沪科版八年级下册16.1 二次根式精品ppt课件

教学目标

1.经历二次根式概念的形成过程,了解二次根式是开平方运算引出的结果,理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数,以及的非负性.

2.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，理解二次根式的性质1、性质2,了解其区别与联系,并能运用性质1,2解决一些问题.

3.在二次根式概念、性质的形成和探索中,鼓励学生积极探究,乐于合作与交流,发展学数学用数学意识、分类讨论的意识，了解由特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想.

教学重难点

重点：经历二次根式的概念、性质的探索和形成过程.

难点：正确理解=∣a∣=

教学过程

导入新课

问题1  什么叫做平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.

问题2  什么叫做算术平方根?

如果=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根，用（a≥0）表示.

问题3  什么数有算术平方根?

我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.

思考：用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？

(1)若一个正方形的面积为3,则其边长为_____m；一个面积为S 的正方形，其边长为_____m．

(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为____m．

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下的高度h (单位：m)满足关系h =5t2，如果用含有h的式子表示 t，那么t为_____．

答案：（1）  　（2）　（3）

探究新知

探究一  二次根式的定义

一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式,其中a是被开方数.

判断一个数（或式）是不是二次根式必须同时满足：①根指数为2;②被开方数为非负数.

【学生活动】观察“思考”中得出的问题答案，分析它们的结构形式，总结它们的特征.

【教师活动】根据学生提供的结论，得出二次根式的定义.

探究二  二次根式的性质

问题1  二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的值又是什么？

当a＞0,表示a的算术平方根的平方，因此=a；

当a=0,表示0的算术平方根的平方，因此=0；

这就是说，当a≥0时，=a.

类似地，计算

= 5 ，=，=  0  .

【学生活动】根据所探究的内容先填空，再在小组内交流，总结

在a 的值一定时，的值与a的关系.

【师生总结】①的被开方数a的取值范围是a≥0;

            ②=a(a≥0).

问题2  二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的值又是什么？

当a＞0,表示的算术平方根，因此=a；

当a=0,表示0的算术平方根，因此=0；

当a＜0,表示的算术平方根，因此=-a.

这就是说，当a≥0时，=a; 当a＜0时，=-a.

类似地，计算

= ，=   0.5  ，=  0 ,

= ，=   0.5  .

【学生活动】根据所探究的内容先填空，再在小组内交流，总结 的值与a的取值关系.

【师生总结】=∣a∣=

例题讲解

【例1】  说一说下列各式哪些是二次根式.

(1)(2)6；     (3)；

(4)（m≤0）； (5)；  （6） ;  (7).

【解】（1）（4）(6)是二次根式.

（2）没有开方运算；

（3）被开方数是负数；

（5）xy可能是负数；

（6）根指数不是2.

【学生活动】指出每一个式子的特点，初步判断，不是二次根式的说出理由.

【师生总结】判定一个式子是不是二次根式有两个条件：一是不是含有二次根号；二被开方数是不是非负数.

跟踪练习  1.下列各式是否为二次根式？说明理由．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）（a＜0）．

解：（1）是二次根式；

（2），被开方数小于零，不是二次根式；

（3），是三次根式；

（4）（a＜0）是二次根式．

【例2】   x为何值时,下列式子在实数范围内有意义?

(1);

(2).

【解】(1)要使有意义,必须x+3≥0.

解这个不等式,得x≥-3.

即当x≥-3时,在实数范围内有意义.

(2)因为x为任何实数时都有≥0,

所以当x为一切实数时,在实数范围内都有意义.

【学生活动】根据二次根式的定义，确定被开方数为非负数列不等式求解，写出解题过程，小组内交流.

【师生总结】二次根式有意义的条件是：被开方式是非负数.

跟踪训练  2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）;  (2); (3) ;  (4).

【解】（1）∵ a-1≥0，∴ a≥1；

（2）∵ 2a+3≥0，∴ a≥ ；

（3）∵ -a≥0，∴ a≤0；

（4）∵ 5-a＞0，∴ a＜5.

【例3】  计算：

(1) ；

(2).

【解】(1)==5或=∣-5|=5；

(2)=|1-∣=-(1--1.

【例4】  先化简再求值:,其中x=4.

【解】==∣x-π∣，

当x=4时，∣x-π∣=∣4-π∣=4-π.

∴ 当x=4时，=4-π.

【教师活动】教师分析先化简再求值的题目，一般情况下，根号下是完全平方式时，根据=∣a∣求出结果再代入求值.

【学生活动】先分析，在老师的指导下自主完成，小组内交流，对出现的错误及时纠正.

跟踪训练  3.先化简，再求值．

已知a＝，求2-+（a+1）（a-1）的值．

解：2-+（a+1）（a-1）

＝2-+-1

＝2-|a-2|+a2-1，

当a＝时，原式＝2-（2-）+-1＝2-2++2-1＝+1．

课堂小结

1.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.

2.二次根式的性质：

a (a≥0) ；

 =∣a∣=

3.利用二次根式的性质进行化简.

布置作业

教材第4页练习

板书设计

16.1　二次根式

1.二次根式的定义及其判断依据.

2.二次根式的性质：

a (a≥0) ；

 =∣a∣=