2022届陕西省延安市子长市中学高三上学期期中数学（文）试题（解析版）

2022届陕西省延安市子长市中学高三上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据集合的交集运算即可求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：A

2．已知，且，那么（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】A

【分析】根据复数得乘除运算将化简，再根据复数相等得定义即可得出答案.

【详解】解：，

所以，解得.

故选：A.

3．若，下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断可得；

【详解】解：对于A、C：因为，所以，所以，故A错误，C错误；

对于B：因为，所以，故B错误；

对于D：因为，所以，所以，即，故D正确；

故选：D

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.

【详解】推不出（举例，），

而,

“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

5．函数在上的图象大致为（    ）

A．    B．  C．    D．  

【答案】C

【解析】根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解.

【详解】由可知函数为奇函数.

所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；

当时，，

，排除选项D，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

6．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由等差数列片段和性质可构造方程求得结果.

【详解】由等差数列性质知：，，成等差数列，

，即，解得：.

故选：C.

7．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案.

【详解】由题意得的定义域为，设，

根据二次函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减，

又因为在为增函数，

根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为.

故选：D

8．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】函数的图象向右平移个单位长度，得到，再利用三角函数的图象的对称性，可得答案．

【详解】函数的图象向右平移个单位长度，

所得函数图象的解析式为，

令，得．

令k＝0，则，

即平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是.

故选：A

9．若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（    ）

A．9 B．8 C．6 D．3

【答案】C

【分析】根据式子结构，利用基本不等式中“1的代换进行求解即可.”

【详解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴，

∴x+y=（x+y）=5+当且仅当x=2y时，等号成立，此时x=6，y=3.

故选：C.

10．已知，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将已知条件转化为：，分别作出函数和的图象，利用函数图象即可求解.

【详解】由题意知：，可得：

，

分别作出函数和的图象，如图所示：

结合图象，可得，

故选：A.

11．已知数列的前项和为，且，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据，由求解.

【详解】因为，

所以当时， ，

当 时 ，

又适合上式，

所以，

所以当时，取得最小值1，

故选：A.

12．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，结合题意讨论单调性即可求解.

【详解】当时，令

所以，

所以在时单调递增，

对于A，由以上结论得即

即，故A正确；

对于B，由以上结论得即

即，故B错误；

对于C，因为，

故只用判断，

由A选项知，

但无法判断是否成立，故C错误；

对于D，只用判断是否成立，

根据题设条件，无法判断是否成立，故D错误.

故选:A.

二、填空题

13．若，则与的夹角为__________.

【答案】

【分析】根据数量积的定义结合已知计算即可.

【详解】解：因为，

所以，

又因，

所以与的夹角为.

故答案为：.

14．已知函数，则＝_____．

【答案】π

【分析】求出函数的导函数，再借助诱导公式求三角函数值即可.

【详解】由求导得：，

于是得，

所以.

故答案为：π

15．若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由此可求得答案.

【详解】解：因为函数，则，

所以当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，

所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，

因为直线与函数的图象有三个交点，所以实数a的取值范围是，

故答案为：.

16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问此人最后一天走了______里．

【答案】4

【分析】根据题意确定每天走的路程构成等比数列，从而利用等比数列的前项和公式与通项公式即可得解.

【详解】依题意，设第天走的路程为里，则有，

所以是以的等比数列，故，

解得，

所以此人最后一天走了里.

故答案为：4.

三、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，，求bc的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后化简可求出角A的大小；

（2）利用余弦定理结合已知条件可求得结果.

【详解】（1）根据正弦定理及已知可得．

∵，

∴．∴．

∵，∴，

∴．

（2）根据余弦定理得，

∵，∴．

18．如图，四棱锥中，底面为平行四边形.，，，底面.

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据勾股定理得到，根据底面得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，然后利用体积公式求体积即可.

【详解】（1）∵，，，

∴，故，

∵底面，底面，

∴，

又，平面，平面，

∴平面.

（2），

∵底面，

∴.

19．我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能.常见的口罩有KN90和KN95两种.某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分不低于85分为合格，低于85分为次品，从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下表：

(1)试分别估计两种口罩的合格率；

(2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品，则亏损2元.将频率视为概率，求生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于8元的概率.

【答案】(1)，

(2).

【分析】（1）评分在范围内视为合格，由表中可计算出合格的数量，除以样品数100，即可求出合格率；

（2）由（1）可知两种盈利或亏损的概率，根据题意可得，利润和不少于8元只有一种可能性，是KN90和KN95均合格，通过概率公式即可求得利润和不少于8元的概率.

【详解】（1）解：由题意知，生产口罩的合格率为，

生产KN95口罩的合格率为.

（2）解：设为生产一个口罩和生产一个KN95口罩所得利润和，

利润和不少于8元只有一种可能性，是KN90和KN95均合格，

则，其他情况利润和是小于8元的，

，

故生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于8元的概率为.

20．已知椭圆：的离心率为，椭圆上的一点到两焦点的距离之和等于

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线：交椭圆于不同的两点，，且，为坐标原点，求实数的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆定义可知，结合离心率可求得，利用求得，进而整理即可；

（2）联立直线方程和椭圆方程可得，且，结合韦达定理可知和，根据，代入计算即可.

【详解】（1）由椭圆的定义可得，故，

由，可得，

则，

∴椭圆的方程为

（2）将直线：代入椭圆方程，可得

∴，，

由，解得

由，得，

即

可得，解得

21．已知函数，其中.

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；

（2）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出代入等于可得的值；

（2）求出，转化为，令，求最大值可得答案.

【详解】（1）由题可知，

则，解得.

（2）∵在上是增函数，

∴对恒成立，∴，

令，

则由得，

当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，

故只需，故的取值范围是.

22．已知曲线（为参数），（为参数）.

（1）求，的普通方程；

（2）若上的点对应的参数为，上的点对应的参数，求.

【答案】（1）：，：；（2）；

【分析】（1）消去参数得到曲线的普通方程；

（2）直接将所对应的参数代入参数方程，求出、两点的坐标，再根据两点的距离公式计算可得；

【详解】解：（1）曲线（为参数），

曲线的普通方程为：，

（为参数）.

曲线的普通方程为．

（2）因为曲线（为参数），对应的参数为，所以；

（为参数），点对应的参数，所以，所以

23．已知函数的定义域为R．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)或；(2)

【分析】(1)把a=5代入原不等式，根据不同的定义域有不同的不等式，解出不等式即可；

(2)由绝对值不等式的性质可得，将问题转化为，解出不等式即可.

【详解】解：（1）当时，.

当时，由，得，解得；

当时，由，得，此时不等式无解；

当时，由，得，解得.

综上，当时，不等式的解集为或.

（2）∵，

∴不等式恒成立，等价于.

∴或（经检验符合题意）.

∴实数a的取值范围为.