2022-2023学年辽宁省部分学校九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省部分学校九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=−x2−2x一定不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知e1，e2均为单位向量，那么下列说法正确的是( )
A. e1+e2=2e1B. e1//e2C. e1=e2D. |e1|−|e2|=0
3.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，那么在下列条件中，一定能够判定DE//BC的选项是( )
A. ADAE=ACABB. DEBC=ADACC. DEBC=ADABD. ADAE=BDCE
4.小英在用“描点法”探究二次函数性质时，画出了以下表格，不幸的是，部分数据已经遗忘(如表所示)，小英只记得遗忘的三个数中(如M，R，A所示)，有两个数相同.根据以上信息，小英探究的二次函数解析式可能是( )
A. y=x2−3x−2B. y=14x2+14x−92
C. y=2x2−5x−1D. y=12x2−32x−3
5.在△ABC中，AB=10，tanB=34，如果△ABC的形状和大小都被确定，那么线段AC的长度不可能为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
6.一个篮球从一定高度自由下落到水平地面上，弹起后会到达一个低于初始高度的最高点位置，又落回地面，接着继续弹起，整个过程中篮球的轨迹都在同一直线上，且篮球每次弹起达到最高点时，其具有的重力势能都大于该篮球前一次弹起达到最高点时的一半.小英将该篮球从距离水平地面10米处的点A处扔下，使之自由下落，落到水平地面上的点B处后弹起，第一次弹起后到达最高点时，篮球位于点C处，第二次位于点D处，且C，D分别为AB，BC的黄金分割点，以此类推.同时，小英发现对于实数a，n，若0A. 15+5 5B. 15+10 5C. 20+10 5D. 30+10 5
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.给定关于x的一元二次方程x2+2x−3=0，则2022(x+1)2=______ .
8.一次函数y=kx+k过定点(m,n)，则点(m,m+n)到原点距离为______ .
9.已知点A(2,2)，B(5,6)，C(4,8)，那么S△ABC=______ .
10.函数y1=3x2+kx+3k与函数y2=2kx+2k交于一点，则k=______ .
11.如图所示，给定△ABC，将AB绕点A旋转，使得点B与线段BC中点D重合，若AD=CD，那么AC：CD=______ .
12.函数y=x2−4x+c和x轴的两个交点与顶点组成直角三角形，则c=______ .
13.在菱形ABCD中，E为线段CD中点，联结BE，当线段BE的中垂线与线段AD相交时，假设m≤sinD≤n，当m取最小值，n取最大值时，mn=______ .
14.已知四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4.对于线段AD上的点E，做出这样三个规定：
(1)点E为线段AD上向点D运动的点，将这个点运动的时间为每秒记录一次；
(2)点E每一秒运动的路程恰好为上一次记录当中点A到线段BE的距离；
(3)当每一次记录的线段AE长之和恰好与矩形ABCD的面积一半相同时，点E停止运动.
若线段AE的值总共记录了10次，那么线段AE的初始值为______ .
15.《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载的“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理，彰显了我国古代数学家的智慧.如图所示，“赵爽弦图”由四个全等的矩形与两个正方形拼接而成，已知大正方形的面积是小正方形面积的25倍，设AB=a，AD=b，那么AF=______ .(用a，b表示)
16.如图所示，在△ABC中，∠B=90∘，AB=BC，点D在边BC上，且BD=2CD，联结AD，如果点E在线段AD上，使得线段BC是线段AD，AE的比例中项，联结CE，那么tan∠BCE的值为______ .
17.定义：经过三角形重心且平分这个三角形周长的直线叫“重分线”.如果一个等腰三角形的“重分线”能经过其两腰，那么这个等腰三角形底角余弦值k的取值范围是______ .
18.在△ABC中(线段AB，AC，BC为定长)，P为线段BC上一动点，作∠B，∠C，∠APB的平分线a，b，c，直线a，c交于点I1，点I2为直线b上一点，且∠I1PI2=90∘，当点P移动到线段BC中点时，BP=3，AC=5，tan∠BAP=97，S△ABC=9，则当点P从点C向点B的运动过程中，S△AI1I2取最小值时，CP=______ .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算下列的三角函数值(写出计算过程，保留计算结果)：sin60∘cs30∘⋅sin230∘+tan202245∘|tan60∘−ct60∘|− sin215∘−2cs15∘sin15∘+sin275∘sin15∘−cs15∘−sin60∘.
