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2023年辽宁省盘锦市兴隆台区中考数学一模试卷
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这是一份2023年辽宁省盘锦市兴隆台区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省盘锦市兴隆台区中考数学一模试卷
一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上.每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中与2互为相反数的是（ ）
A． B．|﹣2| C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C．（﹣1）﹣3＝﹣1 D．（﹣3m）2＝﹣6m2n2
3．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
5．（3分）在一次学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数是（ ）
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.7
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
A．3，4 B．1.70，1.70 C．1.70，1.65 D．1.65，1.70
6．（3分）下列调查中，调查方式选择最合理的是（ ）
A．调查长江的水质情况，采用抽样调查
B．调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查
C．检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查
D．企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查
7．（3分）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（3分）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF＝，则QM+QN的长是（ ）
A．定值 B．定值 C．不确定 D．定值
9．（3分）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是4，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝ ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，设点D（2，a）在正比例函数的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第 象限．
14．（3分）如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率是 ．
15．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+0.5的图象与x轴有交点．则k的取值范围是 ．
16．（3分）若点P的坐标为（，2x﹣10），其中x满足不等式组，则点P的坐标为： ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AB于点D，点E，F分别在边AC，BC上，连接EF．若∠EDF＝90°，AE＝3，BF＝6，则线段EF的长为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan∠BAE＝，BF＝2，则FG＝ ．
三、解答题（共22分）
19．（8分）先化简，再求代数式的值．，其中tan45°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（14分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ，所抽取学生成绩的中位数落在 组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
四、解答题（合计46分）
21．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6，点A的坐标为（n，2），点B的坐标为（a，﹣6）．
（1）请直接写出一次函数的关系式为 ，反比例函数的关系式为 ；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式kx＞﹣b的解集是 ．
22．（12分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DA延长线上一点，且∠CED＝∠CAB．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段CE的长．
24．（12分）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
25．（12分）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
26．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
2023年辽宁省盘锦市兴隆台区中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上.每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中与2互为相反数的是（ ）
A． B．|﹣2| C． D．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
|﹣2|＝2，
＝2，
＝﹣2，
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C．（﹣1）﹣3＝﹣1 D．（﹣3m）2＝﹣6m2n2
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、（﹣1）﹣3＝﹣1，故C符合题意；
D、（﹣3m）2＝9m2，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：该几何体的左视图从左到右看到的正方体分别是2，1，2，
所以该几何体的左视图是：
．
故选：A．
4．（3分）如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
【解答】解：如图．
由题意得：∠B＝60°，∠BAE＝90°，∠C＝45°，∠CAE＝75°．
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣75°＝15°．
∴∠AGF＝∠B+∠BAC＝60°+15°＝75°．
∴∠AGF＝∠C+∠CFG＝45°+∠CFG＝75°．
∴∠CFG＝75°﹣45°＝30°．
∴∠α＝180°﹣∠CFG＝180°﹣30°＝150°．
故选：B．
5．（3分）在一次学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数是（ ）
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.7
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
A．3，4 B．1.70，1.70 C．1.70，1.65 D．1.65，1.70
【解答】解：跳高成绩为1.65的人数最多，故跳高成绩的众数为1.65；
共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70，故中位数为1.70．
故选：C．
6．（3分）下列调查中，调查方式选择最合理的是（ ）
A．调查长江的水质情况，采用抽样调查
B．调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查
