2023届陕西省西安市周至县第四中学高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

2023届陕西省西安市周至县第四中学高三上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别求得集合，然后根据集合之间的关系判断即可.

【详解】由题可知：，

所以可知是的真子集，可知，A,B,C均错，D正确.

故选：D

2．设，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由指数函数单调性，结合临界值即可确定大小关系.

【详解】在上单调递增，，即；

又，；

综上所述：.

故选：D.

3．函数零点所在的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理判断即可.

【详解】令，解得：，只有一个零点.

而，，

由零点存在性定理知，函数零点所在的一个区间是.

故选：C.

4．已知命题p：，，命题q：，，则下列判断正确的是（    ）

A．是假命题 B．q是真命题

C．是真命题 D．是真命题

【答案】D

【分析】根据均值不等式得到 为假命题，根据指数函数单调性得到为假命题，对比选项得到答案.

【详解】时，，当时等号成立，所以，所以为假命题；为真命题，为假命题，故A和C错误.

当时，，故为假命题，则是假命题.

所以B错误，D正确.

故选：D.

5．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据给定的条件，利用对数函数单调性比较大小，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】因为，因此，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：C

6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由解析式结合函数图象直接判断即可.

【详解】对A，为奇函数，排除；

对B，为偶函数，在单减，排除；

对C，为偶函数，在单增，符合题意；

对D，为偶函数，由对勾函数图象特点可知，函数不单调，排除.

故选：C

7．函数在区间上的最小值是（    ）

A．- B． C．1 D．-1

【答案】A

【分析】根据函数单调性找出区间中的最小值.

【详解】在区间单调递减， 在区间也单调递减，所以在区间单调递减，因此

故选：A

8．已知函数f(x)的定义域为[-2，4]，其图像如图所示，则xf(x)<0的解集为（    ）

A．{x|-2≤x<-1} B．{x|-1≤x≤0}

C．{x|1≤x≤3} D．{x|0≤x≤4}

【答案】A

【分析】根据图像判断自变量和函数值符号即可.

【详解】由题图可知，当-2≤x<-1时，f(x)>0，当-1≤x≤0时，f(x)≤0，当0<x≤4时，f(x)>0，故xf(x)<0的解集为{x|-2≤x<-1}，

故选：A.

9．用表示两个数中的较小值，设 ，则的最大值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】求得的解析式，根据其单调性，即可求得最大值.

【详解】令，解得，故，

故当时，单调递增；当时，单调递减，

则的最大值为.

故选：B.

10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，当时，，则（    ）

A．2 B． C．－2 D．－

【答案】A

【分析】由题意可得函数的周期，从而得到，由解析式可得答案.

【详解】解：依题意，，，

函数的周期为6，

故，

又，则．

故选：A．

11．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的奇偶性，利用奇偶性及在上函数值的范围判断作答.

【详解】函数定义域为R，，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除C；

当时，，当且仅当时取等号，即当时，，A，D不满足，B符合题意.

故选：B

12．已知是定义在R上的奇函数，对，都有.若，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用奇函数得到，再从题意可得到是R上的减函数，即可求出答案

【详解】因为，是定义在R上的奇函数，所以，

因为，都有，

所以是R上的减函数，

因为，

所以，解得，故x的取值范围是，

故选：A

13．设函数满足且与的图象交点为，则的值为（    ）

A．0 B．n C．2n D．4n

【答案】C

【分析】根据已知条件判断和都关于中心对称，由此求得的值.

【详解】由于满足，

所以关于中心对称.

由于，所以关于中心对称.

所以与的图像交点，两两关于对称.

所以.

故选：C.

14．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析可知函数为偶函数，且在上为增函数，由已知可得出，解此不等式即可得解.

【详解】函数的定义域为，

，即函数为偶函数，

，当时，，则，

所以，函数在上为增函数，

由，可得，得，

即，解得.

故选：D.

二、填空题

15．，的否定形式为__________.