20.(本小题10分)
求二次函数y=x2+ax+3顶点运动轨迹的函数解析式.
21.(本小题10分)
“愚公移山”是我国著名寓言故事，它告诉了我们坚持不懈的道理.某日，小张穿越至愚公的年代，碰到了移山的众人.
(1)在运输山石等杂物时，有两条路可行，已知A，B间的直线距离为50里(如图1所示).
线路1：折线ACDB，已知点C在点A东北方向，点B在点D东偏南53∘方向，CD//AB，且C，D间的距离为30里；
线路2：以AB为直径的半圆.如果仅从远近考虑，小张应该告知愚公选取哪一条线路使得路程更短？请你通过计算说明理由.
(2)愚公为了能够更精确地了解所移之山MN的高度，请求小张帮其测量.如图2所示，已知在山MN的后方有一座高140米的小山PQ，小张站在线段QN上的点E处，EQ=480米，此时小张测得点M的仰角为60∘，随后小张到达小山山顶点P处测得点M的仰角为21∘，请你帮小张求出山高MN的值.(结果保留3位有效数字，以下为参考三角比与数值)sin37∘≈35；sin16∘≈725；sin39∘≈0.63； 2≈1.41； 3≈1.73
22.(本小题10分)
在菱形ABCD中，E，F为线段BC上的点，且CD=2BE=4BF，连接AE，DF交于点G.
(1)如图(1)所示，∠BAE=∠ADF，求csB的值；
(2)连接CG，在图(2)上求作GC在BA与AG方向上的分向量.
23.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点D，E分别在边BC，AC上，联结AD，BE交于点G，且AD=CD.
(1)如果BE=AB，求证：BE⋅AG=BC⋅EG；
(2)如果射线CG交AB于点P，且AD⋅AE=BD⋅CE，求证：点P是AB中点.
24.(本小题12分)
函数一直都是初中数学所研究的关键，其种类繁多数不胜数，我们所熟知的函数就有“一次函数”、“二次函数”和“反比例函数”.
现在给出分段函数的定义：对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，这个函数的整体我们称为f(x).
例如：f(x)=x2,01这个函数在01时是2x，这两个不同区域的函数组合形成了函数f(x).
接下来为绝对值方程：在平面直角坐标系xOy中，若给出方程|x|+|y|=1，那么其图象可以看作是两个分段函数y=−x+1,0在平面直角坐标系xOy中，已知分段函数f(x)=x2−2x−k,−2(1)求分段函数f(x)的最小值；
(2)设f(x)最小值所在点为D，点E在f(x)上，且S△ABE=S四边形ABDC−1，直接写出点E的坐标；
(3)i.在第(2)问的条件下，求证：△ACO∽△DBC；
ii.在方程|2x|+|y|+x=3上取一点P，点M，N分别在f(x)与直线BC上，若△PMN为等腰直角三角形，且点P关于MN的对称点恰好落在直线BC上，试问：是否存在这样的△PMN，若存在求其周长；若不存在，请说明理由.
25.(本小题14分)
在梯形ABCD中，AD//BC，AB=30，DC=25，BC=AB+CD，BD平分∠ABC，∠ABD的余切值为2，E为线段BC上的动点.若∠BAE+4∠ADB=180∘，求线段AE的长度.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵a=−1，抛物线开口向下，对称轴为x=−1，与y轴交于(0,0)，
∴抛物线经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A.
由函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为x=−1，与y轴交于(0,0)，判断不经过的象限．
本题主要考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据单位向量的定义可知：e1和e2都是单位向量，但是这两个向量并没有明确方向，
∴A，B，错误，D正确，
故选：D.
根据单位向量的定义逐一判断即可．
本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.由ADAE=ACAB，不能判断DE//BC；
B.由DEBC=ADAC，不能判断DE//BC；
C.由DEBC=ADAB，不能判断DE//BC；
D.∵ADAE=BDCE，
∴ADAE=AD+BDAE+EC=ABAC，又∠DAE=∠BAE，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴DE//BC.
