2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市六校高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市六校高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知复数，那么(    )

A.  B.  C.  D.

2. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(    )

A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样

3. ，是空间两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面(    )

A. 有且仅有一个 B. 至少有一个 C. 至多有一个 D. 有无数个

4. 设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照语文、数学、英语物理、历史选化学、生物、地理、政治选的模式设置的，则某考生选择物化生组合的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是(    )

A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

7. 已知内角，，的对边分别为，，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，，点为的外接圆的圆心，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 如图，在平行四边形中，下列结论中正确的是(    )
    

A.  B.
C.  D.

10. 一组数据，，，的平均数是，方差为，关于数据，，，，下列说法正确的是(    )

A. 平均数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 方差是

11. 从装有个红球和个黑球的口袋中任取个小球，则下列结论正确的是(    )

A. “至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
D. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件

12. 在长方体中，，，则下列结论正确的是(    )

A. 平面
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为______．
14. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为______．

15. 已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是______．
16. 在中，，，，平分交于点，，则的长为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知向量，满足，，且，的夹角为．
    若，求实数的值；
    求与的夹角的余弦值．
18. 如图，在长方体中，，，点为棱的中点．
    证明：平面；
    求异面直线与所成角的大小．

19. 如图，在中，，是边上一点，，，．
    求的大小；
    求的长．

20. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知向量，，且．
    求角的大小；
    若，求周长的取值范围．
21. 如图，在平行四边形中，，，现将沿折起，得到三棱锥如图，且平面平面，点为棱的中点．
    
    求证：平面；
    在的角平分线上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
22. 年月日，第届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场鸟巢举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
    根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数；
    现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
    若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
    若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据复数的运算性质计算即可．
本题考查了复数的运算，考查复数求模，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属于基本题．
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
【解答】
解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式比较合理．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与平面平行的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是基础题．
空间中两直线不相交，则两直线可能平行，也可能异面，然后分，平行和异面讨论．

【解答】

解：，是空间两条不相交的直线，
，的位置关系有两种：即平行或异面．
若，平行，那么过直线且平行于直线的平面有无数个；
若，异面，如图，

在上任取一点，过作，则，确定平面，，
那么过直线且平行于直线的平面只有个．
故过直线且平行于直线的平面至少有一个．
故答案选：．

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
则在上的投影向量为，
故选：．
由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量的概念，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：所有的选择方案为，
所以选择物化生组合的概率为．
故选：．
利用组合数求出所有可能选择的方案，再利用概率公式求解．
本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于，因，，当时，因为，所以；
当时，如图所示，在直线上取点，过作直线，则，过直线，的平面，
由，得，所以，
又，所以，而，所以，即A正确；

对于，若，，则，
又，则存在过直线的平面，使得，
所以，所以，所以，即B正确；

对于，如图，在长方体中，取平面为平面，直线为直线，平面为平面，直线为直线，满足，，，而，即C错误；
对于，若，，则，
又，所以，即D正确．
故选：．
利用线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的判定定理可判断，；举例说明判断；利用线面垂直的判定定理与性质定理可判断．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线与面平行或垂直的判定定理，性质定理是解题的关键，考查空间立体感，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，整理得，
，，
．
故选：．
利用正弦定理把等式中角的正弦转化成边，整理求得，和的关系式，代入余弦定理求得的值，进而求得．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．主要是利用了正弦和余弦定理完成边角问题的转化．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图做辅助线：

