2022-2023学年辽宁省盘锦市兴隆台区育才学校九年级（上）第二次质检数学试卷(解析版)

2022-2023学年辽宁省盘锦市兴隆台区育才学校九年级（上）第二次质检数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 年月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列事件中适合采用抽样调查的是(    )

A. 对乘坐飞机的乘客进行安检
B. 对“天宫号”零部件的检查
C. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D. 对端午节期间市面上粽子质量情况的调查

5. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，是的直径，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨面料下方能够把面料撑起来的支架末端各点所在圆的直径长为分米，伞骨长为分米，那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料为平方分米．(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是(    )
    

A.
B.
C.
D.

9. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，正确的个数是(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，，于点点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 分解因式： ______ ．
12. 在平面直角坐标系中，已知，，，若线段与互相平分，则点关于坐标原点的对称点的坐标为______ ．
13. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．
14. 把二次函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是_________________。
15. 鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，设每只病鸡传染健康鸡的只数为只，则可列方程为______．
16. 如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为______．

17. 如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是______．

18. 如图，在单位长度为米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从为坐标原点出发，以每秒子米的速度沿曲线向右运动，则在第秒时点的坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19. 先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共7小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为个等级：，，，，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
    
    请你根据统计图的信息，解决下列问题：
    本次共调查了______名学生；
    在扇形统计图中，若等级所占比例为，则的值为______，等级所对应的扇形的圆心角为
    ______；
    请计算的学生数目并补全条形统计图；
    全校名学生，估计阅读时间不少于小时的学生有多少名？
21. 本小题分
    如图，方格纸中的每个小正方形边长都是个长度单位，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为．
     

先将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，试在图中画出，并写出点的坐标；

再将绕点顺时针旋转后得到，试在图中画出，并计算在上述旋转过程中点所经过的路径长．

22. 本小题分
    某中学为了创设“书香校园”，准备购买，两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多元，用元购买种书架的个数与用元购买种书架的个数相同．
    求，两种书架的单价各是多少元？
    学校准备购买，两种书架共个，且购买的总费用不超过元，求最多可以购买多少个种书架？
23. 本小题分
    如图，是的直径，点和点是上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
    求证：是的切线；
    若，求阴影部分的面积．

24. 本小题分
    某水果超市以每千克元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于元，经市场调查发现，樱桃的日销售量千克与每千克售价元满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

求与之间的函数关系式；
该超市要想获得的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

25. 本小题分
    如图，正方形和正方形其中，的延长线与直线交于点．
    如图，当点在上时，求证：，；
    将正方形绕点旋转一周．
    如图，当点在直线右侧时，求证：；
    当时，若，，请直接写出线段的长．
     
26. 本小题分
    已知抛物线经过点，，顶点为点，抛物线的对称轴与直线交于点．
    求直线的解析式和抛物线的解析式．
    在抛物线上，两点之间的部分不包含，两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    若点在抛物线上，点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转度后与原图形重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，故选项A计算不正确；
，故选项B计算不正确；
，故选项C计算不正确；
，故选项D计算正确；
故选：．
用同底数幂的乘法法则计算，用合并同类项法则计算，用同底数幂的除法法则计算，用积和幂的乘方法则计算．
本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项及积和幂的乘方法则．题目难度较小，熟练掌握整式的运算法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、对乘坐飞机的乘客进行安检，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
B、对“天宫号”零部件的检查，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，人数较少，应采用全面调查，故此选项不合题意；
D、对端午节期间市面上粽子质量情况的调查，数量众多，具有破坏性，应采用抽样调查，故此选项符合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰直角三角尺，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质，再由等腰直角三角尺的锐角度数都是进行求解即可．
【解答】
解：如图，

，
，
三角形是等腰直角三角尺，
，
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故选B．
根据三角形的内角和定理先求出，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，从而可得出答案．
本题考查了三角形的内角和定理以及圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍．
 

7.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为分米，母线为分米，
圆锥的侧面积．
故选：．
利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相关数值代入即可求解．
此题考查了圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据旋转可得，，得，根据，进而可得的度数．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
【解答】
解：，，
，
将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
，，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质．
根据抛物线开口向下可得，对称轴在轴右侧，得，抛物线与轴正半轴相交，得，进而即可判断；
根据抛物线对称轴是直线，即，可得，进而可以判断；
根据抛物线与轴有个交点，可得，即，进而可以判断；
当时，，即，根据，可得，即可判断．
【解答】
解：根据抛物线开口向下可知：
，
因为对称轴在轴右侧，
所以，
因为抛物线与轴正半轴相交，
所以，
所以，
所以错误；
因为抛物线对称轴是直线，
即，
所以，
所以，
所以正确；
因为，
所以
如果，
那么
因为，
所以，
有题知，
所以错误；
当时，，
即，
因为，
所以，
所以正确．
所以正确的个数是，共个．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，，
于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
点运动的路程为，
，
则，
，
四边形的面积为，
当点从点出发，沿路径运动时，
即时，
，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，
即时，
是的平分线，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．
故选：．
根据中，，，可得，根据于点可得，平分角，点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，分两种情况讨论：根据，，可得四边形是矩形和正方形，设点运动的路程为，四边形的面积为，进而可得能反映与之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，