故选：D.
先画出图形，根据相似三角形的性质与判定逐项分析判断即可求解．
本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、y=x2−3x−2的对称轴为直线x=32，
B、y=14x2+14x−92的对称轴为直线x=−12，
C、y=2x2−5x−1的对称轴为直线x=54，
D、y=12x2−32x−3的对称轴为直线x=32，
若M与R相同，则抛物线的对称轴为直线x=−12，只有B选项符合，
将点(1,−4)，(2,−3)代入解析式，均符合；
若M与A相同，则抛物线的对称轴为直线x=1，没有选项符合；
若R与A相同，则抛物线的对称轴为直线x=32，选项A、D符合，
但将点(1,−4)，(2,−3)代入解析式，却不符合；
∴M与R相同，B选项符合，
故选：B.
分别求出各选项抛物线的对称轴，根据每两个数相同，分别判断即可得到答案．
此题考查了二次函数的图象与性质，抛物线关于对称轴的对称性，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，当∠C=90∘时，
∵tanB=ACBC=34，
∴设AC=3x，BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴9x2+16x2=100，
∴x=2或x=−2舍去，
∴AC=6，BC=8，
∵△ABC的形状和大小都被确定，
∴AC=6或AC≥10，
∴线段AC的长度不可能为8.
故选：B.
当∠C=90∘时，根据tanB=ACBC=34，可设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得x=2，所以AC=6，根据△ABC的形状和大小都被确定，可得AC=6或AC≥10，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，解题的关键是理解题意，判断出三角形唯一确定的AC的范围，属于中考常考题型．
6.【答案】A
【解析】解：篮球的总路程为：10+10× 5−12+10×( 5−12)2+10×( 5−12)3+……+10×( 5−12)n≤10×3+ 52=15+5 5，
故选：A.
先求出每次弹跳的路程，再求和．
本题考查了黄金分割的应用，掌握等比数列的求和公式是解题的关键．
7.【答案】10112
【解析】解：∵x2+2x−3=0，
∴x2+2x=3，
∴x2+2x+1=3+1，
∴(x+1)2=4，
∴2022(x+1)2=20224=10112，
故答案为：10112.
根据完全平方公式可得(x+1)2=4，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8.【答案】 2
【解析】解：∵y=kx+k=k(x+1)，
∴一次函数y=kx+k过定点(−1,0)，
∴m=−1，n=0，
∴点(m,m+n)即点(−1,−1)到原点距离为 12+12= 2，
故答案为： 2.
根据一次函数y=kx+k过定点(−1,0)，求得m=−1，n=0，再根据勾股定理即可求解．
本题考查了一次函数的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】5
【解析】解：S△ABC=3×6−12×3×4−12×1×2−12×2×6=5.
故答案为：5.
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形的面积即可．
本题考查三角形的面积，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是利用数形结合．
10.【答案】12
【解析】解：∵函数y1=3x2+kx+3k与函数y2=2kx+2k交于一点，
∴3x2+kx+3k=2kx+2k有两个相等的实数根，
即3x2−kx+k=0，
∴Δ=b2−4ac=k2−12k=0，
解得：k1=0(舍去)，k2=12，
故答案为：12.
依题意得出3x2−kx+k=0有两个相等的实数根，计算Δ=0，解方程即可求解．
本题考查了二次函数图象与一次函数交点问题，掌握一元二次方程根的判别式，将函数图象交点问题转化为方程的解的情况是解题的关键．
11.【答案】 3
【解析】解：由旋转的性质得AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵AD=CD，
∴AB=AD=CD，
∵点B与线段BC中点D重合，
∴AB=AD=CD=BD，
∴∠B=∠ADB=60∘，∠CAD=∠C，
∴∠CAD=∠C=12∠ADB=30∘，
∴∠BAC=180∘−60∘−30∘=90∘，
∴BC=2AB=2CD，
在Rt△ABC中，
AB2+AC2=BC2，
∴CD2+AC2=(2CD)2，
∴AC2=3CD2，
∴AC= 3CD，
∴AC：CD= 3.
