2022届陕西省延安市子长市中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2022届陕西省延安市子长市中学高三上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．在复平面内，复数满足，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算直接计算即可.

【详解】，故选：A.

2．设全集为实数集，集含，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的交、补运算，求即可.

【详解】由题设，，

∴.

故选：C

3．已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A．9 B．17 C．7 D．21

【答案】B

【分析】根据已知条件进行向量的减法运算，再利用向量垂直的坐标表示，计算即得结果.

【详解】根据题意得，因为，

所以，得.

故选：B.

4．已知命题，则命题的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得答案.注意“一改量词，二改结论”.

【详解】命题的否定:.

故选:D

5．若为第三象限角，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于A，举例判断，对于B，根据正切函数的性质判断，对于CD，利用诱导公式化简后判断.

【详解】对于A，由为第三象限角，则当，，所以A错误，

对于B，当为第三象限角时，，所以B错误，

对于C，因为为第三象限角，所以，所以C错误，

对于D，因为为第三象限角，所以，所以D正确，

故选：D.

6．直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（    ）

A．相交 B．平行

C．异面 D．以上都有可能

【答案】D

【分析】借助长方体模型可判断直线与直线的位置关系.

【详解】如下图所示：

在长方体中，将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线相交；

将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线平行；

将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线异面.

综上所述，直线与直线相交、平行或异面.

故选：D.

7．已知公比为的等比数列的首项，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据等比数列的性质可得，若，可得，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．

【详解】由于公比为的等比数列的首项，

所以，

若，则，所以，即或，

所以公比为的等比数列的首项，

则“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

8．国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为，则下列数中最接近数值的是（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用对数的运算法则计算后可得．

【详解】，，

因此最接近于．

故选：D．

9．在抗疫期间，某单位安排4名员工到甲､乙､丙三个小区担任志愿者协助体温检测工作，每个小区至少安排1名员工，每名员工都要担任志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．18种 B．24种 C．36种 D．72种

【答案】C

【分析】利用分步计数方式，首先挑选2人作为一组，剩下的2人各自成组，再将3组人安排到甲乙丙三个小区，即可求出不同的安排方法.

【详解】1、选2名员工分到一个小区：种方法，

2、将它们看作3组安排到甲乙丙小区，有种安排方法，

∴不同的安排方法共有种.

故选：C

10．在极坐标系中，直线与圆相切，则等于（    ）

A． B． C． D．6

【答案】C

【分析】将直线和圆转化成标准方程，由圆心到直线距离等于半径可求.

【详解】直线的标准方程为，圆的标准方程为，

因为直线和圆相切，所以，解得，

因为，所以.

故选：C

11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿､欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用分离常数法整理函数，利用不等式性质，可得函数的值域，由题意，可得答案.

【详解】函数，由，，，，，即，

当时，，当时，，故的值域为，

故选：B.

12．定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时，方程的解的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】A

【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及，分析可得的图象关于原点对称且关于直线对称，由时的函数解析式即可画出函数在的图象，将方程的解的个数，转化为求函数与函数的交点问题，数形结合可得答案．

【详解】解：根据题意，为奇函数，则的图象关于原点对称，又由，则的图象关于直线对称，因为当时，，故可画函数在的图象如下，

所求方程在的解的个数，

等价于函数与函数的交点个数，

由图可知函数与函数在上有个交点，

故方程在上有个解，

故选：

【点睛】本题考查函数的奇偶性与对称性，函数方程思想，数形结合思想，属于中档题.

二、填空题

13．设且，函数，若，则的值为________．

【答案】

【分析】根据函数的解析式以及已知条件可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.

【详解】因为，且，则.

故答案为：.

14．已知集合，若，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】根据可得：，然后根据集合的包含关系列出不等式，解之即可求解.

【详解】因为，则有，

又集合，

所以，

故答案为：.

15．在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道两端的两点，到某一点的距离，再测出的大小.现已测得约为，约为，且（如图所示），则，两点之间的距离约为______.（结果四舍五入保留整数）

【答案】3

【分析】利用余弦定理即可求解.

【详解】因为，，则由余弦定理可知，解得，即，又因为，四舍五入为.

