苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和练习题

7.7 多边形的内角和与外角和（知识讲解）

【学习目标】

1.理解多边形的概念；

2.掌握多边形内角和与外角和公式；

3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.

【要点梳理】

知识点一、多边形的概念

1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．

2．相关概念：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：

特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；

(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；

(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．

知识点二、多边形内角和

n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．

特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；

知识点三、多边形的外角和

多边形的外角和为360°．

特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；

(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；

(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．

【典型例题】

类型一、多边形➽➼概念✭✭对角线（三角形）数量

1．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和．

(1) 求出表示第四条边长的代数式；

(2) 当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形．

【答案】(1)第四边的长为：cm. (2)不能，该图形是一条线段，理由见分析

【分析】（1）先列式表示第三边，第四边的长，再利用周长减去已知的三条边的长可得第四边的长度；

（2）分别求解四条线段的长度，再计算前面三条线段的长，与第四条线段的长度比较，从而可得答案.

(1)解： 第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和，

第二边为cm，第三边为：cm，

第四边长为：

即第四边的长为：cm.

(2)解：当时，

即前三条边的长的和等于第四条边的长，

所以当时，这4条线段首尾相连不能得到四边形，该图形是一条线段.

【点拨】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，多边形的含义，掌握“判断四条线段首尾顺次相连构成四边形的条件”是解本题的关键.

举一反三：

【变式】如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O．利用尺规，按下列要求作图：

（1）在射线上作线段，使它们分别与线段a相等；

（2）在射线OD上作线段，使与线段b相等；

（3）连接．

你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流．

【答案】见分析；四边形（筝形）

【分析】（1）根据尺规作图的方法作出线段即可；

（2）根据尺规作图的方法作出线段即可；

（3）根据（1）（2）作出的线段围成的图形即可判断．

解：（1）如图所示，根据题意作出线段；

（2）如图所示，根据题意作出线段；

（3）如图所示，多边形是一个四边形（筝形）．

【点拨】此题考查了尺规作图的方法，四边形的概念，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法．

2．已知从一个六边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个六边形分成了m个三角形，且这些对角线的条数是n，求的值．

【答案】

【分析】根据从多边形的一个顶点出发有条对角线，把多边形分成个三角形，求出的值，再进行计算即可．

解：因为从六边形的某一个顶点出发的所有对角线共有3条，将六边形分成了4个三角形，

所以，

所以．

【点拨】本题考查多边形的对角线．熟练掌握从多边形的一个顶点出发有条对角线，是解题的关键．

举一反三：

【变式】探究归纳题：

(1) 试验分析：

如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形；

(2)  拓展延伸：

运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；

(3)  探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示）

(4)  特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．

【答案】(1)1，2； (2)3，4； (3) (4)8

【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；

（2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答；

（3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答；

（4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答．

（1）解：如下图：

经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，

故答案为：1，2；

（2）解：拓展延伸：

运用（1）的分析方法，可得：

图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；

图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；

故答案为：3，4；

（3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形，

故答案为：；

（4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形，

故答案为：．

【点拨】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键．

类型二、多边形➽➼内角和➽➼求边数✭✭求角度

3．已知一个多边形的内角和与外角和的差为．

(1) 求这个多边形的边数；

(2) 如这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是___________．

【答案】(1)12 (2)150°

【分析】（1）已知一个多边形的内角和与外角和的差为，外角和是360度，因而内角和是1800度．n边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n；

（2）根据正多边形每个内角相等，用多边形的内角和除以边数计算即可．

（1）解：设此多边形的边数为n，则：

，

解得：．

答：这个多边形的边数为12．

（2）解：这个正多边形的每一个内角是：

【点拨】本题考查多边形内角和与外角和，正多边形，熟练掌握多边形内角和与外角和是解题的关键．

举一反三：

【变式1】解决多边形问题：

(1) 一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？

(2) 小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？

【答案】(1)八边形 (2)八边形

【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于建立方程，解方程即可得；

（2）设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合建立不等式组，解不等式组即可得．

（1）解：设这个多边形是边形，

由题意得：，

解得，

答：这个多边形是八边形．

（2）解：设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，

由题意得：，

解得，

则，即，

解得，

为正整数，

，

答：这个多边形是八边形．

【点拨】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．

【变式2】阅读下题及解题过程．

如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？

如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为．

上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．

【答案】不正确，见分析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或．

【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案．

解：上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：

如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是；

如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是．

所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或．

【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．

类型三、多边形➽➼外角和➽➼外角和➽➼求边数✭✭求角度

4．（1）求12边形内角和度数；

（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．

【答案】（1）1800°；（2）8

【分析】（1）根据内角和公式，可得答案；

（2）根据多边形内角和公式（n-2）•180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n-2）•180°-360°=720°，再解方程即可．

