2022届陕西省延安市子长市中学高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

2022届陕西省延安市子长市中学高三上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求集合A，利用集合交运算求.

【详解】由题设，，又，

∴.

故选：B

2．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ）

A．1 B．2 C．－2 D．－4

【答案】B

【分析】根据复数相等的定义列方程求解即可．

【详解】解：由得

，

，

，

解得，

．

故选：B．

3．若，下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断可得；

【详解】解：对于A、C：因为，所以，所以，故A错误，C错误；

对于B：因为，所以，故B错误；

对于D：因为，所以，所以，即，故D正确；

故选：D

4．函数在上的图象大致为（    ）

A．    B．  C．    D．  

【答案】C

【解析】根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解.

【详解】由可知函数为奇函数.

所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；

当时，，

，排除选项D，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

5．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由等差数列片段和性质可构造方程求得结果.

【详解】由等差数列性质知：，，成等差数列，

，即，解得：.

故选：C.

6．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案.

【详解】由题意得的定义域为，设，

根据二次函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减，

又因为在为增函数，

根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为.

故选：D

7．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】函数的图象向右平移个单位长度，得到，再利用三角函数的图象的对称性，可得答案．

【详解】函数的图象向右平移个单位长度，

所得函数图象的解析式为，

令，得．

令k＝0，则，

即平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是.

故选：A

8．已知为实数，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分不必要条件的定义可得答案.

【详解】若，则，所以，

若，不一定有，如时，有，

所以则“”是“”成立的充分不必要条件.

故选：A.

9．若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（    ）

A．9 B．8 C．6 D．3

【答案】C

【分析】根据式子结构，利用基本不等式中“1的代换进行求解即可.”

【详解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴，

∴x+y=（x+y）=5+当且仅当x=2y时，等号成立，此时x=6，y=3.

故选：C.

10．已知数列的前项和为，且，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据，由求解.

【详解】因为，

所以当时， ，

当 时 ，

又适合上式，

所以，

所以当时，取得最小值1，

故选：A.

11．已知，则下列关系不可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】问题转化为函数，，和的图象的交点问题，结合图象判断即可.

【详解】依题意，令，则，，，

令，，和，则a，b，c可分别视为函数，

，的图象与直线交点的横坐标，

在同一坐标系中画出函数，，和的图像，如图，

观察图象得：当时，，当时，，当时，，

显然不可能，

所以不可能成立的是.

故选：D

【点睛】思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的

指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性解决.

12．设为定义在上的奇函数，. 当时，，其中为的导函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件构造函数，由导数确定的单调区间及单调性，再将等价转化并借助单调性、奇偶性即可作答.

【详解】令，当时，，即在上单调递增，

因为上的奇函数，即，于是得，则是奇函数，在上单调递增，

又，则，

当时，，得，

当时，，得，

综上得或，

所以成立的的取值范围是.

故选：B

二、填空题

13．已知向量，向量与的夹角为 ，则的值为______.

【答案】6

【分析】利用向量数量积公式先计算，然后计算即可

【详解】因为，向量与的夹角为

所以

所以

故答案为：6.

14．已知函数，则＝_____．

【答案】π

【分析】求出函数的导函数，再借助诱导公式求三角函数值即可.

【详解】由求导得：，

于是得，

所以.

故答案为：π

15．若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由此可求得答案.

【详解】解：因为函数，则，

所以当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，

所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，

因为直线与函数的图象有三个交点，所以实数a的取值范围是，

故答案为：.

16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问此人最后一天走了______里．

【答案】4

【分析】根据题意确定每天走的路程构成等比数列，从而利用等比数列的前项和公式与通项公式即可得解.

【详解】依题意，设第天走的路程为里，则有，

所以是以的等比数列，故，

解得，

所以此人最后一天走了里.

故答案为：4.

三、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，，求bc的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理即可求解；

（2）由余弦定理即可求解.