C．检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查
D．企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查
【解答】解：A、调查长江的水质情况，适合抽样调查，故本选项符合题意；
B、调查一批飞机零件的合格情况，适合全面调查，故本选项不合题意；
C、检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、企业招聘人员，对应聘人员进行面试，适合全面，故本选项不合题意．
故选：A．
7．（3分）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣130°）＝100°，
∴∠BAC＝80°．
故选：C．
8．（3分）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF＝，则QM+QN的长是（ ）
A．定值 B．定值 C．不确定 D．定值
【解答】解：如图，
设DG＝x，则GF＝GE＝3x，
∴DE＝4x，
在Rt△DFG中，根据勾股定理得，DF＝＝2x，
在Rt△DEF中，EF＝2，
根据勾股定理得，EF2＝DE2+DF2，
∴24＝16x2+8x2，
∴x＝﹣1（舍去）或x＝1，
∴GE＝GF＝3，
连接GQ，过点G作GH⊥EF于H，
∵GE＝GF，
∴EH＝EF＝，
在Rt△EHG中，根据勾股定理得，GH＝＝，
∴S△EFG＝EF•GH＝×2×＝3，
∵QM⊥DE，QN⊥GF，
∴S△EFG＝S△EGQ+S△FGQ
＝GE•QM+GF•QN
＝GE（QM+QN）
＝×3（QM+QN）
＝3，
∴QM+QN＝2，
故选：D．
9．（3分）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是4，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：∵点C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，
∴S△ABD＝S△OBD，
∵点B在双曲线上，BD⊥y轴，S△ABD＝4，
∴，
∴k＝±8，
∵双曲线经过一，三象限，
∴k＝8．
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°，
∴BD＝2AD＝8，
当点P在AD上时，S＝•（8﹣2t）•（4﹣t）•sin60°＝（4﹣t）2（0＜t＜4），
当点P在线段BD上时，S＝（16﹣2t）•（t﹣4）＝﹣t2+6t﹣16（4＜t≤8），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3且x≠0 ．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0．
故答案是：x≥﹣3且x≠0．
12．（3分）分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝ （x﹣y）（a+3）（a﹣3） ．
【解答】解：a2（x﹣y）+9（y﹣x）
＝（x﹣y）（a2﹣9）
＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3），
故答案为：（x﹣y）（a+3）（a﹣3），
13．（3分）在平面直角坐标系中，设点D（2，a）在正比例函数的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第 四 象限．
【解答】解：∵点D（2，a）在正比例函数的图象上，
∴a＝×2＝1，
∴3a﹣5＝3﹣5＝﹣2，
∴点Q坐标为（1，﹣2），位于第四象限，
故答案为：四．
14．（3分）如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率是 ．
【解答】解：连接OC、OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，
∴△OBC和△OCD都为等边三角形，
∴BC＝OC＝CD，∠BCO＝∠COD＝60°，
∴S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD＝＝πr2，
∴在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率＝＝＝．
故答案为：．
15．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+0.5的图象与x轴有交点．则k的取值范围是 k≤5 ．
【解答】解：当k＝3时，y＝（k﹣3）x2+2x+0.5＝2x+0.5，
直线y＝2x+0.5与x轴有一个交点，符合题意，
当k≠3时，令（k﹣3）x2+2x+0.5＝0，
则Δ＝22﹣4×0.5（k﹣3）＝10﹣2k，
∴10﹣2k≥0时，抛物线与x轴有交点，
解得k≤5，
故答案为：k≤5．
16．（3分）若点P的坐标为（，2x﹣10），其中x满足不等式组，则点P的坐标为： （，﹣2） ．
【解答】解：解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
解不等式5x﹣10≥2（x+1），得：x≥4，
∴不等式组的解集为x＝4，
则点P的坐标为（，﹣2）．
故答案为：（，﹣2）．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AB于点D，点E，F分别在边AC，BC上，连接EF．若∠EDF＝90°，AE＝3，BF＝6，则线段EF的长为 3 ．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
延长ED到H点，使DH＝DE，连接BH，FH，如图，
在△BDH和△ADE中，
，
∴△BDH≌△ADE（SAS），
∴BH＝AE＝3，∠DBH＝∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠CBA＝90°，
∴∠CBA+∠DBH＝90°，
即∠FBH＝90°，
在Rt△BHF中，FH＝＝＝3，
∵∠EDF＝90°，
∴FD⊥EH，
而DH＝DE，
即DF垂直平分EH，
∴EF＝FH＝3．
故答案为：3．
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan∠BAE＝，BF＝2，则FG＝ 2 ．
【解答】解：法一、如图，过点E作EH⊥AC于点H，
则△EHC是等腰直角三角形，
设EH＝a，则CH＝a，CE＝a，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，
∴tan∠BAE＝＝，
∴BE＝AB，
∴BE＝CE＝a，
∴AB＝BC＝2a，
∴AC＝4a，AH＝3a，
∴tan∠EAH＝＝，
∵∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠EAH，
∴tan∠BAF＝tan∠EAH＝，
∵BF＝2，
∴AB＝6，BE＝CE＝3，
∴AE＝3，AF＝2，
∴EF＝5，
∵AD∥BC，
∴AD：BE＝AG：GE＝2：1，
∴GE＝，
∵EF：GE＝5：＝：1，
AE：BE＝3：3＝：1，
∠GEF＝∠BEA，
∴EF：GE＝AE：BE，
∴△GEF∽△BEA，
∴∠EGF＝∠ABE＝90°，
∴∠AGF＝90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG＝AF＝2．
法二、在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴∠BAC＝45°，∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠AOB＝∠ABF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAF＝∠OAG，
∴△AOG∽△ABF，
∴AO：AG＝AB：AF，
∵∠EAF＝∠OAB＝45°，
∴△AOB∽△AGF，