解：（1）由题意，得

（12-2）×180°=1800°；

（2）由题意得：

（n-2）•180°-360°=720°，

解得：n=8．

【点拨】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．

举一反三：

【变式1】如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如下图所示就是一组正多边形．

（1）观察上面每个正多边形中的∠a，填写下表：

（2）是否存在正n边形使得∠a＝12°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，15

【分析】（1）根据正多边形的外角和，求得内角的度数，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得的度数；

（2）根据（1）的结论，将代入求得的值即可

解：（1）正多边形的每一个外角都相等，且等于

则正多边形的每个内角为，

根据题意，正多边形的每一条边都相等，则所在的等腰三角形的顶角为：，另一个底角为，

当时，

当时，

当时，

故答案为：

（2）存在．设存在正n边形使得，

∴，解得．

【点拨】本题考查了正多边形的外角和与内角的关系，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正多边形的外角与内角互补求得内角是解题的关键．

【变式2】如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？

【答案】他在点A处

【分析】根据题意可得，某人行走的路线正好是一个正多边形，利用多边形的外角和即可解决问题．

解：360°÷72°＝5，

∴某人行走的路线正好是一个正五边形，

∵某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，

∴一共走了：10×5＝50（米），

∴最后他在点A处．

【点拨】本题主要考查根据多边形的外角和解决实际问题．解题的关键是明确多边形的外角和是360°，明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．

类型四、多边形➽➼内角和✭✭外角和

5．在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为．

(1) 求的值．

(2) 利用（1）中求出的的值填空：正边形每个顶点可引出的对角线的条数为______，正边形对角线的总条数为______．

【答案】(1)的值为  (2)；

【分析】（1）此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的；

（2）求出正多边形的边数，根据正边形每个顶点可引出的对角线的条数为，正边形对角线的总条数为计算即可．

（1）解：设正边形每个内角的度数为，外角度数为，

则，

解得：，

，

，

即的值为．

（2）解：∵正边形的边数是，

正边形每个顶点可引出的对角线的条数为条，

这个正五边形的所有对角线的条数为：

．

故答案为：；．

【点拨】本题主要考查了多边形的内角合外角，多边形对角线条数，解题的关键是熟记多边形的外角和为．

举一反三：

【变式1】按要求完成下列各小题．

(1)  一个多边形的内角和比它的外角和多，求这个多边形的边数．

(2)  如图，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，求的度数．

【答案】(1) 9  (2)

【分析】（1）设多边形的边数为n，根据“多边形的内角和比它的外角和多”列出关于n的方程即可求解；

（2）先求出，，然后根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据角的和差关系求出的度数．

（1）解：设多边形的边数为n，

根据题意，得，

解得，

∴这个多边形的边数是9；

（2）解：正五边形的内角和为，

∴正五边形每个内角为，

即，

∵四边形是长方形，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理等知识，掌握多边形内角和定理是解题的关键．

【变式2】一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．

(1) 求这个多边形是几边形；

(2) 求这个多边形的每一个内角的度数．

【答案】(1)六边形 (2)

【分析】（1）先设内角为x，根据题意可得：外角为，根据相邻内角和外角的关系可得：x+=，从而解得：x=120°，即外角等于，根据外角和等于360°可得这个多边形的边数为：=6，

（2）先设内角为x，根据题意可得：外角为，根据相邻内角和外角的关系可得：x+=180°，从而解得内角：．

（1）解：设内角为x，则外角为，

由题意得，x+，

解得：，

，

这个多边形的边数为：=6，

答：这个多边形是六边形；

（2）设内角为x，则外角为，

由题意得：x+，

解得：，

答：这个多边形的每一个内角的度数是120度．

【点拨】本题主要考查多边形内角和外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和外角的关系．