八年级期末）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（  ）

A．，（内错角相等，两直线平行）

B．，（两直线平行，同旁内角互补）

C．，（两直线平行，同旁内角互补）

D．，（同位角相等，两直线平行）

6．（2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末）如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（    ）

A．（内错角相等，两直线平行）

B．（两直线平行，内错角相等）

C．（同旁内角互补，两直线平行）

D．（两直线平行，同位角相等）

7．（2022·陕西·宝鸡市凤翔区教学研究室八年级期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是_____．

8．（2022·陕西西安·八年级期末）尺规作图，如图过点A作直线l的平行线（不写作法，保留作图痕迹）．

9．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，已知∠EAC＝∠ACD，∠ABD＝∠ACD，求证：AC∥BD．

10．（2022·陕西西安·八年级期末）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．

11．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，求证：AB∥CD．

12．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，四边形中，，点在边上，于点，，求证：．

13．（2022·陕西汉中·八年级期末）如图，已知∠A=∠ADE，∠C=∠E．求证：BE∥CD．

14．（2022·陕西宝鸡·八年级期末）如图，已知，．求证：．

15．（2022·陕西榆林·八年级期末）如图，已知，求证： ．

16．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在DC上，且∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：DE∥BC．

17．（2022·陕西西安·八年级期末）已知，，直线与直线，分别交于点E，F．

(1)如图1，若，求的度数．

(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，H是上一点，且．求证：．

(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

18．（2022·陕西西安·八年级期末）如图，，点G在上，B，C，G三点在同一条直线上，且，．求证：．

19．（2022·陕西·西安博爱国际学校八年级期末）如图，AB∥EF，点G在EF上，B、C、G三点在同一条直线上，且∠1=∠2．求证：CD∥EF．

20．（2022·陕西西安·八年级期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且和直角三角形ABC，，．

(1)在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；

(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现，说明理由；

(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．

21．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，已知，，求证：．

参考答案：

1．B

【解析】根据平行线的判定定理分析即可．

A、∠A和∠ACE是AB与CE被AC所截形成的内错角，则∠A＝∠ACE时，可以推出AB∥CE，不符合题意；

B、∠B和∠ACE不属于AB与CE被第三条直线所截形成的任何角，则∠B＝∠ACE时，无法推出AB∥CE，符合题意；

C、∠B和∠ECD是AB与CE被BD所截形成的同位角，则∠B＝∠ECD时，可以推出AB∥CE，不符合题意；

D、∠B和∠BCE AB与CE被BD所截形成的同旁内角，则∠B+∠BCE＝180°时，可以推出AB∥CE，不符合题意；

故选：B．

本题考查平行线的判定，理解并熟练运用平行线的判定定理是解题关键．

2．A

【解析】根据平行线的判定，直角三角形的性质，等式的性质和有理数的乘法分别判断．

解：A、同位角相等，两直线平行，故为真命题；

B、直角三角形的两个锐角互余，故为假命题；

C、若实数a，b满足a2=b2，则a=b或a=-b，故为假命题；

D、若实数a，b满足a<0，b>0，则ab<0，故为假命题；

故选：A．

本题考查了平行线的判定，直角三角形的性质，等式的性质和有理数的乘法，熟练掌握各性质定理是解题的关键．

3．D

【解析】由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，利用平行线的判定即可解决问题．

解：由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，

∴可以利用同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，判定CDa，

故选：D．

本题考查平行线的判定，是常见重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

4．D

【解析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案．

解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意；

B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意；

C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意；

D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意．

故选：D．

此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．

5．C

【解析】依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可．

解：．，（内错角相等，两直线平行），正确；

．，（两直线平行，同旁内角互补），正确；

．，（两直线平行，同旁内角互补），故选项错误；

．，（同位角相等，两直线平行），正确；

故选：C．

本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

6．D

【解析】逐一对各选项的推理过程和所持依据进行甄别可以得到解答．

解：“∵∠DAM=∠CBM，∴AD//BC”的推理依据应该是“同位角相等，两直线平行”，D选项把条件和结论搞反了，把推理依据说成了“两直线平行，同位角相等”，

故选D．

本题主要考查平行线的性质和判定定理，在填写推理依据时不要把条件和结论搞反是解题关键．

7．20°##20度

【解析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．

解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，

∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是∠1-∠AOC =70°﹣50°＝20°．

故答案是：20°．

本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．

8．见解析

【解析】利用同位角相等两直线平行，作出图形即可．

解：如图，直线AB即为所求．

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

9．见解析

【解析】由等量代换可得∠EAC=∠ABD，然后根据同位角相等，两直线平行可得结论．

证明：∵∠EAC＝∠ACD，∠ABD＝∠ACD（已知），

∴∠EAC=∠ABD（等量代换），

∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．

本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．

10．∠AFE＝69°.