【详解】（1）根据正弦定理可得，

∵，∴．∴，

∴，∵，∴．

（2）根据余弦定理得：，

即，

∵，代入解得：．

18．如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，，，O、Q分别为AD、PB的中点．

(1)证明：；

(2)求直线AQ与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由平面平面ABCD，可得平面PAD，再由线面垂直的性质定理可得答案；

（2）由已知可得平面平面ABCD，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

求出、平面PBC的法向量，由线面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）∵平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD

∴平面PAD，又平面PAD，∴；

（2）因为，O为AD的中点，

所以，又平面平面ABCD，平面平面，

平面PAD，所以平面平面ABCD，

以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，

设平面PBC的法向量为，

则，即，取，可得，

设直线AQ与平面PBC所成的角为，

则．

19．为了保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期､月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价元/度；第二阶梯电量：年用电量超过2160度且在4200度以下（含4200度），执行第二档电价元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价元/度.电力部门从本省的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：

以表中抽到的10户作为样本，估计全省居民的用电情况，并将频率视为概率.

(1)从全省居民用电户中随机地抽取1户，估计抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率；

(2)若从全省居民用电户中随机抽取2户，若抽到用电量为第一阶梯的有户，求的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）观察样本中第一阶梯的户数与总户数之比为所求；（2）分别计算出第一阶梯户数为0,1,2的概率画出分布列，然后根据数学期望的公式容易得到答案.

【详解】（1）从表中可以看出，这10户中有4户的用电量为第一阶梯，

从这10户中随机抽取1户，抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是，

从全省居民用电户中随机抽取1户，估计抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是.

（2）由（1）知，从全省居民用电户中随机抽取1户，抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是，

从全省居民用电户中随机抽取2户，

抽到用电量为第一阶梯的户数满足，

的所有可能取值为，

，

的分布列为：

数学期望.

20．已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上的一点P到两焦点的距离之和等于．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：交椭圆C于不同的两点A、B，且，O为坐标原点，求实数m的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解关于的方程即得解；

（2）设，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，代入化简即得解.

【详解】（1）解：由椭圆的定义可得，故，

由，可得，

则，

∴椭圆C的方程为．

（2）解：设，，

将直线l：代入椭圆方程，可得，

∴，，

由，解得，

由，得，故，

即，

可得，解得，都满足题意.

所以.

21．已知函数的图像在点处的切线方程为.

（1）求，的值；

（2）当时，证明：对恒成立.

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用导数的几何意义，先由求出的值，再由求出的值，

（2）要证对恒成立，只需证对恒成立，所以构造函数（），然后利用导数求出其最大值小于零即可

【详解】（1）解：因为，

所以，

解得，

则，解得.

（2）证明：因为，所以要证对恒成立，

只需证对恒成立.

设函数（），

则.

因为，所以，

所以在上单调递减，

从而，

则对恒成立，

故当时，对恒成立.

22．已知曲线（为参数），（为参数）.

（1）求，的普通方程；

（2）若上的点对应的参数为，上的点对应的参数，求.

【答案】（1）：，：；（2）；

【分析】（1）消去参数得到曲线的普通方程；

（2）直接将所对应的参数代入参数方程，求出、两点的坐标，再根据两点的距离公式计算可得；

【详解】解：（1）曲线（为参数），

曲线的普通方程为：，

（为参数）.

曲线的普通方程为．

（2）因为曲线（为参数），对应的参数为，所以；

（为参数），点对应的参数，所以，所以

23．已知函数的定义域为R．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)或；(2)

【分析】(1)把a=5代入原不等式，根据不同的定义域有不同的不等式，解出不等式即可；

(2)由绝对值不等式的性质可得，将问题转化为，解出不等式即可.

【详解】解：（1）当时，.

当时，由，得，解得；

当时，由，得，此时不等式无解；

当时，由，得，解得.

综上，当时，不等式的解集为或.

（2）∵，

∴不等式恒成立，等价于.

∴或（经检验符合题意）.

∴实数a的取值范围为.