【答案】，

【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.

【详解】改量词：改为，

否结论：否为，

所以，的否定形式为：，.

故答案为：，.

16．函数的单调递增区间是__．

【答案】

【分析】根据复合函数定义域，单调性进行求解.

【详解】由题知，

所以，

所以 或

因为在上单调递减，在 上单调递增，

又因为 在 上单调递增，

所以由复合函数单调性可知的单调递增区间是.

故答案为：.

17．已知，则__________.

【答案】

【分析】直接将代入计算即可.

【详解】由已知得

故答案为：

18．若函数的零点是和，则不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】由韦达定理得，再解不等式即可.

【详解】解：因为函数的零点是和，

所以，，解得，

所以，解得或

所以，不等式的解集为

故答案为：

三、解答题

19．化简求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)100

(2)1

【分析】（1）根据有理数指数幂及根式的运算性质即可求解；

（2）根据对数运算性质及指数幂的运算即可求解.

【详解】（1）原式，

（2）原式

.

20．解下列不等式和方程：

（1）

（2）

【答案】（1），（2）或

【分析】（1）利用对数函数的单调性解不等式即可；

（2）利用换元法，设，则，求出的值，从而可求出的值

【详解】解：（1）由，得，

所以，解得，

所以不等式的解集为，

（2）设，则，得，

解得或，

当时，，得，

当时，，得，

所以方程的解为或

21．已知函数f(x)＝，若函数f(x)的图象过点(－1，3).

（1）求k的值；

（2）若f(a)≥27，求实数a的取值范围；

（3）若函数y＝f(|x|)－b有两个零点，求实数b的取值范围.

【答案】（1）k＝1；（2）(－∞，－2]；（3）.

【解析】（1）解方程＝3得的值，即得解；

（2）解不等式≥27即得解；

（3）先求出函数在单调递减，在单调递增，求出函数的值域即得解.

【详解】（1）∵f(－1)＝3，

∴＝3，

∴k－2＝－1，解得k＝1.

（2）由（1）及题意得，f(a)＝≥27，

∴2a＋1≤－3，

解得a≤－2.

故实数a的取值范围为(－∞，－2].

（3）由（1）知，f(x)＝，

∴当x≥0时，f(|x|)＝是减函数，值域为.

∵y＝f(|x|)是偶函数，

∴当x≤0时，y＝f(|x|)是增函数，值域为.

令y＝f(|x|)－b，所以.

∴函数y＝f(|x|)－b有两个零点时， .

【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，考查函数的奇偶性的应用，考查零点问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

22．已知函数是上的奇函数，当时，．

（1）当时，求的解析式；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据题意，当时，，求出的表达式，结合函数的奇偶性的解析式，即可得答案；

（2）根据题意，分析函数在上的单调性，则原不等式等价于，进而可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】（1）根据题意，当时，，则，

又由是上的奇函数，则，

故；

（2）当时，，则在上为增函数，

又由是上的奇函数，则在上也为增函数，

由于函数在处连续，故在上为增函数，

由可得，

，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

四、双空题

23．集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b=_________；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_______（答案不唯一，写出一个即可）

【答案】     ##0.5    

【分析】分别根据充要条件以及必要不充分条件的含义即可求解.

【详解】因为A是B的充要条件，则解集相同.，得，因为，则，解得；因为A是B的充分不必要条件，即

，又因为，且，则，需要，解得，即

故答案为：；

24．已知集合，集合，且，则_______；_______

【答案】          2

【分析】解绝对值不等式化简集合A，由A∩B＝，说明﹣1是方程的根，把代入方程求解m，然后把解出的m值代入集合B中的不等式化简集合B，求出A∩B后可得n的值．

【详解】，

因为A∩B＝，所以是方程的根，

把代入方程得，3(1+m)＝0，

所以m＝，此时不等式的解集为{x|＜x＜2}，

所以A∩B＝，即n＝2．

所以所求m，n的值为，2．

故答案为：．