由旋转的性质结合已知条件证得△ABD是等边三角形，△ACD是等腰三角形，继而得到∠B=∠ADB=60∘，∠C=30∘，得到△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可得到答案．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形和等腰三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转的性质结合已知条件证得AB=AD=CD=BD是解决问题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵函数y=x2−4x+c和x轴有两个交点，
∴方程x2−4x+c=0有两个不等实根，
∴Δ=(−4)2−4c=16−4c>0，
即c<4，
由求根公式得：x=4± 16−4c2=2± 4−c，
∴方程x2−4x+c=0的根为x1=2− 4−c，x2=2+ 4−c，
∴函数y=x2−4x+c和x轴的两个交点为(2− 4−c,0)，(2+ 4−c,0)，
∵y=x2−4x+c=(x−2)2+c−4，
∴顶点坐标为(2,c−4)，
∵函数y=x2−4x+c和x轴的两个交点与顶点组成的直角三角形为等腰直角三角形，
∴ 4−c=4−c，
解得c=4(舍去)或c=3，
故答案为：3.
先求出抛物线与x轴的交点坐标，顶点坐标，再根据抛物线与x轴的两个交点与顶点组成的直角三角形是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质解答即可．
本题考查抛物线与x轴交点，二次函数的性质，关键是判定抛物线与x轴的两个交点与顶点组成的直角三角形是等腰直角三角形．
13.【答案】 158
【解析】解：设菱形的边长为a，
∵E为线段CD中点，
∴DE=12a，
当BE的垂直平分线经过点D时，sinD取得最小值，如图，连接AC、BD交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，
则BD=DE=12a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=12BD=14a，OA=OC，
在Rt△ABO中，AO= AB2−OB2= a2−(14a)2= 154a，
∵DF⋅AB=BD⋅AO，
∴DF×a=12a× 154a，
∴DF= 158a，
∴sin∠BAD=DFAD= 158aa= 158，
∵∠ADC=180∘−∠BAD，
∴sin∠ADC=sin(180∘−∠BAD)=sin∠BAD= 158，
∴m= 158；
当∠D=90∘时，sinD取得最大值1，即n=1；
∴mn= 158.
设菱形的边长为a，当BE的垂直平分线经过点D时，sinD取得最小值，如图，连接AC、BD交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，利用勾股定理和三角函数定义即可求得sin∠BAD=DFAD= 158aa= 158，得出sin∠ADC=sin(180∘−∠BAD)=sin∠BAD= 158，即m= 158；当∠D=90∘时，sinD取得最大值1，即n=1；即可求得答案．
本题考查了三角函数定义，菱形性质，三角形面积，勾股定理，利用面积法求出DF的值是解题关键．
14.【答案】0.03
【解析】解：如图所示，
设第n次记录的AE的长为an，
∴a1+a2+…+a10=12×3×4=6，d1=AB×AE1BE1=3a1 32+a12，
设A到BE的距离分别dn，
则a2=a1+d1，a3=a2+d2=a1+d1+d2，a10=a9+d9=a1+d1+d2+…+d9，
∴10a1+9d1+8d2+…+d9=6，
E点运动的总路程为a1+d1+d2+…+d9=a10，
如图，AF⊥EF，
设第10次记录时，AE=a10，则AF=d9，
∵9d1+d110a1=d9a10，
即d9=10d1，
同理可得d8=9d1，d7=8d1，……，d2=2d1，
∴10a1+9d1+8d2+…+d9
=10a1+9d1+8×3d1+…+2×9d1+10d1
=10a1+9d1+24d1+…+18d1+10d1
=10a1+(9+24+28+30+30+28+24+18+10)d1
=10a1+201d1=6，
∵d1=3a1 a12+32，
∴10a1+201×3a1 a12+32=6，
解得：a≈0.0284372359108≈0.03，
故答案为：0.03.