故答案为：

16．把函数的图象向左平移()个单位长度后，所得图象对应的函数在上单调递增，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】作出f(x)的图象，根据f(x)单调性即可和函数图象的平移即可求解．

【详解】函数的图象如图：

f(x)图象关于x＝1对称，在x＜1时单调递减，x＞1时单调递增，

将f(x)的图象向左平移t(t＞0)个单位得到g(x)图象，

要使g(x)图象在上单调递增，则t≥1．

故答案为：

三、解答题

17．某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片､动画影片､纪录影片的时长（单位：分钟）情况如图所示.

(1)从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；

(2)将2011年至2020年生产的科教影片､动画影片､纪录影片时长的方差分别记为，试分析哪种影片时长的方差最大.（不用计算，简要说明理由）

【答案】(1)

(2)科教影片时长的波动最大，方差最大

【分析】（1）利用列举法，根据古典概型概率计算公式，可得答案；

（2）根据方差的作用，结合图象数据的波动情况，可得答案.

【详解】（1）从2011年至2020年中，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年，2015年，2017年，2018年，2019年和2020年，共6年，

从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率.

（2）从图中可以看出，科教影片时长的波动最大，方差最大.·

18．如图，在长方体中，，，点在线段上，且.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据长方体的性质及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理即可求解；

（2）根据已知条件建立空间直线坐标系，写出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，向量夹角公式与二面角的关系即可求解.

【详解】（1）在长方体中，底面，

又平面，

所以，

又，且，平面，

所以平面.

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

则，，，

在长方体中，底面，

所以平面的一个法向量为，

由（1）可知，平面，

所以平面的一个法向量为，

设平面与平面夹角为，则

所以，

故平面与平面夹角的余弦值为.

19．已知等差数列的前项和为，，再从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.

条件①：；条件②：；条件③：.

(1)求数列的通项公式；

(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①②，则，解出，则可求得；若选②③，则解出，则可求得；若选①③，则，解出，则可求得；

（2）由（1）得，，从而可求出公比和，则可得，然后利用分组求和法可求得.

【详解】（1）选①②，由已知，，

得，解得，

∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，

∴数列的通项公式为.

选②③，由已知，，

得，解得，

∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，

∴数列的通项公式为.

选①③，由已知，，

得，解得，

∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，

∴数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，∴，，

∴等比数列的公比，故，

∴等比数列的通项公式为，

∴数列的前项和

.

20．如图，已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（2，m）到焦点F的距离为3，直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1＞0，y2＜0，•12（O为坐标原点）．

(1)求抛物线的方程；

(2)求证：直线l过定点．

【答案】(1)y2＝4x

(2)证明见解析

【分析】（1）由抛物线定义可得p，然后得抛物线方程；

（2）设直线方程联立抛物线方程，利用韦达定理将向量数量积坐标化可得直线参数，然后可证.

【详解】（1）由抛物线定义可得23，解得p＝2，

所以抛物线的方程为：y2＝4x；

（2）证明：显然直线斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+t，t＞0，

联立，整理可得：y2﹣4my﹣4t＝0，

可得：y1y2＝﹣4t，x1x2t2，

所以x1x2+y1y2＝t2﹣4t＝12，t＞0，

解得t＝6，

所以直线l的方程为：x＝my+6，

所以直线恒过定点（6，0）．

21．已知函数，（）.

（Ⅰ）若函数是偶函数，求；

（Ⅱ）若函数存在两个零点，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义列方程即可求解；

（Ⅱ），若时，不符合题意；当时，写成分段函数的形式，判断单调性，得出有两个零点的条件即可求解.

【详解】（Ⅰ）为偶函数，

则，即，

可得，所以

可得对于恒成立，所以，

（Ⅱ），

若时，在上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；

当时，，

则在单调递减，在单调递增，

所以，

当时，，所以，可得，

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)设点，直线与曲线的交点为，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的等量转换，整理方程，可得答案；

（2）根据直线参数方程的定义，联立方程，整理一元二次方程，写韦达定理，可得答案.

【详解】（1）曲线的极坐标方程为，

根据，则，，

转换为直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：中，

得，

设，所对应的参数分别为，，则，，

.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)设函数，若对任意都成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入，解含绝对值的不等式即可；

（2）由题得对任意都成立，即的最小值大于或等于3，利用绝对值三角不等式求的最小值，令其大于或等于3，解不等式.

【详解】（1）当时，，

则，即，解得，

不等式的解集为.

（2）对任意都成立，

即对任意都成立，

又，故，

或，解得或，

故实数的取值范围为.