∴∠AGF＝∠AOB＝90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG＝AF＝2．
故答案为：2．
三、解答题（共22分）
19．（8分）先化简，再求代数式的值．，其中tan45°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
∵tan45°＞a＞sin30°，
∴a取，
原式＝＝．
20．（14分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 400 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 60 ，所抽取学生成绩的中位数落在 D 组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%＝400（名），
∴B组的人数为：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，20+96+60＝176，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
（2）E组的人数为：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：
（3）3000×＝1680（人），
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（4）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为＝．
四、解答题（合计46分）
21．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6，点A的坐标为（n，2），点B的坐标为（a，﹣6）．
（1）请直接写出一次函数的关系式为 y＝x﹣4 ，反比例函数的关系式为 y＝ ；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式kx＞﹣b的解集是 ﹣2＜x＜0或x＞6 ．
【解答】解：（1）∵AD⊥x轴于点D，
∴AD∥y轴，
∵A（n，2），
∴AD＝2，
∵∠CAD＝45°，
∴∠AFD＝45°，
∴FD＝AD＝2，
连接AO，
∵AD∥y轴，
∴S△AOD＝S△ADC＝AD•OD＝6，
∴OD＝6，
∴A（6，2），
将A（6，2）代入y＝，得m＝12，
∴反比例函数解析式为y＝；
∵点B（a，﹣6）在比例函数解析式为y＝的图象上，
∴﹣6＝，
∴a＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣6），
将点A（6，2），点B（﹣2，﹣6）代入y＝kx+b，可得
，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣4，
故答案为：y＝x﹣4，y＝；
（2）令x＝0，得y＝x﹣4＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
点E是点C关于x轴的对称点，
∴E（0，4），
∴CE＝8，
∴S△ABE＝S△BCE+S△ACE＝CE•|Bx|+CE•|Ax|＝×8×2+×8×6＝32；
（3）根据图象得：不等式kx+b＞，即kx＞﹣b的解集为﹣2＜x＜0或x＞6．
22．（12分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【解答】解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．
根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°，
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，
∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，
∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，
EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），
∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），
∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），
∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．
∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DA延长线上一点，且∠CED＝∠CAB．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段CE的长．
【解答】解：（1）CE与⊙O相切，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵∠CED＝∠CAB，∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）由（1）知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠B＝∠D，tanB＝，
∴tanB＝tanD＝＝，
∴CD＝2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝3，
∴（2CE）2+CE2＝（3）2，
解得CE＝3（负值舍去），
即线段CE的长为3．
24．（12分）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30，
当40＜x≤100时，设y＝kx+b，
把（40，30），（100，15）代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+40，
∴y＝；
（2）设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为（360﹣a）m2，
∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴，
解得30≤a≤90，
当30≤a≤40时，w＝30a+15（360﹣a）＝15a+5400，
∵15＞0，
∴当a＝30时，w最小，最小为15×30+5400＝5850（元），
当40＜a≤90时，w＝a（﹣a+40）+15（360﹣a）＝﹣（a﹣50）2+6025，
∵﹣＜0，对称轴为直线a＝50，且40﹣50＜90﹣50，
∴a＝90时，w取最小值，最小为﹣×（90﹣50）2+6025＝5625（元），
∵5625＜5850，
∴当a＝90时，w取最小值，最小为5625元，
此时360﹣a＝270，
答：甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元．
25．（12分）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
【解答】解：（1）如图，取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴；
（2）取BC的中点H，连接DH，
∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，DH＝AB，
∵AB＝AC，
∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH，
∵BD＝DE，
∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH＝EC，
∴，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∴，
∴；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵＝，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