设第n次记录的AE的长为an，则a1+a2+…+a10=12×3×4=6，d1=AB×AE1BE1=3a1 32+a12，然后求得d9=10d1，d8=9d1，d7=8d1，……，d2=2d1，代入进行计算即可求解．
本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，理解题意解题的关键．
15.【答案】25a−35b
【解析】解：连接AD、AF，
∵四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，
∴HF、BD共线，
∵AB=a，AD=b，
∴DB=AB−AD=a−b，
∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍，
∴FH=15BD，
由图可得BH=DF，
∴DF=12×45DB=25BD，
∴AF=AD+DF=b+25(a−b)=25a−35b，
故答案为：25a−35b.
连接AD、AF，则HF、BD共线，先求出DB=a−b，由已知可知FH=15BD，由图可得BH=DF，再求DF=25BD，则AF=AD+DF=25a−35b.
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的定义，正方形的性质是解题的关键．
16.【答案】47
【解析】解：过E作EF⊥BC于F，如图：
设CD=x，则BD=2x，BC=3x=AB，
∴AD= AB2+BD2= (3x)2+(2x)2= 13x，
∵线段BC是线段AD，AE的比例中项，
∴线段AB是线段AD，AE的比例中项，AE=BC2AD=9x2 13x=9 1313x，
∴ABAD=AEAB，DE=AD−AE= 13x−9 1313x=4 1313x，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABD=∠AEB=90∘，
∴∠DEB=90∘，
∵EF⊥BC，
∴cs∠EDF=DFDE=DEBD，
∴DF=DE2BD=(4 1313x)22x=813x，
∴EF= DE2−DF2= (4 1313x)2−(813x)2=1213x，CF=CD+DF=x+813x=2113x，
∴tan∠BCE=EFCF=1213x2113x=47，
故答案为：47.
过E作EF⊥BC于F，设CD=x，则BD=2x，BC=3x=AB，由线段BC是线段AD，AE的比例中项，可得AE=BC2AD=9 1313x，DE=AD−AE=4 1313x，证明△ABD∽△AEB，可得∠ABD=∠AEB=90∘=∠DEB，从而cs∠EDF=DFDE=DEBD，可得DF=DE2BD=813x，即可求得EF= DE2−DF2=1213x，CF=CD+DF=2113x，故tan∠BCE=EFCF=47.
本题考查直角三角形的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含x的代数式表示相关线段的长度．
17.【答案】13≤k≤12
【解析】解：如图1，当“重分线”经过等腰三角形底角的顶点时，
此时，△ABC是等边三角形，
∴k=cs60∘=12；
如图2，当“重分线”平行于等腰三角形的底边时，
设AB=AC=a，BD=DC=b，
由题意得，AE=AF=23a.
∵EF平分△ABC的周长，
∴AE+AF=a+b，即43a=a+b，
∴13a=b，
∴k=csB=BDAB=ba=13.
综上所述，13≤k≤12.
故答案为：13≤k≤12.
根据题意，分别得出“重分线”的两种特殊情况，进而求解即可．
本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.等腰三角形的性质，余弦函数的定义，求得“重分线”的特殊位置对应的余弦值是解题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：如图：过点A作AH⊥BC于点H，
∵点P移动到线段BC中点时，BP=3，
∴BC=2BP=6，
∵S△ABC=9，
∴AH=2S△ABCBC=3，
∵AC=5，
∴CH= AC2−AH2=4，
∵直线a，c交于点I1，
∴I1是△ABP的内心，
∴∠I1PA=12∠APB，
∵∠I1PI2=90∘，即∠API2=90∘−∠API1=12(180∘−∠APB)=12∠APC，
∴Pl2是∠APC的平分线，
∴I2为△APC的内心，
如图所示，过点I1I2分别作BC的垂线，垂足分别为E，F，设I1E=r1，I2F=r2，AP与II2交于点I，
S△AI1I2=12h(r1+r2)，h为三角形的铅垂高，水平宽乘以铅锤高的一半)，
当AI与r1+r2最小时，S△AI1I2取得最小值，
∵∠I1PI2=90∘，
观察图形，当点P从点C向点B的运动过程中，当∠BPI1=∠CPI2=45∘时，r1+r2最小，
此时AI⊥BC，即AP⊥BC，
如图所示，
∴PC=HC=4，
故答案为：4.
