数学七年级下册7.2 探索平行线的性质同步练习题

这是一份数学七年级下册7.2 探索平行线的性质同步练习题，共20页。

图 一
几何模型2：鸡翅模型

图三
几何模型3：折鸡翅模型

图四
几何模型4：多个M型模型
【典型例题】
类型一、平行线几何模型➽➼猪蹄模型➻➸求解✬✬证明
1．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
解：（1）作，，如图，且

∴
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，

∵平分，平分，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
举一反三：
【变式】阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 ．
②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 ．
【答案】(1)见解析； (2)①；②结论：
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）①利用基本结论求解即可；②利用基本结论，，求解即可．
（1）证明：如图，过作，
，
，
，

，
平分，平分，
，，
，
在中，，
，
；
（2）解：①如图2中，由题意，，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
②结论：．
理由：如图3中，由题意，，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
类型二、平行线几何模型➽➼鸡翅模型➻➸求解✬✬证明
2．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．
(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；
(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析．
【分析】过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论；
过作，依据，可得，进而得到，，再根据，即可得出．
（1）证明：如图，过点作，

，
，
，．
又，
；
（2）解：．
理由如下：如图，过作，

，
，
，，
，
．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．
(1)则∠P=______，∠E=______．
(2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数．
(3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系．
【答案】(1)110°，55°；(2)∠E的度数为，∠E的度数为
(3)∠DEB=90°-∠P
【分析】（1）过E作EFAB，而ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解；
（3）过E作EGAB，而ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解．
解（1）如图1，过E作EFAB，而ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE=∠ABP=25°，∠CDE=∠CDP=30°，
∴∠BED=25°+30°=55°，
同理：∠BPD=110°．
故答案为：110°，55°；
（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点，
∴∠ABE=∠ABP=α，∠CDE=∠CDP=，
∵ABCD，
∴∠CDF=∠AFE=，
∴∠E=∠AFE-∠ABE=，
∵∠ABE与∠CDE的角平分线交于点E，
∴∠ABE=∠ABE=，∠CDE=∠CDE=，
∵ABCD，
∴∠CDG=∠AGE=，
∴∠E=∠AGE-∠ABE=，
同理可得，∠E=，
以此类推，∠E的度数为；
（3）∠DEB=90°-∠P．理由如下：
如图3，过E作EGAB，而ABCD，
∴ABCDEG，
∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE=∠PDF=(180°-∠CDP)，∠ABQ=∠ABP，
∴∠DEB=∠ABP+(180°-∠CDP)=90°-(∠CDP-∠ABP)，
∵ABCD，
∴∠CDP=∠AHP，
∴∠DEB=90°-(∠CDP-∠ABP)=90°-(∠AHP-∠ABP)=90°-∠P．

【点拨】本题考查了角平分线的性质和平分线的性质，解决本题的关键是掌握以上的性质并熟练的运用．
类型三、平行线几何模型➽➼多个M型模型➻➸求解✬✬证明
3．探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2； (2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．
（1）解：如图①，过点E作EMAB，

∵ABCD，
∴ABCDEM，
∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，
∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，
即∠1＋∠3＝∠2；
（2）如图②，过点F作NFAB，

∵ABCD，
∴ABCDFN，
∴∠4＝∠NFH，
由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，
∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，
即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
（3）如图③，过点G作GMAB，

∵ABCD，
∴ABCDGM，
∴∠5＝∠MGN，
由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，
∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，
即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【点拨】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
举一反三：
【变式】【发现】如图，已知CD，直线AB，CD被EF所截．若EM，FN分别平分∠AEF和∠DFE，判断EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
【变式】如图，已知，∠M＝∠N，求证∠1＝∠2；
【拓展】如图，CD，∠1＝∠2，求证∠M＝∠N．
【答案】【发现】EMFN；证明见解析；【变式】证明见解析；【拓展】证明见解析．
【分析】根据平行线的性质和判定证明即可．
解：EMFN；
证明：∵ABCD，
∴∠AEF＝∠EFD．
∵EM，FN分别平分∠AEF和∠DFE，
∴∠MEF＝∠AEF，∠NFE＝∠DFE，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EMFN；
【变式】证明：∵∠AEF+∠EFC＝180°，
∴ABCD，
∴∠AEF＝∠DFE．
∵∠M＝∠N，∴MEFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴∠AEF-∠MEF＝∠EFD-∠EFN，
即∠1＝∠2；
【拓展】证明：如图，延长EM交CD于点P．
∵ABCD，
∴∠1＝∠EPD．
∵∠1＝∠2，
∴∠EPD＝∠2，
∴MEFN，
∴∠EMN＝∠N．
【点拨】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
类型四、平行线几何模型➽➼综合模型➻➸求解✬✬证明
4．根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；(2)见解析；(3)
【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；
（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．
（1）解：过点F作，如图，
∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），
∵、（已知）
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；

（2）解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：

过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F
过点D作，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ；
（3）解：
如图（4）所示，过点C作，过D作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴．
【点拨】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．
举一反三：
【变式】已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．
(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：
(2)请选择其中一个图形进行说明理由．
【答案】(1)见解析； (2)见解析
【分析】（1）利用平行线的性质即可求解．
（2）过点C作CGAB，利用平行线的判定和性质即可求解．
（1）解：∠B、∠C、∠F之间的数量关系如下表：
（2）解：图（1） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，
∴∠B+∠F=∠BCF；
图（2） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
图（3） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．

理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
图（4） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．

理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG+∠B=180°，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF+∠F=180°，
∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°；
图（5） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．

理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
图（6） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
【点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 图形
∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
图（6）
图形
∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1）
∠B+∠F=∠C
图（2）
∠F-∠B=∠C
图（3）
∠B-∠F=∠C
图（4）
∠B+∠F+∠C=360°
图（5）
∠B-∠F=∠C
图（6）
∠F-∠B=∠C