2022届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期末考试数学（理）试题含解析

2022届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】根据集合的交集和补集计算方法计算即可.

【详解】或，

或.

故选：B.

2．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依据向量投影的定义解之即可.

【详解】向量与的夹角为，

在方向上的投影为

故选：D

3．已知为等差数列的前n项之和，且，，则的值为（       ）.

A．63 B．81 C．99 D．108

【答案】C

【分析】先由为等差数列的前n项之和，可得 也成等差数列，则，成等差数列，再将，代入运算即可.

【详解】解：由为等差数列的前n项之和，

则, 也成等差数列，

则，成等差数列，

所以，

由，，

得，

故选C.

【点睛】本题考查了等差数列的性质及等差中项，重点考查了运算能力，属基础题.

4．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先利用指数函数的性质比较的大小，再利用幂函数的性质比较的大小，即得解.

【详解】由题得，，

所以.

故选：A

5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【答案】B

【详解】化简圆到直线的距离 ，

又 两圆相交. 选B

6．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

【答案】A

【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.

【详解】由函数图象平移变换的性质可知：

将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

.

则函数的单调递增区间满足：，

即，

令可得一个单调递增区间为：.

函数的单调递减区间满足：，

即，

令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.

【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可.

【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.

由条件知：，则，

故选：C.

8．某班共有 个小组，每个小组有 人报名参加志愿者活动．现从这 人中随机选出 人作为正式志愿者，则选出的 人中至少有 人来自同一小组的概率为（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求对立事件的概率，然后根据可得.

【详解】人中随机选出人，则4人都来自不同小组共有种，则选出的人中至少有人来自同一小组的概率为：.

故选：A

9．中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（       ）

A． 种 B． 种 C． 种 D． 种

【答案】C

【分析】在排列时，相邻元素用捆绑法，特殊元素特殊安排，利用分步计数原理即可求解.

【详解】首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得种.

故选：C

10．已知抛物线 的焦点 ，过其准线与 轴的交点 作直线 ，若直线 与抛物线相切于点，则 （        ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由抛物线的方程求出的坐标，设切点的的坐标，求出切线的斜率，求出切线的方程与抛物线联立，

由判别式等于求出的横坐标与焦点的横坐标相同，纵坐标为，可得轴，，可得

为等腰直角三角形，进而求出的值.

【详解】由题意得，设切点，，

，

所以过切点的切线方程为

，代入抛物线的方程，得

，

所以，可得，

所以，，即，所以轴，，

所以为等腰直角三角形，所以.

故选：C.

11．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的个数是（       ）

（1）；

（2）存在点满足

（3）直线与直线的斜率之积为

（4）若△的面积为，则点的横坐标为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】（1）由椭圆定义进行求解；（2）点P在以为直径的圆上，求出圆的方程，与椭圆方程联立作出判断；（3）设出点P的坐标，表达出直线与直线的斜率，计算出答案；（4）利用的面积求出点P的纵坐标，进而利用椭圆方程求出横坐标.

【详解】由题意得：，所以，，故，，，，由椭圆的定义知：，（1）错误；

假设存在点满足，则点P在以为直径的圆上，即，与椭圆方程联立得：，无解，故假设不成立，不存在点满足，（2）错误；

设点，则，所以其中，，所以，（3）正确；

，解得：，将代入椭圆方程中，解得：，（4）正确.

综上：正确答案为2个，

故选：B

12．已知函数，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值范围是 （       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出导函数并因式分解得到，再令，进而讨论函数的单调性并求出最小值，然后讨论和两种情况分别求出原函数的极值点个数，最后得到答案.

【详解】由题意，，，记，则，则时，，单调递减，时，，单调递增，所以.

若，则时，，单调递减，时，，单调递增，于是 是函数 的唯一极值点.

若，则，易知，于是时，；

设，，即在上单调递增，所以，则时，，此时，于是且时，.

再结合函数的单调性可知，函数在两个区间内分别存在唯一一个零点，且当时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.于是函数 存在3个极值点.

综上所述：.

故选：D.

【点睛】本题难度较大，首先，注意对函数求完导之后要因式分解，题目要求为极值点，则尽量分解出，其次，在讨论函数的零点时可以借助函数的单调性和图象进行分析，这样作为选择题会很快得出答案.

二、填空题

13．若 ，则的值 ___________________.

【答案】

【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.

【详解】令，得，令，得，所以

故答案为：

14．已知圆的半径为2，在圆内随机取一点 M，则过点 M 的所有弦的长度都大于的概率为______________.

【答案】或0.25

【分析】考查几何概型，求出符合要求的点 M运动范围，比上圆的面积

【详解】若过点的最短弦长为，则，当点 M在以为圆心，半径为1的圆内时，过点 M 的所有弦的长度都大于，大圆面积为，符合要求的圆面积为，所以概率

故答案为：

15．直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若这个三棱柱的体积为，则球的表面积为__________________.

【答案】

【分析】先求出直三棱柱的高，利用正弦定理求出△ABC外接圆半径，即可球O的半径,从而求出球O的表面积.