过点A作AH⊥BC于点H，根据当点P移动到线段BC中点时，BP=3，AC=5，S△ABC=9，得出BC，AH的长，根据题意，作出图形，得出S△AI1I2取得最小值，点P与点H重合，即可求解．
本题考查了解直角三角形，三角形内心的相关问题，根据题意作出图形是解题的关键．
19.【答案】解：sin60∘cs30∘⋅sin230∘+tan202245∘|tan60∘−ct60∘|− sin215∘−2cs15∘sin15∘+sin275∘sin15∘−cs15∘−sin60∘
= 32 32×(12)2+12022| 3− 33|− (sin15∘−cs15∘)2sin15∘−cs15∘− 32
4+ 32+1− 32
=4+1
=5.
【解析】根据同角三角函数的关系先化简代数式，再代入特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了同角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，解题的关键是要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
20.【答案】解：y=x2+ax+3=(x+a2)2+3−a24，
顶点坐标为(−a2,3−a24)，
∵3−a24=−(−a2)2+3，
∴二次函数y=x2+ax+3顶点运动轨迹的函数解析式为y=−x2+3.
【解析】根据题意，将抛物线解析式化为顶点式，进而即可求解．
本题考查了二次函数的性质，把函数解析式化为顶点式是解题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为G，F，
∵CD//AB，CG⊥AB，DF⊥AB，
∴CG=DF，
依题意，∠CAG=45∘，∠DBF=53∘，则∠BDF=37∘，AG=CG=DF，
∵sin37∘≈35，
∴sin53∘=cs37∘=45，
在Rt△ACG中，AC= 2CG= 2AG，
在Rt△DBF中，BD=DFsin53∘≈DF45=54DF，BF=DB×sin37∘≈35DB=35×54DF=34DF，
∵CD=30里，AB=50里，
∴AB−CD=AG+BF=AG+34AG=74AG=20，
解得：AG=807，
∴AC= 2AG=80 27≈16，DB=54×807≈14，
∴AC+CD+DB=16+30+14=60里，
∵AB=50里，
∴路线2，半圆的路程为π×502=25π≈78.54里，
所以线路1：折线ACDB的路程更短；
(2)如图，设PH⊥MN于点H，连接PE，过点E作ET⊥MP于点T，
则PQNH是矩形，
∴NH=PQ=140，PH=QN，HP//NQ，
依题意，∠MEN=60∘，∠MPH=21∘，
则∠NMP=90∘−21∘=69∘，
在Rt△PQE中，PQ=140，EQ=480，
∴EP= PQ2+EQ2= 1402+4802=500m，
∴sin∠PEQ=725，
∵sin16∘≈725，
∴∠PEQ=16∘，
∵HP//NQ，
∴∠HPE=∠PEQ=16∘，
∴∠EPT=∠EPH+∠HPT=16∘+21∘=37∘，
在Rt△PTE中，TE=PE×sin37∘=500×35=300m，
在Rt△NME中，∠MEN=60∘，
∴∠NME=30∘，
∴∠EMT=∠NMP−∠NME=69∘−30∘=39∘，
在Rt△MET中，ME=ETsin∠EMT=300sin39∘≈3000.63≈476，
在Rt△MNE中，MN=ME×cs30∘=476× 32≈412(米)，
∴山高MN为412米．
【解析】(1)过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为G，F，分别解Rt△ACG，Rt△DBF，计算AC+CD+DB，以及半圆，即可求解；
(2)设PH⊥MN于点H，连接PE，过点E作ET⊥MP于点T，根据已知条件得出∠PEQ=16∘，解Rt△PTE，Rt△MET，Rt△MNE，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=AB，AD//BC，
∵CD=2BE=4BF，
设BF=a，则BE=2a，BC=AD=AB=4a，EF=a，
∵AD//BC，
∴△ADG∽△EFG，
∴EGAG=FGGD=EFAD=14，
∴EGEA=15，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠GFE，
∵∠BAE=∠ADF，
∴∠BAE=∠GFE，
又∵∠GEF=∠BEA，
∴△EFG∽EAB，
∴EFEA=EGEB=GFAB，∠B=∠EGF=∠AGD，
即a5EG=EG2a=GF4a，
∴5EG2=2a2，GF=2EG，
解得：EG= 105a，FG=2EG=2 105a，
∴AG=4EG=4 105a，GD=4FG=8 105a.
