高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用第3课时课后测评

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课时素养检测

十三　余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.如图,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,计算时应当用数据(　　)

A.α,a,b    B.α,β,a

C.a,b,γ    D.α,β,b

【解析】选C.由A与B不可到达,故不易测量α,β,所以计算时应当用数据a,b,γ.

2.如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.若测得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,则AB的长为              (　　)

A.200 m   B.200 m   C.200 m   D.500 m

【解析】选C.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000,所以AB=200(m),即A,B两点间的距离为200m.

3.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是              (　　)

A.10海里    B.5海里

C.5海里   D.5海里

【解析】选C.在△ABC中,A=60°,B=75°,

∠C=180°-60°-75°=45°,

根据正弦定理得,得=,解得BC=5.

4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时两船之间的距离是              (　　)

A.50 n mile　　　　　　　 B.70 n mile

C.90 n mile      D.110 n mile

【解析】选B. 到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,

30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为

l==70 n mile.

5.一船以每小时15 km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为              (　　)

A.60 km     B.60 km

C.30 km    D.30 km

【解析】选A.画出图形如图所示,

在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,

∠B=45°,由正弦定理得=,

所以BC===60,

所以船与灯塔的距离为60 km.

6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A.a km    B.a km

C.a km    D.2a km

【解析】选B.如图,在△ABC中,AC=BC=a km,

∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,

所以AB=

==a(km).

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.如图,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为________. 

【解析】在△ABC中,AB=120 m,A=30°,B=75°,则C=180°-A-B=75°,所以AC=AB=120 m,则河的宽度为ACsin 30°=60 m.

答案:60 m

8.湖中有一小岛,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向,汽车向南行驶1 km后,又测得小岛在南偏西75°方向,则小岛到公路的距离是________km. 

【解析】如图,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°

=60°,AB=1 km.由正弦定理得=,BC==(km).

设C到直线AB的距离为d,

则d=BCsin 75°=×

=(km).

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距 km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B之间的距离.

【解析】在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,所以AC=CD=(km).

在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°.

所以BC==(km).

△ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+-2××cos 75°=

3+2+-=5,

所以AB=(km).

所以A,B之间的距离为 km.

10.甲船自某港出发时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120°角,甲、乙两船航速之比为2∶1,求两船间距离最短时,各离该海港多远?

【解析】如图所示,甲船由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,显然∠EAD=60°.

设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,AC=2s,而

∠EAD=60°,

由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos 60°=7(s-2)2+21(0≤s<7).

所以s=2时,BC最小为,此时AB=5,AC=4.

即甲船离港4海里,乙船离港5海里.

故两船间距离最短时,甲船离港4海里,乙船离港5海里.

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.如图,货轮在海上以36 n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行.为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为32°.则此时货轮与灯塔之间的距离为(　　)

A.7 n mile    B.8 n mile

C.9 n mile    D.10 n mile

【解析】选C.在△ABC中,∠B=152°-122°=30°,

∠C=180°-152°+32°=60°,

∠A=180°-30°-60°=90°,BC==18,

所以AC=18sin 30°=9(n mile).

2.一船向正北航行,看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60°,另一灯塔在船的南偏东75°,则这艘船每小时航行              (　　)

A.5海里   B.6海里   C.7海里   D.8海里

【解析】选D.如图,由题意知在△ABC中,∠ACB=75°-60°=15°,∠B=15°,所以AC=AB=8.

在Rt△AOC中,OC=AC·sin 30°=4.

所以这艘船每小时航行=8(海里).

3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为              (　　)

A. n mile/h    B.34 n mile/h

C. n mile/h    D.34 n mile/h

【解析】选A.如图所示,在△PMN中,=,

所以MN==34,

所以v== n mile/h.

4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为              (　　)

A.30 m   B. m   C.15 m    D.45 m

【解析】选B.在△ABC中,AC=15 m,AB=5 m,

BC=10 m,由余弦定理得

cos ∠ACB=

==-,

所以sin ∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°,

所以sin ∠ACD=sin ∠ACB=.在Rt△ACD中,

AD=ACsin ∠ACD=15×=(m).

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.如图,某山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角∠ABC=120°,从B处攀登400米后到达D处,再看索道AC,发现张角∠ADC=150°,从D处再攀登800米到达C处,则索道AC的长为________米. 

【解析】在△ABD中,BD=400米,∠ABD=120°,

因为∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以AB=BD=400米,

AD==400米.

在△ADC中,DC=800,∠ADC=150°,

AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=(400)2+8002-2×400×800×cos 150°=4002×13,所以AC=400米,故索道AC的长为400米.

答案:400

6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°, ∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为________. 

【解析】由已知得,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,

由正弦定理得

AC===40(+).

在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,

由正弦定理得=,

即BC===160sin 15°

=40(-).

在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+4)+1 600×(8-4)+2×1 600×(+)×(-)×=1 600×16+1 600×4=1 600×20=32 000,

解得AB=80.故图中海洋蓝洞的口径为80.

答案:80

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,1),直线OB的倾斜角为45°,且|OB|=.

(1)求点B的坐标及线段AB的长度;

(2)在平面直角坐标系xOy中,取1厘米为单位长度.现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发,沿倾斜角为60°的射线BC运动,另一质点Q同时以厘米/秒的速度从点A出发做直线运动,如果要使得质点Q与P会合于点C,那么需要经过多少时间?

【解析】(1)设点B(x0,y0),依题意x0=cos 45°=1,

y0=sin 45°=1,从而B(1,1),又A(-3,1),

所以AB∥x轴,则|AB|=|1-(-3)|=4.

(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C,

则AC=t厘米,BC=t厘米.由AB∥x轴及BC的倾斜角为60°,

得∠ABC=120°.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°,

所以2t2=16+t2+8t·,

化简得t2-4t-16=0,

解得t=2-2(舍去)或t=2+2.

即若要使得质点Q与P会合于点C,则需要经过(2+2)秒.

8.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60° 的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?

【解析】设∠AMN=θ,在△AMN中,

=.

因为MN=2,所以AM=sin (120° -θ).

在△APM中,cos∠AMP=cos(60° +θ).

AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP=sin2(120° -θ)+4-2×2×sin (120° -θ)cos(60° +θ)

=sin2(θ+60°)-sin (θ+60° )cos(θ+60° )+4

=[1-cos(2θ+120° )]-sin (2θ+120° )+4

=-[sin (2θ+120° )+cos(2θ+120° )]+

=-sin (2θ+150° ),0°<θ<120°.

当且仅当2θ+150° =270° ,即θ=60° 时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.

所以设计∠AMN=60° 时,工厂产生的噪声对居民影响最小.

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