数学九年级下册1 二次函数单元测试复习练习题

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2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.12二次函数单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，其中选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【解析】∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
2．（2020•黄石）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解析】∵二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1），
∴抛物线的对称轴直线x满足5＜2x+1＜6，即2＜x＜2.5，抛物线的开口向上，
∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
∵D（2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），
则y2＜y1＜y3，
故选：D．
3．（2020•瓯海区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x
……
﹣1
1
2
4
5
……
y
……
m
1
p
n
m
……
则m与n的大小关系正确的是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m≥n
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和函数图象的开口方向，再根据m、n的对应的x的值，即可得到m、n的大小，本题得以解决．
【解析】由表格可得，
二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x=-1+52=2，该函数的图象开口向上，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵2＜4＜5，
∴m＞n，
故选：A．
4．（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
5．（2018秋•文登区期中）若|m+3|+n-2=0，点P（m，n）关于x轴的对称点P′为二次函数图象顶点，则二次函数的解析式为（　　）
A．y=12（x﹣3）2+2 B．y=12（x+3）2﹣2
C．y=12（x﹣3）2﹣2 D．y=12（x+3）2+2
【分析】利用非负数的性质确定出m与n的值，利用对称性质，以及二次函数性质判断即可．
【解析】∵|m+3|+n-2=0，
∴m＝﹣3，n＝2，即P（﹣3，2），
关于x轴对称点P′的坐标为（﹣3，﹣2），
则以P′为顶点的二次函数解析式为y=12（x+3）2﹣2，
故选：B．
6．（2019秋•福州期末）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（　　）
A．11℃ B．27℃ C．35℃ D．36℃
【分析】首先确定二次函数的最大值，然后结合自变量的取值范围确定答案即可．
【解析】∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，
∴当t＝5时有最大值36℃，
∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，
故选：D．
7．（2020春•建华区期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：
①ac＜0；②a+b＝0；③b＜a+c；④4c＝4+a，
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用对称轴方程得到-b2a=12，则可对②进行判断；根据图象得到抛物线与x轴的负半轴的交点到原点的距离小于1，则x＝﹣1时，y＜0，原式可对③进行判断；利用顶点坐标公式得到4ac-b24a=1，然后把b＝﹣a代入得4c﹣a＝4，则可对④进行判断．
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（12，1），
∴抛物线得对称轴为直线x=-b2a=12，
∴b＝﹣a，即a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与x轴的负半轴的交点到原点的距离小于1，
∴x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，即b＞a+c，所以③错误；
∵抛物线的顶点的纵坐标为1，
∴4ac-b24a=1，
把b＝﹣a代入得4c﹣a＝4，所以④正确．
故选：C．
8．（2019•碑林区校级模拟）已知两点A（﹣3，y1）、B（5，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　）
A．x0＞﹣3 B．x0≥5 C．1＜x0≤5 D．x0＞1
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得x0的取值范围，本题得以解决．
【解析】∵两点A（﹣3，y1）、B（5，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，
∴x0＞-3+52，
即x0＞1
故选：D．
9．（2019秋•北京期末）小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（　　）
x（分）
…
13.5
14.7
16.0
…
y（米）
…
156.25
159.85
158.33
…

A．32分 B．30分 C．15分 D．13分
【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此不难找到答案．
【解析】最值在自变量大于13.5小于14.7之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是15×2＝30分钟．
故选：B．
10．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知二次函数y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），下列说法中：①m≠﹣1；②该函数图象过定点（1，﹣1）；③若该函数图象开口向下，则m的取值范围为﹣2＜m＜﹣1；④当m＞0，且﹣2≤x≤﹣1时，y的最大值为：9m+3；⑤当m＞﹣1，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2时，m的取值范围为：-29＜m＜14．正确是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②③⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】①函数为二次函数，故m+1≠0，故m≠﹣1，正确；
②当x＝1时，y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2＝﹣1，正确；
③该函数图象开口向下，且与x轴有两个交点，故m+1＜0，△＝（﹣2m）2﹣4（m+1）（m﹣2）＞0，解得：﹣2＜m＜﹣1，故③正确；
④函数的对称轴为-b2a=mm+1，当m＞0时，-b2a＞0，故函数在x＝﹣2时，取得最大值，当x＝﹣2时，y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2＝9m+2，故④错误；
⑤由﹣2＜x1＜﹣1知，当x＝﹣2和x＝﹣1函数值异号，当x＝﹣2时，y＝9m+2，当x＝﹣1时，y＝4m﹣1，故（9m+2）（4m﹣1）＜0，故m的取值范围为：-29＜m＜14，正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•利辛县模拟）如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是　m≠1　．
【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．
【解析】∵函数y＝（m﹣1）x2+x（m为常数）是二次函数，
∴m﹣1≠0，解得：m≠1，
故答案为：m≠1．
12．（2020•扬中市模拟）已知点A（0，2）与点B（2，4）的坐标，抛物线y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，则a的取值范围是　19≤a≤3　．
【分析】根据抛物线的关系式可得出抛物线的顶点坐标、对称轴，由过点A、点B可求出此时的a的值，再根据抛物线的开口与a的关系确定a的取值范围．
【解析】∵抛物线y＝ax2﹣6ax+9a+1＝a（x﹣3）2+1，如图，
∴顶点坐标为（3，1），对称轴为x＝3，
当抛物线过点A时，即2＝9a+1，解得，a=19，
当抛物线过点B时，即4＝a+1，解得，a＝3，
又∵抛物线当|a|越大，开口越小，
∴a的取值范围为19≤a≤3，
故答案为：19≤a≤3．