如图，过点A作AH⊥ED于点H，
设GH=x，则HD=GD−GH=8 105a−x，
在Rt△AHG，Rt△AHD中，AG2−GH2=AD2−HD2=AH2，
∴(4 105a)2−x2=(4a)2−(8 105a−x)2，
解得：x= 102a.
∴csB=cs∠AGH=GHAG= 102a4 105a=58.
(2)解：如图所示，
取AD的中点Q，连接CQ，过点D作PD//CG交CQ的延长线于点P，连接GP，则GP,PC，即为所求，
理由如下，如图，设GD交PC于点T，
∵Q是AD的中点，E是BC的中点，
∴AQ=EC，
又AD//BC，
∴AECQ是平行四边形，
∴PC//AE，
∴DTGT=DQAQ=1，
∴GT=DT，
∵PD//CG，
∴∠PDT=∠CGT，
在△PTD与△CTG中，
∠PTD=∠CTGGT=DT∠PDT=∠CGT，
∴△PTD≌△CTG(ASA)，
∴PD=CG，
∴四边形PDCG是平行四边形，
∴PD=CG，
∴GP//AB，
∴GC在BA与AG方向上的分向量是GP,PC.
【解析】(1)根据菱形的性质得出CD=BC=AB，AD//BC，根据已知条件设BF=a，则BE=2a，BC=AD=AB=4a，EF=a，证明△ADG∽△EFG，△EFG∽EAB，根据相似三角形的性质得出EG= 105a，FG=2EG=2 105a，过点A作AH⊥ED于点H，进而根据余弦的定义即可求解；
(2)取AD的中点Q，连接CQ，过点D作PD//CG交CQ的延长线于点P，连接GP，则GP,PC，即为所求．
本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平面向量，求余弦，掌握以上知识是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)如图1，∵AD=CD，
∴∠EAG=∠ACB，
∵BE=AB，
∴∠AEG=∠CAB，
∴△AEG∽△CAB，
∴AGBC=EGAB，
∴AGBC=EGBE，
∴BE⋅AG=BC⋅EG.
(2)如图2，联结DE，交CP于点H，
∵AD⋅AE=BD⋅CE，且AD=CD，
∴AECE=BDAD=BDCD，
∴AE+CECE=BD+CDCD，
∴CECA=CDCB，
∵∠ECD=∠ACB，
∴△EDC∽△ABC，
∴∠CED=∠CAB，
∴ED//AB，
∵EH//AP，
∴△DEH∽△CAP，
∴EHAP=CHCP，
同理DHBP=CHCP，
∴EHAP=DHBP，
∴APBP=EHDH，
∵EH//BP，
∴△EGH∽△BGP，
∴EHBP=GHGP，
同理DHAP=GHGP，
∴EHBP=DHAP，
∴BPAP=EHDH，
∴APBP=BPAP，
∴AP2=BP2，
∴AP=BP，
∴点P是AB的中点．
【解析】(1)由AD=CD，得∠EAG=∠ACB，由BE=AB，得∠AEG=∠CAB，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AEG∽△CAB，所以AGBC=EGAB=EGBE，则BE⋅AG=BC⋅EG；
(2)联结DE，交CP于点H，由AD⋅AE=BD⋅CE，且AD=CD，得AECE=BDAD=BDCD，推导出CECA=CDCB，可证明△EDC∽△ABC，得∠CED=∠CAB，所以ED//AB，根据相似三角形的性质可证明EHAP=DHBP=CHCP，EHBP=DHAP=GHGP，可推导出APBP=BPAP，从而证明AP=BP，则点P为AB的中点．
此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△AEG∽△CAB以及APBP=BPAP是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵直线y=k+1kx−(k+1)与函数f(x)交于点(13,−329)，且−2<13<3，
∴−329=k+1k×13−(k+1)，
解得k=3，
∴f(x)=x2−2x−3(−2当−2∴x=1时，y有最小值−4，
当x≤−2时，y=−10x>0，
当x≥3时，y=43x−4≥0，
综上，f(x)的最小值为−4.
