苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.5 多边形的内角和与外角和课后测评

7.5.2 平行线几何模型（铅笔头模型）（知识讲解）

几何模型1：铅笔头模型

图二

几何模型2：多个铅笔头模型

证明思路参考几何模型1

【典型例题】

类型一、平行线几何模型➽➼铅笔头模型➻➸求解✬✬证明 

1．阅读下面材料，完成（1)～（3）题．

数学课上，老师出示了这样—道题：

如图1，已知点分别在上，．求的度数．

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：

小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”

小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”

小华：∵如图4，也能求出的度数．”

(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；

(2) 请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；

老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”

请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：

(3)  如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．

【答案】（1）过点作；（2）30；（3）．

【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；

（2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；

（3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案．

解：（1）由图中虚线可知PQ//AC，

∴小明同学辅助线的做法为过点作，

故答案为：过点作

（2）如图2，过点作，

∵AB//CD，

∴PQ//AB//CD，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵EP⊥FP，

∴∠EPF=∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠1=60°，

∴∠2=30°，

故答案为：30

（3）如图，设，过点作，

∵

，即．

【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

举一反三：

【变式】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．

思路点拨：

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；

小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；

小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　   　°；

问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见分析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见分析

【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．

（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；

（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．

解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，

∴∠APC＝50°+60°＝110°，

故答案为：110；

（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：

如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；

理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．

理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．

类型二、平行线几何模型➽➼多铅笔头模型➻➸求解✬✬证明 

2．（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；

②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；

（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．

【答案】（1）①详见分析；②详见分析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见分析

【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．

解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG

∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°

∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°

∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°

②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，

∵AM∥CN，∴EP∥FQ，

∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°

∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；

（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．

证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，

∴结合（1）问得：

所有角的和为（n+1）•180°．

【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．

举一反三：

【变式】如图，已知AB∥CD．

（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；

（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．

（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；

（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　．

【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°

【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；

（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；

（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；

（4）由（2）（3）类比可得答案．

解：（1）如图1，∵AB∥CD，

∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

故答案为：180°；

（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF，CD∥EF，

∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，

∴∠1+∠2+∠3=360°；

（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，

类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，

故答案为：540°；

（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，

故答案为：（n-1）×180°．

【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．