黑龙江省哈尔滨德强学校2021-2022高三（清北班）上学期期中线下考试数学（理）【试卷+答案】

德强高中2021-2022学年度期中考试

高三学年  (清北)理科数学试题

    答题时间：120分钟   满分：150分

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列命题中正确的是

A．若，，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

2．已知为虚数单位，复数z1=1-2i，z2=2+i，则复数在复平面上对应的点位于

A．第一象限      B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限

3．“a,b是异面直线”是指：①且不平行于；②平面，平面且；③平面，平面；④不存在平面，能使且成立，上述结论中，正确的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为

A．12 B．8 C．6 D．4

5.已知平面向量，，夹角为，满足，，则

A． B． C． D．

6．设点，，均非原点，则“方程组有唯一解”是“能表示成和的线性组合”的

A．充分不必要条件 B．充要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件

7．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走28m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）   

A． B． C． D．

8．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为

A． B． C． D．

9．设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则

A． B． C． D．

10．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是

①平面的法向量与平面的法向量垂直；

②异面直线与所成的角的余弦值为；

③四面体有外接球且该球的半径等于棱BD长；

④直线与平面所成的角为.

A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④

11．已知，，，则的取值范围是

A． B． C． D．

12．已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为

A．3 B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在中，已知，，，则______．

14．数列满足，其前n项的乘积为，则_________.

15．已知一个几何体的正视图和侧视图如图所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形如图所示，则此几何体的体积为_________

16．在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_______________________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．

17．(10分)（2021·四川省成都市玉林中学（文））在平面直角坐标系中，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)射线分别交于两点，求的值.

18．(12分)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求角B的大小；

(2)设，若，且A，C都为锐角，求m的取值范围．

19．(12分)数列是等差数列，为其前项和，且，，数列前项和为，且满足，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求.

20．(12分)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，CD＝AD＝AB，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．

(1)求证：DE//平面PBC；

(2)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．

21．(12分)甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．

(1)甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；

(2)甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．

22．(12分)已知函数．

(1)讨论函数的单调性

(2)当时，若对于任意，都存在，使得，证明：．

参考答案

AACBDA   ADCCDD

13．或

14．2

15．

16．   

17．（1）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，（2）

解：（1）曲线的极坐标方程为，

由曲线（为参数），得，化简得，

所以曲线的极坐标方程为

（2）由，得，则，

由，得，则,

所以，

18．（1）；（2）(0,3)．

解：（1）由已知及正弦定理，得，即，即．     

由余弦定理，得．

因为，所以．           

（2）因为，则，得．     

所以

．           

因为A，C都为锐角，，则，

所以．

19．（1），；（2）

解：（1）

；

，，两式相减得：，

，

；

（2）由（1）得，

，

，

两式相减得：，

20．（1）证明见解析；（2）存在，.

解：（1）由题意，设， 因为PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，如图，以为原点，，，所在直线分别是，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则CD＝AD＝AB=1，而∠PAD＝45°，易知∠PDA=90°，于是，又E是PA的中点，故 ，，，，，，

所以，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，∴，

又，∴，∴，平面，

∴平面．

（2）设点坐标为，则，，

由得，∴，

，设，，

∴，∴，

∵与平面所成角的正弦值为，∴，整理得：，解得：，（舍）

∴存在满足条件的点，，且．

21．（1）分布列见解析，；（2）

解：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以的分布列为

所以数学期望．

（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，

设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，

因两队积分相等，所以，即，则，

所以（A）

．

22.【答案】（1）   当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.   

(1) ,则

当时，，则在上单调递增.

令,，，对称轴方程为

当时，开口向下，对称轴方程为，

所以在上单调递减，所以，所以.

则在上单调递增.

当时，，

有两个不等实数根，

所以得出，得出

则在上单调递增，在上单调递减

综上所以：当时，在上单调递增.

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）

所以

又

所以

即

则

由，则，设

设，则

所以在 上单调递减,所以

所以恒成立,即

由，则

由，则在时恒成立.

所以在上单调递增.

所以由，可得成立.