先提取公因式，然后再运用完全平方式分解因式即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟记完全平方公式结构是解题的关键，要注意分解因式要彻底．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：，，，线段与互相平分，
点坐标为：，
点关于坐标原点的对称点的坐标为：．
故答案为：．
直接利用平行四边形的性质得出点坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及关于原点对称点的性质，正确得出点坐标是解题关键．
 

13.【答案】且 

【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，且，
解得：且．
故答案为：且．
根据方程有两个实数根，得到此方程为一元二次方程且根的判别式大于等于，确定出的范围即可．
此题考查了根的判别式，弄清一元二次方程解的情况与根的判别式的关系是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律，点经过平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移个单位，再向上平移个单位后所得对应点的坐标为，所以平移后得到的抛物线的解析式为．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：每只病鸡传染健康鸡的只数为只，
第一天有只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，
根据题意得：．
故答案为：．
由每只病鸡传染健康鸡的只数为只，可得出第一天有只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，结合“红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有只鸡患有这种病”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接和，
圆半径为，，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：．
连接和，证明为等边三角形，得到的度数，再利用圆周角定理得出．
本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图：连接，

在中，，，，
，
根据旋转不变性可知，，
是的中点，是的中点，
，，
又，即，
的最大值为此时点、、共线，
故答案为：．
连接首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后再依据三角形的三边关系可得到，故此可得到的最大值为．
本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，则，
在中，，米，
米，
米，
的长为米，


米，
点的坐标为，
故答案为：．
根据垂径定理求出，根据弧长公式求出的长，再由路程、速度、时间之间的关系求出移动的路程，再得出次后，点所在的位置，进而求出的长，得出答案．
本题考查垂径定理、勾股定理，理解垂径定理、勾股定理的意义是正确应用的前提．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将的值代入进行计算即可
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，并注意将结果分母有理化．
 

20.【答案】     

【解析】解：本次共调查的学生人数有：名，
故答案为：；
由题意得，，
在扇形统计图中，等级所对的扇形的圆心角为：；
故答案为：；；
等级的人数有：名，
补全统计图如下：

根据题意得：
名，
答：估计阅读时间不少于小时的学生有名．
由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
用等级人数除以样本容量可得的值；用乘以等级人数所占的百分比得出等级所对应的扇形的圆心角度数；
用总人数减去其他等级的人数，求出等级的人数，从而补全统计图；
用总人数乘以每周阅读时间不少于小时的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：如图所示，；
如图所示，
根据勾股定理，，
所以，点所经过的路径长 

【解析】根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；
根据网格结构找出点、、绕点顺时针旋转后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理列式求出的长，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

22.【答案】解：设种书架的单价为元，
根据题意，得．
解得．
经检验：是原分式方程的解．
．
答：种书架单价为元，种书架单价为元．

设准备购买个种书架，根据题意，
得．
解得．
答：最多可购买个种书架． 

【解析】设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据数量总价单价结合用元购买种书架的个数与用元购买种书架的个数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设准备购买个种书架，则购买种书架个，根据题意列出不等式并解答．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，
，
阴影部分的面积． 

【解析】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，过作于，得到，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，推出，得到是的切线；
根据等腰三角形的性质得到，得到，推出是等边三角形，根据扇形的面积公式得到，求得，于是得到结论．
 

24.【答案】解：设，
将、代入，得：，
解得：，
；

由题意得：，
即，
解得：或，
又每千克售价不低于成本，且不高于元，即，
答：该超市要想获得的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为元．

设超市日销售利润为元，
，
，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值为：，
答：当每千克樱桃的售价定为元时日销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用待定系数法求解可得；
根据“日销售利润每千克利润日销售量”可得函数解析式，根据获得的日销售利润列方程解出即可；
将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
 

25.【答案】证明：如图中，

在正方形和正方形中，，，，
≌，
，，
，
，
，
．

证明：如图中，在线段上截取，连接．

由可知，，
，，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
．

解：如图中，当，，三点共线时，连接．

由可知，，且，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得或舍弃．

如图中，当，重合时，，连接．

设，
，
，
在中，，
，
解得或舍弃，
综上所述，满足条件的的值为或． 

【解析】证明≌可得结论．
如图中，在线段上截取，连接证明≌，推出，，推出是等腰直角三角形，即可解决问题．
分两种情形：如图中，当，，三点共线时，连接如图中，当，，三点共线时，连接，分别求解即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

26.【答案】解：设直线的解析式为，
把点，代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
把点，代入抛物线，
得，解得，
抛物线的解析式为．
，
顶点，
设点，，
过点作轴的平行线交直线于点，则，

，
，
，
，
解得或舍去，
存在点，使得．
，，
设点，
当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：
当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，
点在轴上，
，
当时，，
解得或，
点坐标为或；
当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，
点在轴上，
，
当时，，
方程无解，舍去；
当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，
点在轴上，
，
当时，，
解得或，
点坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或． 

【解析】此题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数表达式，还考查了坐标系中三角形的面积计算，平行四边形性质以及分类讨论思想．合理的分类讨论来表示出点的坐标是解决问的关键．
把点，的坐标分别代入一次函数表达式和二次函数表达式，即可得出直线的解析式和抛物线的解析式；
设点，分别用的代数式表示出和，再根据列出方程，解方程即可得出点的坐标；
设点，分三种情形讨论：当为对角线时；当为对角线时；当为对角线时，根据中点坐标公式求得点的坐标，再根据点在轴上，即可得出点的坐标．