26．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
2023年辽宁省盘锦市兴隆台区中考数学一模试卷
一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上.每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中与2互为相反数的是（ ）
A． B．|﹣2| C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C．（﹣1）﹣3＝﹣1 D．（﹣3m）2＝﹣6m2n2
3．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
5．（3分）在一次学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数是（ ）
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.7
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
A．3，4 B．1.70，1.70 C．1.70，1.65 D．1.65，1.70
6．（3分）下列调查中，调查方式选择最合理的是（ ）
A．调查长江的水质情况，采用抽样调查
B．调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查
C．检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查
D．企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查
7．（3分）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（3分）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF＝，则QM+QN的长是（ ）
A．定值 B．定值 C．不确定 D．定值
9．（3分）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是4，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝ ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，设点D（2，a）在正比例函数的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第 象限．
14．（3分）如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率是 ．
15．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+0.5的图象与x轴有交点．则k的取值范围是 ．
16．（3分）若点P的坐标为（，2x﹣10），其中x满足不等式组，则点P的坐标为： ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AB于点D，点E，F分别在边AC，BC上，连接EF．若∠EDF＝90°，AE＝3，BF＝6，则线段EF的长为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan∠BAE＝，BF＝2，则FG＝ ．
三、解答题（共22分）
19．（8分）先化简，再求代数式的值．，其中tan45°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（14分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ，所抽取学生成绩的中位数落在 组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
四、解答题（合计46分）
21．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6，点A的坐标为（n，2），点B的坐标为（a，﹣6）．
（1）请直接写出一次函数的关系式为 ，反比例函数的关系式为 ；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式kx＞﹣b的解集是 ．
22．（12分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DA延长线上一点，且∠CED＝∠CAB．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段CE的长．
24．（12分）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
25．（12分）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
26．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
2023年辽宁省盘锦市兴隆台区中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上.每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中与2互为相反数的是（ ）
A． B．|﹣2| C． D．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
|﹣2|＝2，
＝2，
＝﹣2，
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C．（﹣1）﹣3＝﹣1 D．（﹣3m）2＝﹣6m2n2
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、（﹣1）﹣3＝﹣1，故C符合题意；
D、（﹣3m）2＝9m2，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：该几何体的左视图从左到右看到的正方体分别是2，1，2，
所以该几何体的左视图是：
．
故选：A．
4．（3分）如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
【解答】解：如图．
由题意得：∠B＝60°，∠BAE＝90°，∠C＝45°，∠CAE＝75°．
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣75°＝15°．
∴∠AGF＝∠B+∠BAC＝60°+15°＝75°．
∴∠AGF＝∠C+∠CFG＝45°+∠CFG＝75°．
∴∠CFG＝75°﹣45°＝30°．
∴∠α＝180°﹣∠CFG＝180°﹣30°＝150°．
故选：B．
5．（3分）在一次学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数是（ ）
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.7
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
A．3，4 B．1.70，1.70 C．1.70，1.65 D．1.65，1.70
【解答】解：跳高成绩为1.65的人数最多，故跳高成绩的众数为1.65；
共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70，故中位数为1.70．
故选：C．
6．（3分）下列调查中，调查方式选择最合理的是（ ）
A．调查长江的水质情况，采用抽样调查
B．调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查
C．检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查
D．企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查