取中点，由题意可知为的外接圆的圆心．
故可以得到，则．
故．
．
故选：．
取中点，则由已知可得，然后根据题意结合图形将用表示，代入中化简可得答案．
本题主要考查向量的表示和向量的数量积公式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，根据向量的减法法则知，
所以结论中错误的是．
均正确．
故选：．
应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如和答案，符合平行四边形法则．
数学思想在向量中体现的很好，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，，的平均数为，方差为．
则，．
所以，，，的平均数为，方差为．
故选：．
设据，，，的平均数为，方差为，利用平均数和方差性质计算得解．
本题主要考查数据的平均数和方差，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，“至少有一个红球”包含“两个红球”和“一红一黑”两种情况，“至少有一个黑球”包含“两个黑球”和“一红一黑”两种情况，两者不是互斥事件，A错误；
对于，“恰有一个黑球”即“一红一黑”，和“都是黑球”不会同时发生，是互斥事件，B正确；
对于，“恰有一个红球”即“一红一黑”，和“都是红球”不会同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，C错误；
对于，“至少有一个黑球”包含“两个黑球”和“一红一黑”两种情况，和“都是红球”是对立事件，D正确；
故选：．
根据题意，由互斥事件和对立事件的定义，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查互斥事件和对立事件的定义，注意两者的区别，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在长方体中，有，，
可得四边形为平行四边形，则，而平面，平面，
可得平面，故A正确；
假设平面平面成立，在平面中，过作，
平面平面，平面，平面，可得，
又，，平面，得，即，
又平面，则，可得，这样在中有两个直角，
假设不成立，故B错误；
，故C正确；
作，垂足为，平面平面，可得平面，
连接，则为与平面所成的角，由已知求得，，
可得直线与平面所成角的正弦值为，故D错误．
故选AC．
利用直线与平面平行的判定判断；利用反证法思想判断；利用等体积法求出三棱锥的体积判断；求出线面角的正弦值判断．
本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查线面角与多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题设，，故的虚部为．

故答案为：．
结合虚部的定义，以及复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查虚部的定义，以及复数的运算法则，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连结，，由，分别为，的中点知 ，
易知与所成角即与所成角，即为．

故答案为：．
如图，连结，，与所成角即与所成角，可得为．
本题考查异面直线所成角的求法，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设事件表示“甲射击一次命中目标”，事件表示“乙射击一次命中目标”，则，相互独立，
停止射击时甲、乙共射击了四次，说明甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率，
故停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是．
故答案为：．
设事件表示“甲射击一次命中目标”，事件表示“乙射击一次命中目标”，则，相互独立，分析试验过程，并利用相互独立事件的概率公式直接求概率．
本题主要考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，得：，
则，
即，
解得，
故AB，，
由余弦定理，得，
所以．
故答案为：．
由题意，利用三角形的面积公式可求的值，进而可求，的值，根据余弦定理即可求解的值．
本题考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
所以，
解得．
因为，
，
所以，，
故与的夹角的余弦值为． 

【解析】由，结合平面向量数量积的运算法则，展开运算即可；
根据，分别求得与，再由平面向量的数量积，即可得解．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的数量积，模长的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：设和交于点，则为的中点．
连结，又因为是的中点，所以．
又因为平面，平面
所以直线平面．
解：由知，，所以即为异面直线与所成的角．

因为，
，且，
所以．
又，所以
故异面直线与所成角的大小为． 

【解析】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，属于基础题．
和交于点，则为的中点．推导出由此能证明直线平面．
由，得即为异面直线与所成的角．由此能求出异面直线与所成角的大小．
 

19.【答案】解：在中，，，，
在中，由余弦定理可得：，
，
．
，
，
在中，由正弦定理，即，解得． 

【解析】由已知利用余弦定理可得，结合范围，可求的值．
利用三角形的内角和定理可求，在中，由正弦定理即可解得的值．
本题主要考查了余弦定理，三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：，，
由正弦定理，得．
又，，
由于，．
，，
由正弦定理，得，．
．
，，则．
．
，则．
故周长的取值范围为． 

【解析】由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案．
由正弦定理可得，根据的范围求出的值域，即可求出周长的取值范围．
本题主要考查特殊角的三角函数值，正弦定理及其应用，三角形周长的取值范围的计算等知识，属于中等题．
 

21.【答案】证明：在▱中，可得，
又因为为侧棱的中点，所以，
在▱中，可得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面．
解：取中点，连接并延长至点，使，
连接，，，
因为，所以射线是角的角分线．
又因为点是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，互相平分，故四边形为平行四边形，有，
又因为，所以有，
又因为，，故．
 

【解析】由为们棱的中点，所以，在▱中，证得，得到平面，从而证得平面：
取中点，连接使得，连接，，，得到，证得平面，得到，在由，得到，进而求得的长．
本题考查线面垂直，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：设这人的平均年龄为，
则岁．
设第百分位数为，
方法一：由，解得．
方法二：由，解得．
由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，
对应的样本空间为：
，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙甲，，乙，，共个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则：
，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点．
所以，．
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，．
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为．
据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为． 

【解析】根据频率分布直方图中平均数的公式以及百分位数的计算即可求解．
用列举法列出所有的基本事件，根据古典概型的公式即可求解所求事件的概率，根据方差的公式即可求解．
本题考查频率分布直方图的性质、百分位数、平均数、方差、概率、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．