13．（2019秋•巴南区校级月考）汽车在高速公路刹车后滑行的距离y（米）与行驶的时间x（秒）的函数关系式是y＝﹣3x2+36x，汽车刹车后，会继续向前滑行直至静止，那么汽车静止前2秒内滑行的距离是　12　米．
【分析】求出滑行的最大时间，进而求解．
【解析】y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∴x＝6（秒）时，汽车静止，此时滑行了108（米），
故当x＝4（秒）时，y＝﹣3x2+36x＝96（米），
故汽车静止前2秒内滑行的距离是108﹣96＝12（米），
故答案为12．
14．（2020•长春模拟）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为　102　m．

【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大抛物线的解析式，然后令y＝3，求出相应的x的值，即可得到当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度．
【解析】如右图所示，
点C为抛物线顶点，坐标为（0，6），则点A的坐标为（﹣10，0），点B的坐标为（10，0），
设抛物线ACB的函数解析式为y＝ax2+6，
∵点A在此抛物线上，
∴0＝a×102+6，
解得，a=-350，
即抛物线ACB的函数解析式为y=-350x2+6，
当y＝3时，3=-350x2+6，
解得，x=±52，
∴当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：52-（﹣52）＝102（m），
故答案为：102．

15．（2019秋•海淀区校级月考）无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为　a＜-54　．
【分析】无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，即：抛物线位于x轴上方，与x轴无交点，也就是△＜0．
【解析】无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，
∴抛物线位于x轴上方，即：（2a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0
解得：a＜-54，
故答案为：a＜-54，
16．（2020•宁津县一模）如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：
①abc＞0；
②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；
③m+n＝1；
④m＜﹣1；
⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．
其中，正确的结论有　①③　．（写出所有正确结论的番号）

【分析】由图象分别求出a＞0，c＝﹣2，b＝﹣a＜0，则函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2，则对称轴x=12，由开口向上的函数的图象开口与a的关系可得：当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，依据这个性质判断m的取值情况．
【解析】由图象可知，a＞0，c＝﹣2，
∵对称轴x=-b2a=12，
∴b＝﹣a＜0，
∴abc＞0；
∴①正确；
A、B两点关于x=12对称，
∴m+n＝1，
∴③正确；
a＞0时，当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，
则AB的距离变小，
∴⑤不正确；
若m＜﹣1，n＞2，
由图象可知n＞1，
∴④不正确；
当a＝1时，对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，
当a＞1时，函数开口变小，则有m＞﹣1的时候，
∴②不正确；
故答案①③．
17．（2020•泰安）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
下列结论：
①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　①③④　．（把所有正确结论的序号都填上）
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．
【解析】将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c得，
16a-4b+c=0c=-44a+2b+c=6，解得，a=1b=3c=-4，
∴抛物线的关系式为y＝x2+3x﹣4，
a＝1＞0，因此①正确；
对称轴为x=-32，即当x=-32时，函数的值最小，因此②不正确；
把（﹣8，y1）（8，y2）代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；
方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方程x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；
正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
18．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　1800　元．

【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用分类讨论的方法，可以求得最大日销售利润，从而可以解答本题．
【解析】设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•朝阳区校级期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当‑4＜x＜1时，直接写出y的取值范围．

【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x＝﹣4、1时的函数值即可写出y的取值范围．
【解析】（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；

（2）如图所示：


（3）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
当x＝1时，y＝0，
又对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是4≤y＜5．
20．（2019秋•襄州区期中）如图，矩形ABCD的两边长AB＝16cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x（秒），设△BPQ的面积为ycm2．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当△BPQ面积有最大值时，求x的值．

【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解析】（1）∵S△PBQ=12PB•BQ，PB＝AB﹣AP＝16﹣2x，BQ＝x，
∴y=12（16﹣2x）x，
即y＝﹣x2+8x（0＜x≤4）；

（2）由（1）知：y＝﹣x2+8x，
∴y＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，y有最大值，
即△BPQ面积有最大值时，x的值为4．
21．（2019秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

