陕西省延安市富县高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

富县高级中学2021-2022学年度第二学期期中考试试题高二数学（理）

注意：本试卷第Ⅰ、Ⅱ卷均答在答题卡上，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（改编题）设变量X和变量Y的样本相关系数为，变量U和变量V的样本相关系数为，且，，则（       ）

A．X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度

B．X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度

C．U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度

D．U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度

2．(创新题）若随机变量，且，则等于（       ）．

A．0.1587 B．0.3413 C．0.6827 D．0.8413

3．（改编题）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于分为优秀，分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下列联表：

附：，其中．

根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（       ）

A． B． C． D．

4．(原创题）已知随机变量，且数学期望，方差，则（       ）

A． B． C． D．

5．(创新题）用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（       ）

A．24个 B．12个 C．18个 D．6个

6．（改编题）如果，那么的值等（     ）．

A． B． C．0 D．2

7．(创新题）已知函数在上可导，则（       ）

A． B． C． D．

8．（改编题）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（    ）A． B． C．        D．

9．(原创题）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（       ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

10．(创新题）已知n是一个三位正整数，若n的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n为三位递增数.己知，设事件A为“由a，b，c组成三位正整数(数字可重复)”，事件B为“由a，b，c组成的三位正整数为递增数”则(       )

A． B． C． D．

11．(原创题）定积分等于（       ）

A． B． C． D．

12．（改编题）已知函数在处的切线方程为，不等式恒成立，则的最大值为（       ）

A．1 B． C．2 D．e

第Ⅱ卷（选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（改编题）已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数对应点的坐标为_____.

14．(创新题）曲线在点处的切线方程为______．

15．（改编题）的展开式中的系数是___________.

16．(原创题）若，则___________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（改编题12分）已知函数在处的切线方程．

（1）求，的值；

（2）求的单调区间与极小值．

18．(创新题12分）某产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：

（，其中，

（1）求线性回归方程；

（2）预测当广告费支出（百万元）时的销售额．

19．（改编题12分）7人站成一排.（写出必要的过程，结果用数字作答）

(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？

(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？

(3)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？

(4)甲、乙、丙三人至多两人相邻的排法有多少种？

20．(创新题12分）某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标

(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；

(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在的人数为，求的分布列和数学期望．

21．（改编题12分）设函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．

22．(创新题10分）在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为 （为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线C的一般方程与直线的普通方程;

(2)设直线与曲线的两个交点为，求的值.

2021-2022学年度高中数学期中考试

参考答案：

1．C【详解】由线性相关系数，知变量与正相关，由线性相关系数，知变量与负相关，又，所以变量与的线性相关程度比变量与的线性相关程度强.故选：C

2．D【详解】由，可知该正态密度曲线的对称轴为直线，所以；故选：D.

3．D【详解】由表中的数据可得：，

可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为．故选：D．

4．C【详解】因为，可得，可得，可得，所以，故选：C

5．B【详解】由题意可知，百位上的数字为2或3，十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个数字，个位上的数字再在剩下的2个数字中任选1个，故比200大的3位数的个数为.故选：B

6．A【详解】解：令，则，令，得，∴．故选：A．

7．D【详解】解：根据导数的定义，.故选：D

8．D【详解】对，

求导可得，，得到，所以，，所以，，故选D

9．B【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.故选：B.

10．B【详解】由题可知n(A)＝4×5×5＝100，由a，b，c组成的三位正整数为递增数，则：

若该三位数个位是0，则百位和十位从1，2，3，4四个数字中任选两个按大小排列即可，共种可能；若该三位数个位是1，则百位和十位从2，3，4三个数字中任选两个按大小排列即可，共种可能；若该三位数个位是2，则百位为4，十位为3，共1种可能；

故n(AB)＝6＋3＋1＝10，故.故选：B.

11．D【详解】解：根据定积分的运算性质，

因为表示以原点为圆心，为半径的圆的轴上部分，所以，因为函数在上为奇函数，

所以根据定积分的几何意义，，所以故选：D

12．A【详解】解：，

因为函数在处的切线方程为，

所以，解得，所以，

则，令，则，所以函数在上递增，

又，则存在，使得，

即存在，使得，则，故，

当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，

又因为不等式恒成立，所以，所以的最大值为1.故选：A.

13．【详解】

即复数对应点的坐标为故答案为：

14．

【详解】由题意知：，当时，，故切线方程为，即.故答案为：.

15．15【详解】展开式的通项为，令可得，

所以的展开式中的系数是，故答案为：15

16．【详解】由题得所以，所以，

所以.故答案为：

17．（1）；（2）在单调递减，在单调递增，的极小值为．

【详解】

解：（1），由已知可得，解得.

（2）由（1）可得，∴，

令，解得；令，解得，∴在单调递减，在单调递增，∴当时，的极小值为．

18．（1）；（2）百万元.

【详解】

（1）由题意，，，而，，

∴，则，∴线性回归方程为.

（2）当时，(百万元).

19．(1)1440  (2)3600    (3)1440      (4)4320

(1)（捆绑法）将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有种排法，

甲、乙两人可交换位置，有种排法，故共有（种）排法；

(2)（插空法）：将甲、乙除外其余5人全排列，有种排法，5人之间及两端共有

6个“空位”，任选2个排甲、乙两人，有种排法，故共有（种）排法；

(3)（插空法）将甲、乙、丙除外其余4人全排列，有种排法，将甲、乙、丙插入5个“空位”中，有种排法，故共有（种）排法.

(4)（间接法）7人任意排列有种排法，甲、乙、丙都相邻的排法有种，故共有（种）排法．

20．(1)中位数为，众数等于25    (2)分布列见解析，0.9

(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25．

由频率分布直方图可得，在上的频率为0.08，在上的频率为0.16，在上的频率为0.32，，则中位数在区间上．

设中位数为，则，，即样本中位数为．

(2)根据题意，在，，，上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在上抽取的人数为3，则，1，2，(3)．．从而得到随机变量的分布列如下表：

随机变量的期望

21．(1)递增区间为，，递减区间为； (2).

(1)由题设，，而，则，

由于的关系为：

所以的递增区间为，，递减区间为；

(2)当时，由（1），极大值，极小值，

要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以；当时单调递增，显然有且只有一个零点，符合题意；

当时，递增区间为，，递减区间为；极大值，极小值，要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以；综上：.

22．(1)曲线C的一般方程为，直线的普通方程为

(2)

(1)曲线C的直角坐标方程为，化简得：直线即直线的直角坐标方程为，点在直线上.

(2)直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为，

将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，

设两根为，