【解析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．

解：∵∠AEC＝42°，

∴∠AED＝180°－∠AEC＝138°.

∵EF平分∠AED，

∴∠DEF＝ ∠AED＝69°.

∵AB∥CD，

∴∠AFE＝∠DEF＝69°.

11．证明见解析.

试题分析：根据对顶角相等得到∠1=∠4，而∠1=∠2，则∠2=∠4，根据平行线的判定可得EC∥BF，再根据平行线的性质得∠C=∠3，又因∠B=∠C，所以∠B=∠3，再根据内错角相等，两直线平行即可得到AB∥CD.

试题解析：

∵∠1=∠2（已知）,∠1=∠4（对顶角相等）

∴∠2=∠4(等量代换)           

∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行）

∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）

又∵∠B=∠C（已知）

 ∵∠B=∠3(等量代换)

∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)

12．见解析

【解析】根据平行线的判定得出与平行，进而利用平行线的性质和判定解答即可．

证明：∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定得出BD与EF平行解答．

13．证明见解析

【解析】首先根据得到，结合平行线的性质得到，而

，所以，从而得证；

∵，

∴，

∴，   

又∵.

∴    

∴

本题主要考查平行线的判定和性质综合，熟练掌握平行线的判定和性质定理是求解本题的关键.

14．见解析

【解析】先证明∠2=∠DFE，得到BD∥EF，进而得到∠BDE+∠3=180°，最后进行角的代换，问题得证．

证明：∵，，

∴∠2=∠DFE，

∴BD∥EF，

∴∠BDE+∠3=180°，

∵，

∴．

本题考查了平行线的判定与性质等知识，熟知平行线的判定与性质定理是解题关键．

15．见解析

【解析】如图，延长EA交CD于H．证明∠EAB=∠EHD即可．

解：如图，延长EA交CD于H．

∵∠EHD=∠C+∠E，∠EAD=∠C+∠E，

∴∠EAB=∠EHD，

∴AB∥CD．

本题考查平行线的判定，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．

16．证明见解析

【解析】由题意直接根据平行线的判定定理以及平行线的性质进行分析证明即可.

解：证明：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠ADC=180°．

∴∠1=∠ADC，

∴EF∥AB（同位角相等，两直线平行）,

∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）,

又∵∠3=∠B(已知），

∴∠ADE=∠B,

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.

本题主要考查平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．

17．(1)122°

(2)见解析

(3)45°

【解析】（1）根据平行线的性质可得∠1=∠EFD，再利用邻补角的定义可求∠2的度数；

（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PF∥GH；

（3）根据角平分线定义计算即可求得∠HPQ的度数．

（1）

解：∵AB∥CD，

∴∠1=∠EFD，

∵∠EFD+∠2=180°，

∴∠1+∠2=180°，

∵∠1=58°，

∴∠2=122°；

（2）

证明：由（1）知，AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°．

又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，

∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，

∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．

∵GH⊥EG，

∴PF∥GH；

（3）

解：∵∠PHK=∠HPK，

∴∠PKG=2∠HPK．

又∵GH⊥EG，

∴∠KPG=90°-∠PKG=90°-2∠HPK．

∴∠EPK=180°-∠KPG=90°+2∠HPK．

∵PQ平分∠EPK，

∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK．

∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK=45°．

本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角．

18．见解析

【解析】根据∠1=∠2判定AB∥CD，从而可求证CD∥EF．

解：证明：∵∠1=60°，∠2=60°，

∴AB∥CD，

∵AB∥EF，

∴CD∥EF．

本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．

19．见解析

【解析】根据AB∥EF，可得∠BGF=∠1，进而得出∠BGF=∠2，再根据平行线的判定方法可得CD∥EF．

解：证明：∵AB∥EF，

∴∠BGF=∠1，

∵∠1=∠2，

∴∠BGF=∠2，

∴CD∥EF．

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．

20．(1)

(2)，理由见解析

(3)，证明见解析

【解析】（1）根据直角三角形的性质求出∠3，根据平行线的性质解答；

（2）过点B作BD//a，根据平行线的性质得到∠ABD=180°-∠2，∠DBC=∠l，结合图形计算，证明结论；

（3）过点C作CE//a，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．

（1）解：∵，∴，∵，∴

（2）证明：过点B作，则，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；

（3）解：，理由如下：过点C作，∵AC平分∠BAM，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．

本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握平行线的性质定理是解题的关键．

21．见解析

【解析】延长EF交CD于点G，根据平行线的性质及角的关系推出∠1=∠5，即可证得AB∥CD．

解：延长EF交CD于点G，

∵，

∴EF∥GH，

∴∠5=∠4，

∵，

∴∠1=∠5，

∴AB∥CD．

此题考查了平行线的判定定理及性质定理，熟记平行线的性质定理及判定定理并应用是解题的关键．