【解答】解：A、调查长江的水质情况，适合抽样调查，故本选项符合题意；
B、调查一批飞机零件的合格情况，适合全面调查，故本选项不合题意；
C、检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、企业招聘人员，对应聘人员进行面试，适合全面，故本选项不合题意．
故选：A．
7．（3分）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣130°）＝100°，
∴∠BAC＝80°．
故选：C．
8．（3分）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF＝，则QM+QN的长是（ ）
A．定值 B．定值 C．不确定 D．定值
【解答】解：如图，
设DG＝x，则GF＝GE＝3x，
∴DE＝4x，
在Rt△DFG中，根据勾股定理得，DF＝＝2x，
在Rt△DEF中，EF＝2，
根据勾股定理得，EF2＝DE2+DF2，
∴24＝16x2+8x2，
∴x＝﹣1（舍去）或x＝1，
∴GE＝GF＝3，
连接GQ，过点G作GH⊥EF于H，
∵GE＝GF，
∴EH＝EF＝，
在Rt△EHG中，根据勾股定理得，GH＝＝，
∴S△EFG＝EF•GH＝×2×＝3，
∵QM⊥DE，QN⊥GF，
∴S△EFG＝S△EGQ+S△FGQ
＝GE•QM+GF•QN
＝GE（QM+QN）
＝×3（QM+QN）
＝3，
∴QM+QN＝2，
故选：D．
9．（3分）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是4，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：∵点C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，
∴S△ABD＝S△OBD，
∵点B在双曲线上，BD⊥y轴，S△ABD＝4，
∴，
∴k＝±8，
∵双曲线经过一，三象限，
∴k＝8．
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°，
∴BD＝2AD＝8，
当点P在AD上时，S＝•（8﹣2t）•（4﹣t）•sin60°＝（4﹣t）2（0＜t＜4），
当点P在线段BD上时，S＝（16﹣2t）•（t﹣4）＝﹣t2+6t﹣16（4＜t≤8），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3且x≠0 ．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0．
故答案是：x≥﹣3且x≠0．
12．（3分）分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝ （x﹣y）（a+3）（a﹣3） ．
【解答】解：a2（x﹣y）+9（y﹣x）
＝（x﹣y）（a2﹣9）
＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3），
故答案为：（x﹣y）（a+3）（a﹣3），
13．（3分）在平面直角坐标系中，设点D（2，a）在正比例函数的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第 四 象限．
【解答】解：∵点D（2，a）在正比例函数的图象上，
∴a＝×2＝1，
∴3a﹣5＝3﹣5＝﹣2，
∴点Q坐标为（1，﹣2），位于第四象限，
故答案为：四．
14．（3分）如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率是 ．
【解答】解：连接OC、OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，
∴△OBC和△OCD都为等边三角形，
∴BC＝OC＝CD，∠BCO＝∠COD＝60°，
∴S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD＝＝πr2，
∴在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率＝＝＝．
故答案为：．
15．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+0.5的图象与x轴有交点．则k的取值范围是 k≤5 ．
【解答】解：当k＝3时，y＝（k﹣3）x2+2x+0.5＝2x+0.5，
直线y＝2x+0.5与x轴有一个交点，符合题意，
当k≠3时，令（k﹣3）x2+2x+0.5＝0，
则Δ＝22﹣4×0.5（k﹣3）＝10﹣2k，
∴10﹣2k≥0时，抛物线与x轴有交点，
解得k≤5，
故答案为：k≤5．
16．（3分）若点P的坐标为（，2x﹣10），其中x满足不等式组，则点P的坐标为： （，﹣2） ．
【解答】解：解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
解不等式5x﹣10≥2（x+1），得：x≥4，
∴不等式组的解集为x＝4，
则点P的坐标为（，﹣2）．
故答案为：（，﹣2）．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AB于点D，点E，F分别在边AC，BC上，连接EF．若∠EDF＝90°，AE＝3，BF＝6，则线段EF的长为 3 ．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
延长ED到H点，使DH＝DE，连接BH，FH，如图，
在△BDH和△ADE中，
，
∴△BDH≌△ADE（SAS），
∴BH＝AE＝3，∠DBH＝∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠CBA＝90°，
∴∠CBA+∠DBH＝90°，
即∠FBH＝90°，
在Rt△BHF中，FH＝＝＝3，
∵∠EDF＝90°，
∴FD⊥EH，
而DH＝DE，
即DF垂直平分EH，
∴EF＝FH＝3．
故答案为：3．
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan∠BAE＝，BF＝2，则FG＝ 2 ．
【解答】解：法一、如图，过点E作EH⊥AC于点H，
则△EHC是等腰直角三角形，
设EH＝a，则CH＝a，CE＝a，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，
∴tan∠BAE＝＝，
∴BE＝AB，
∴BE＝CE＝a，
∴AB＝BC＝2a，
∴AC＝4a，AH＝3a，
∴tan∠EAH＝＝，
∵∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠EAH，
∴tan∠BAF＝tan∠EAH＝，
∵BF＝2，
∴AB＝6，BE＝CE＝3，
∴AE＝3，AF＝2，
∴EF＝5，
∵AD∥BC，
∴AD：BE＝AG：GE＝2：1，
∴GE＝，
∵EF：GE＝5：＝：1，
AE：BE＝3：3＝：1，
∠GEF＝∠BEA，
∴EF：GE＝AE：BE，
∴△GEF∽△BEA，
∴∠EGF＝∠ABE＝90°，
∴∠AGF＝90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG＝AF＝2．
法二、在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴∠BAC＝45°，∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠AOB＝∠ABF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAF＝∠OAG，
∴△AOG∽△ABF，
∴AO：AG＝AB：AF，
∵∠EAF＝∠OAB＝45°，
∴△AOB∽△AGF，
∴∠AGF＝∠AOB＝90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG＝AF＝2．
故答案为：2．
三、解答题（共22分）