答：f(x)的最小值为−4.
(2)∵分段函数与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，
当y=0时，(x−1)2−4=0，
解得x=3或x=−1，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=4，
当x=0时，y=−3，
∴C(0,−3)，
∴OC=3，
由(1)可知，D(1,−4)，
如图，画出f(x)的函数图象，过点D作DF⊥x轴与F，
∴F(1,0)，
∴OA=1，OC=3，OF=1，DF=4，BF=2，AB=4，
∴S四边形ABDC=S△AOC+S四边形OCDF+S△BFD=12×1×3+12(3+4)×1+12×2×4=9，
∴S△ABE=S四边形ABDC−1=9−8=1，
设△ABE以AB为底的高为h，
则S△ABE=12×AB⋅h=12×4h=8，
解得h=4，
∴点E的纵坐标为4或−4，
当x2−2x−3=4时，x=1−2 2或x=1+2 2(舍)，
∴E(1−2 2,4)；
当x2−2x−3=−4时，x=1，
∴E(1,−4)；
当−10x=4时，x=−52，
∴E(−52,4)；
当43x−4=4时，x=6，
∴E(6,4)；
综上所述：E点坐标为(1−2 2,4)或(1,−4)或(−52,4)或(6,4).
(3)i.证明：由(2)可得：A(−1,0)，C(0,−3)，B(3,0)，D(1,4)，
∴AC= 12+32= 10，
BC= 32+32=3 2，
CD= (1−0)2+[−4−(−3)]2= 2，
BD= (3−1)2+(−4−0)2=2 5，
∵AOCD=1 2= 22，COBC=33 2= 22，ACBD= 102 5= 22，
∴AOCD=COBC=ACBD，
∵∠AOC=∠BCD=90∘，
∴△AOC∽△DCB；
ii.方程|2x|+|y|+x=3可整理为：|y|=3−x−|2x|，
∵|y|≥0，
∴3−x−|2x|≥0，
当x≥0时，3−x−2x≥0，解得0≤x≤1，
当x≤0时，3−x+2x≥0，解得−3≤x≤0，
∴−3≤x≤1，
当x和y同号时，
y=3−x−2x=−3x+3(0即y=−3x+3(0当x和y异号时，
y=3−x+2x=x+3(−3≤x<0)或−y=3−x−2x(0即y=3x−3(0∵P关于MN的对称点恰好落在直线BC上，
∴点M的横坐标小于0，
∵△PMN为等腰直角三角形，
∴PM=MN，∠PMN=90∘，
∴C△PMN=PM+MN+PN=3+3+3 2=6+3 2.
答：存在这样的△PMN，其周长为3 2+6.
【解析】(1)把点(13,−329)代入y=x2−2x−k，求出k的值，即可进行解答；
(2)先确定点A、B、C、D的坐标，画出函数图象，用割补法求出四边形面积，从而求出△ABE的面积，再求出△ABE以 AB边为底的高，则可确定点E的纵坐标，进行分类讨论即可；
(3)i.根据两点之间的距离公式，分别求出三角形的三边长度，根据三边分别成比例的两个三角形相似，即可求证．
ii.根据题意判断出M点的位置，根据△PMN为等腰直角三角形，求解即可．
本题主要考查函数的新题型，题目难度大，解题的关键是理清题意，运用数形结合的分类讨论，进行解答．
25.【答案】解：如图：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，∠ABD=∠DBC，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠BAE+4∠ADB=180∘，∠BAE+∠ABC+∠AEB=180∘，
∴4∠ADB=∠ABC+∠AEB，
∴4∠ADB=2∠ADB+∠AEB，
∴∠AEB=2∠ADB，
∴∠AEB=∠ABC，
∴AE=AB=30.
【解析】由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ABC=2∠ADB，结合∠BAE+4∠ADB=180∘及三角形的内角和定理可得∠AEB=∠ABC，进而可求解AE的长．
本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，梯形，解直角三角形，证明∠ABC=2∠ADB是解题的关键．x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
M
R
−4
−3
A
…