【详解】设和的外心分别为O1、O2,连接O1O2,可得外接球的球心O为O1O2的中点.连接OB、OC、O1C.

在中,,因为，所以，所以.

因为直三棱柱的体积为，所以，解得：.在△ABC中，由正弦定理得：△ABC外接圆半径，所以球O的半径,所以球O的表面积为.

故答案为：

16．已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为___________________.

【答案】

【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用三角换元求的最大值，即可求出此时的值.

【详解】设为第一象限的交点，、，

则、，解得、，

在中，由余弦定理得：，

∴，∴，

∴，∴，∴，

设，，则，

当时，取得最大值，此时，，，

故答案为：

三、解答题

17．在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为：，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数，）．

(1)求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；

(2)若 为曲线 上的动点，点 到直线 的距离的最大值为 ，求 的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)利用、直接变形即可得出的直角坐标方程；对直线的参数方程直接消去t即可；

(2)由(1)可得曲线C的参数方程，利用点到直线的距离公式得出关于的三角函数，结合三角函数的性质即可得出结果.

【详解】(1)由 得 ，

因为 ，，

所以曲线的直角坐标方程为：．

由 ，消去参数，得直线 的普通方程为：．

(2)由（）可得曲线 的参数方程为 （为参数）．

由点到直线的距离公式，

得点 到直线 的距离 ．

因为 ，所以 ，

又 ，所以当 时，，得 ；

当 时，，得 ．所以 ．

18．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6 篇，试求：

(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；

(2)他能过关的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）考察超几何分布，列出所有情况，按照公式求出对应概率，写出分布列以及数学期望

（2）能过关即背出2篇或3篇，将第一问的概率相加即可

【详解】(1)记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3

，，，，

的分布列为

数学期望

(2)他能过关的概率为

19．已知数列是等差数列，是递增的等比数列，且，，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；；（2）．

【分析】（1）根据题设条件，列出方程组，求得公差和公比的值，即可求得数列和的通项公式；

（2）由（1）求得，结合裂项法，即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为，递增等比数列的公比为，

由，，，，

可得，解得或(舍去)，

所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．

（2）由（1）知

所以

，

所以，数列的前项和．

【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：

1、基本步骤：

裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；

累加：将数列裂项后的各项相加；

消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.

2、消项的规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

20．如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.

（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；

（II）求二面角的正弦值；

（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【详解】【分析】分析：依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系.

（Ⅰ）由题意可得：平面CDE的一个法向量n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），故，MN∥平面CDE．

（Ⅱ）依题意可得平面BCE的一个法向量n=（0，1，1）．平面BCF的一个法向量为m=（0，2，1）．据此计算可得二面角E–BC–F的正弦值为．

（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），结合空间向量的结论计算可得线段的长为.

详解：依题意，可以建立以D为原点，

分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），

可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），

E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．

（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．

设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，

则 即

不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．

又=（1，，1），可得，

又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．

（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．

设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，

则 即

不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．

设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，

则 即

不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．

因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．

所以，二面角E–BC–F的正弦值为．

（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），

可得．

易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，

故，

由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．

所以线段的长为.

点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21．已知函数 ，．

(1)求函数 的单调区间；

(2)若 且 ，证明：，.

【答案】(1)单调递增区间为 ，，单调递减区间为

(2)证明见解析

【分析】（1） 求导，，根据 ，由 求解；

（2）由 ，转化为证：，，令 ，利用导数法得到，转化为证 ，由 ，转化为证,令 ，，用导数证明.

【详解】(1)（1） ，，

因为 ，所以 ，

所以 或 ，，

所以 的单调递增区间为 ，，单调递减区间为 ．

(2)令 ，则 ，，

故 在 单调递增，在 上单调递减，

故 ，即 ，

欲证：，，即证：，，

令 ，，则 ，

因为 ，故 ，

所以 ， 在 上单调递增，

所以 ，

故欲证 ，，只需证 ，

因为 ，

所以 ，

即 ，

因为 ，故 ，故等价于证明：，

令 ，，

则 ， 在 上单调递增，

故 ，即 ，从而结论得证．

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用，，转化为证明而得证.

22．如图，已知椭圆： 的长轴长为4，焦距为，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C、D在椭圆上，点D在第一象限，CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆、y轴分别交于点F、G，直线CG交椭圆于点H，联结FH.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线AE、CG的斜率分别为，求证∶为定值；

（3）求直线FH的斜率k的最小值.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【分析】（1）根据长轴长和焦距可求解出椭圆的标准方程；

（2）由对称性，设出点的坐标，求出直线，的斜率即可求证；

（3）由直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，即可表示出直线FH的斜率，

利用基本不等式即可求最值．

【详解】由题意知，，所以

从而，所以椭圆的标准方程为，；

（2）由对称性，设，，，

则，得，

故，，则，所以为定值；

（3）由，

联立，

由根与系数的关系可得，所以，

所以，可得，

又，联立，

由根与系数的关系可得，所以，

所以可得：，

所以

，

由图知，所以即，

当且仅当即取等.

所以直线FH的斜率k的最小值为．

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．