【分析】（1）根据平移点的坐标的不变规律，得出答案，
（2）利用抛物线的对称轴的计算方法x=-b2a求得即可，
（3）结合图象，分两种情况，第1种为顶点在BC上，即顶点（1，4），第2种为与y轴的交点在（0，4）以上，抛物线与线段BC恰有一个公共点，
【解析】（1）根据平移规律，向右平移5个单位，其纵坐标不变，横坐标加5，因此C（5，4），
（2）由抛物线的对称轴的计算方法得：x=--2a2a=1，
（3）如图所示：①当抛物线的顶点在线段BC上时，顶点（1，4），即：4a×(-3a)-(-2a)24a=4，解得：a＝﹣1，
②当抛物线与y轴交点在（0，4）以上，即：﹣3a＞4，解得：a＜-43，
综上所述：a＜-43或a=-1

22．（2019秋•庐阳区校级期中）如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线
所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB．

【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特点确定二次函数的解析式；
（2）根据（1）中求得的二次函数解析式即可求解．
【解析】（1）根据题意，得
A（0，9），顶点M（1，12），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，
把A（0，9）代入，得
a＝﹣3，
所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．
答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．
（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9
解得x1＝3，x2＝﹣1
所以B（3，0）．
答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．
23．（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则20-x0.5为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；
（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【解析】（1）由题意得：y＝80+20×20-x0.5，
∴y＝﹣40x+880（x＞16）；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
24．（2020•泰安二模）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y＝0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．
【解析】（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，
∴A（﹣1，0）B（3，0），
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1；

（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），
E（x，x2﹣2x﹣3），
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x-12）2+94，
∴当x=12时，PE的最大值=94，
则△ACE的面积的最大值是：12×【2﹣（﹣1）】×94=278；

（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+7，0），F4（4-7，0），

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；

②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4+7，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+7，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4-7，0）．
总之，符合条件的F点共有4个．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8）．
（1）当t为多少秒时，四边形DPEF为正方形，此时正方形的边长是多少？
（2）当t为何值时，S1+S2的面积最大，最大面积是多少？

【分析】（1）根据正方形的性质得出82-2t=2t，解得即可．
（2）利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后确定最值即可．
【解析】（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝82cm，PE＝AP，
又∵AP=2t，
∵四边形DPEF为正方形，
∴PD＝PE＝AP＝82-2t，
∴82-2t=2t，
解得t＝4，
∴PE＝AP＝42，
∴当t＝4时，四边形DPEF为正方形，此时正方形的边长是42；
（2）∵AD＝BD＝CD＝82cm，AP=2t，
∴S1=12AP•BD=12×82×2t＝8t，PD＝82-2t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴PEDC=APAD，
∴PE＝AP=2t，
∴S2＝PD•PE＝（82-2t）•2t，
∴S1+S2＝8t+（82-2t）•2t＝﹣2（t﹣6）2+72．
∴当t＝6时，S1+S2的面积最大，最大面积为72．
26．已知抛物线y＝ax2+bx．
（1）若将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y＝2x2，求a，b的值．
（2）当a=12，b＝0时，设该抛物线为G．若抛物线G平移后得到的抛物线M经过点A（﹣6，0），0（0，0），且抛物线M的顶点为P．
①求顶点P的坐标；
②写出平移过程．
（3）已知b＝0，E（1，1），F（2，2），如果抛物线y＝ax2+bx与线段EF没有公共点，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）y＝2x2，向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得：y＝2（x﹣1）2﹣2＝2x2﹣4x，即可求解；
（2）M经过点A（﹣6，0），0（0，0），则设：抛物线M的表达式为：y=12x2+bx，将（﹣6，0）代入上式，即可求解；
（3）分a＜0、a＞0时，两种情况分别求解即可．
【解析】（1）y＝2x2，向右平移1个单位长度，
再向下平移2个单位长度得：y＝2（x﹣1）2﹣2＝2x2﹣4x，
故a＝2，b＝﹣4；

（2）当a=12，b＝0时，抛物线为G的表达式为：y=12x2，
①M经过点A（﹣6，0），0（0，0），则设：抛物线M的表达式为：y=12x2+bx，
将（﹣6，0）代入上式并解得：b＝3，
故抛物线M的表达式为：y=12x2+3x，顶点P坐标为：（﹣3，-92）；
②抛物线G向左平移3个单位，向下平移92个单位得到抛物线M；

（3）b＝0时，抛物线的表达式为：y＝ax2，
①当a＜0时，抛物线与FE没有公共点；
②当a＞0时，抛物线与FE没有公共点的临界点为抛物线过点E或F，
当抛物线过点E时，1＝a，即：a＝1；
当抛物线过点F时，2＝4a，a=12；
故：a＞1或a＜12，即：a＞1或0＜a＜12，
综上，a的取值范围为：a＞1或a＜12．