19．（8分）先化简，再求代数式的值．，其中tan45°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
∵tan45°＞a＞sin30°，
∴a取，
原式＝＝．
20．（14分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 400 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 60 ，所抽取学生成绩的中位数落在 D 组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%＝400（名），
∴B组的人数为：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，20+96+60＝176，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
（2）E组的人数为：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：
（3）3000×＝1680（人），
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（4）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为＝．
四、解答题（合计46分）
21．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6，点A的坐标为（n，2），点B的坐标为（a，﹣6）．
（1）请直接写出一次函数的关系式为 y＝x﹣4 ，反比例函数的关系式为 y＝ ；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式kx＞﹣b的解集是 ﹣2＜x＜0或x＞6 ．
【解答】解：（1）∵AD⊥x轴于点D，
∴AD∥y轴，
∵A（n，2），
∴AD＝2，
∵∠CAD＝45°，
∴∠AFD＝45°，
∴FD＝AD＝2，
连接AO，
∵AD∥y轴，
∴S△AOD＝S△ADC＝AD•OD＝6，
∴OD＝6，
∴A（6，2），
将A（6，2）代入y＝，得m＝12，
∴反比例函数解析式为y＝；
∵点B（a，﹣6）在比例函数解析式为y＝的图象上，
∴﹣6＝，
∴a＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣6），
将点A（6，2），点B（﹣2，﹣6）代入y＝kx+b，可得
，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣4，
故答案为：y＝x﹣4，y＝；
（2）令x＝0，得y＝x﹣4＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
点E是点C关于x轴的对称点，
∴E（0，4），
∴CE＝8，
∴S△ABE＝S△BCE+S△ACE＝CE•|Bx|+CE•|Ax|＝×8×2+×8×6＝32；
（3）根据图象得：不等式kx+b＞，即kx＞﹣b的解集为﹣2＜x＜0或x＞6．
22．（12分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【解答】解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．
根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°，
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，
∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，
∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，
EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），
∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），
∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），
∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．
∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DA延长线上一点，且∠CED＝∠CAB．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段CE的长．
【解答】解：（1）CE与⊙O相切，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵∠CED＝∠CAB，∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）由（1）知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠B＝∠D，tanB＝，
∴tanB＝tanD＝＝，
∴CD＝2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝3，
∴（2CE）2+CE2＝（3）2，
解得CE＝3（负值舍去），
即线段CE的长为3．
24．（12分）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30，
当40＜x≤100时，设y＝kx+b，
把（40，30），（100，15）代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+40，
∴y＝；
（2）设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为（360﹣a）m2，
∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴，
解得30≤a≤90，
当30≤a≤40时，w＝30a+15（360﹣a）＝15a+5400，
∵15＞0，
∴当a＝30时，w最小，最小为15×30+5400＝5850（元），
当40＜a≤90时，w＝a（﹣a+40）+15（360﹣a）＝﹣（a﹣50）2+6025，
∵﹣＜0，对称轴为直线a＝50，且40﹣50＜90﹣50，
∴a＝90时，w取最小值，最小为﹣×（90﹣50）2+6025＝5625（元），
∵5625＜5850，
∴当a＝90时，w取最小值，最小为5625元，
此时360﹣a＝270，
答：甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元．
25．（12分）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
【解答】解：（1）如图，取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴；
（2）取BC的中点H，连接DH，
∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，DH＝AB，
∵AB＝AC，
∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH，
∵BD＝DE，
∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH＝EC，
∴，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∴，
∴；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵＝，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
26．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
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