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陕西省延安市子长市中学2020-2021学年高二上学期期末理科数学试题
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这是一份陕西省延安市子长市中学2020-2021学年高二上学期期末理科数学试题，共7页。试卷主要包含了已知命题，不等式的解集是，“”是“”的，已知数列的前项和，则等内容，欢迎下载使用。
子长市中学2020～2021学年度第一学期期末试题
高二数学（理科）
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“”的否定为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知命题：若，则；命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知数列的前项和，则（ ）
A．48 B．32 C．24 D．8
9．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
11．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
12．双曲线的一个焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知空间向量，且，则实数______________．
14．已知满足约束条件则的最小值为______________．
15．已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点坐标为______________．
16．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，那么______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，解关于的不等式．
18．（本小题满分12分）
在中，分别是内角的对边，且．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知等比数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴，点在抛物线上．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）斜率为的直线过定点，与抛物线相交所得弦长为8，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
如图，在长方体中，．请用空间向量知识解答下列问题：
（Ⅰ）求证：当点在棱上移动时，始终有；
（Ⅱ）点在棱上移动，当平面平面时，求的长．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），且，求直线的斜率的值．
子长市中学2020～2021学年度第一学期期末试题
高二数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．B 7．C 8．C 9．B 10．A 11．D 12．D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．2 14． 15． 16．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（Ⅰ）当时，．
不等式即为，解得．
∴不等式的解集为．
（Ⅱ）不等式，即，
即，
故当时，不等式的解集为或．
18．解：（Ⅰ）由正弦定理可得．
∵，∴，
∴，又，∴．
（Ⅱ）∵，
∴．
又∵，
∴．
19．解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由已知，得，解得．
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
∴．
∴
20．解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，又点在抛物线上，
∴，得．
∴抛物线的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去得，
则，
弦长，
解得，得．
∴直线方程为或．
21．解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设，则．
（Ⅰ）证明：∵，
∴．
∴，即．
（Ⅱ）设平面的法向量为，平面的法向量为，
∵，
∴即取，则．
∵，
∴即取，则．
∵平面平面，则，
即．
∴，解得．
故当平面平面时，的长为1．
22．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，
由解得
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意得直线的方程为，
联立，整理得，
则．∴．
∵，点位于轴上方，
∴．∴．
∴，解得或（舍）．∴．
子长市中学2020～2021学年度第一学期期末试题
高二数学（理科）
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“”的否定为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知命题：若，则；命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知数列的前项和，则（ ）
A．48 B．32 C．24 D．8
9．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
11．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
12．双曲线的一个焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知空间向量，且，则实数______________．
14．已知满足约束条件则的最小值为______________．
15．已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点坐标为______________．
16．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，那么______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，解关于的不等式．
18．（本小题满分12分）
在中，分别是内角的对边，且．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知等比数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴，点在抛物线上．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）斜率为的直线过定点，与抛物线相交所得弦长为8，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
如图，在长方体中，．请用空间向量知识解答下列问题：
（Ⅰ）求证：当点在棱上移动时，始终有；
（Ⅱ）点在棱上移动，当平面平面时，求的长．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），且，求直线的斜率的值．
子长市中学2020～2021学年度第一学期期末试题
高二数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．B 7．C 8．C 9．B 10．A 11．D 12．D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．2 14． 15． 16．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（Ⅰ）当时，．
不等式即为，解得．
∴不等式的解集为．
（Ⅱ）不等式，即，
即，
故当时，不等式的解集为或．
18．解：（Ⅰ）由正弦定理可得．
∵，∴，
∴，又，∴．
（Ⅱ）∵，
∴．
又∵，
∴．
19．解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由已知，得，解得．
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
∴．
∴
20．解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，又点在抛物线上，
∴，得．
∴抛物线的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去得，
则，
弦长，
解得，得．
∴直线方程为或．
21．解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设，则．
（Ⅰ）证明：∵，
∴．
∴，即．
（Ⅱ）设平面的法向量为，平面的法向量为，
∵，
∴即取，则．
∵，
∴即取，则．
∵平面平面，则，
即．
∴，解得．
故当平面平面时，的长为1．
22．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，
由解得
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意得直线的方程为，
联立，整理得，
则．∴．
∵，点位于轴上方，
∴．∴．
∴，解得或（舍）．∴．
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