广东省佛山市高明实验中学2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年广东省佛山市高明实验中学九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 二次函数的图象的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，为的外接圆，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根

7. 如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点恰好落在边上．若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D.

9. 二次函数的图象如图所示，下列结论，，，其中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，的面积为，则关于的函数图象是(    )
     

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______．
12. 抛物线的顶点坐标为______ ．
13. 如图，已知、是的直径，，，则的度数为______度．

14. 二次函数，当时，的最大值和最小值的和是______．
15. 如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，，半圆与直线相切．设半圆，半圆，，半圆的半径分别是，，，，则当直线与轴所成锐角为，且时，______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16. 解方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知抛物线经过点，，求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．
18. 本小题分
    随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，广东省年公共充电桩的数量约为万个，年公共充电桩的数量多达万个，位居全国首位．
    求广东省年至年公共充电桩数量的年平均增长率；
    按照这样的增长速度，预计广东省年公共充电桩数量能否超过万个？为什么？
19. 本小题分
    已知的顶点、、在格点上，按下列要求在网格中画图．
    绕点顺时针旋转得到；
    画关于点的中心对称图形．

20. 本小题分
    如图，为内一点，，，将绕着点顺时针旋转能与线段重合．
    求证：；
    若，求的度数．

21. 本小题分
    已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点．
    如图，若，求的度数；
    如图，若为的中点，求证：直线是的切线．
     
22. 本小题分
    某童装店在服装销售中发现：进货价每件元，销售价每件元的某童装每天可售出件．为了迎接“六一儿童节”，童装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价元，那么每天就可多售出件．
      如果童装店想每天销售这种童装盈利元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？
      每件童装降价多少元时，童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
23. 本小题分
    如图，二次函数的图象经过点和，与轴从左至右分别交于点、，点为抛物线的顶点．
    求二次函数的解析式；
    在抛物线的对称轴上是否存在这样的点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
    连接，若点为线段上的一动点点不与点、点重合，过点作轴的垂线交线段于点，当点以个单位的速度从点向点运动时，设运动时间为，四边形的面积为，求与之间的函数关系及自变量的取值范围，并求出的最值．
    若点在抛物线上，且以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标不需要计算过程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程化成一般形式后为，
则它的二次项系数是，常数项为，
故选：．
先移项化为一般式，再根据中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项求解即可．
本题主要考查一元二次方程的一般形式，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
二次函数的图象的顶点坐标是
故选：．
根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，又，
．
故选：．
根据旋转的性质求出和的度数，计算出的度数．
本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：为的外接圆，，
，
，
．
故选：．
由为的外接圆，，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
原方程没有实数根．
故选：．
先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，
，，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，，
菱形的一条对角线长为，
边的长是，
菱形的周长为．
故选：．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据菱形的性质可确定边的长是，然后计算菱形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了菱形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴由两个交点，
，
即，
所以正确；
由二次函数图象可知，
，，，
，
故错误；
对称轴：直线，
，
，
，，
，，
，
故错误；
对称轴为直线，抛物线与轴一个交点，
抛物线与轴另一个交点，
当时，，
故正确．
故选：．
抛物线与轴由两个交点，则，所以正确；由二次函数图象可知，，，，故错误；
对称轴：直线，所以，故错误；
对称轴为直线，抛物线与轴一个交点，则抛物线与轴另一个交点，当时，，故正确．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
首先根据正方形的边长与动点、的速度可知动点始终在边上，而动点可以在边、边、边上，再分三种情况进行讨论：；；；分别求出关于的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
【解答】
解：由题意可得．
时，点在边上，，
则，
即故A选项错误；
时，点在边上，
则，
即，故B选项错误；
时，点在边上，，
则，
即故D选项错误．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个根为，
则，
解得：，
故答案为：．
可将该方程的已知根代入两根之和公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

12.【答案】 

【解析】解：物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据对顶角相等求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出的度数，再求出答案即可．
本题考查了对顶角相等和圆心角、弧、弦之间的关系，能根据圆心角、弧、弦之间的关系得出是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：二次函数，
抛物线的对称轴是，
则当时，有最小值；
当时，是最大值，
，
故答案为．
首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．
本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：分别作，，，如图，
半圆，半圆，，半圆与直线相切，
，，，
，
，
在中，，即，
，
在中，，即，
，
同理可得，
所以．
故答案为：．
分别作，，，如图，根据切线的性质得，，，再利用含度的直角三角形三边的关系得到，在中，，即，解得，同理得到，按此规律同理可得，然后取即可得到答案．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了从特殊到一般的方法解决规律型问题．
 

16.【答案】解：，
分解因式得，
可得或，
解得：，． 

【解析】将方程左边的多项式分解因式，利用两式相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两式相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
 

17.【答案】解：把点、、的坐标分别代入，
得：
解得：，
二次函数的解析式为，
抛物线顶点坐标为． 

【解析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确解方程组得出是解题关键．将各点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出，，的值即可．把函数的解析式化成顶点式即可求得．
 

18.【答案】解：设广东省年至年公共充电桩数量的年平均增长率为，
由题意得，
解得，不合题意，舍去，
答：年平均增长率为．
，
答：预计广东省年公共充电桩数量不能超过万个． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设年至年广东省公共充电桩数量的年平均增长率为，根据广东省年及年公共充电桩，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
求出广东省年公共充电桩数量与万对比，即可求出结论．
 

19.【答案】解：绕点顺时针旋转得到如图所示；
画关于点的中心对称图形如图所示；
 

【解析】分别作出、、的对应点、即可；
分别作出、、的对应点、、即可；
本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：将绕着点顺时针旋转能与线段重合，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
由≌得：，
，
，
，，
，
． 

【解析】根据将绕着点顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明≌，即可证出；
由≌得：，再根据，，得，即可求出答案．
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：是的直径，是的切线，
，
；
又，
．

证明：如图，连接，、．
是的直径，
直径所对的圆周角是直角，
；
又为的中点，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应角相等；
又是的切线，是切点，
，
，
，即直线是的切线． 

【解析】首先根据切线的性质判定；然后根据三角形内角和定理即可解决问题；
连接，、构建全等三角形≌，然后利用全等三角形的对应角相等推知，即．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和三角形全等的判定与性质．熟记这些定理是解决问题的关键．
 

22.【答案】解设每件童装降价元，根据题意，得，
解得：，，
要使顾客得到较多的实惠，
取，
答：童装店应该降价元．
设每件童装降价元，可获利元，根据题意，得，
化简得：

答：每件童装降价元童装店可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】设每件童装降价元，利用童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装利润列出方程解答即可；
设每件童装降价元，可获利元，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．
此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
 

23.【答案】解：把点和代入，
得：
解得：
二次函数的解析式为：；
；
当时，，
，
当时，，
解得：或；
，，
作关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，此时的周长最小，
，
易得直线的解析式为：，
当时，，
；
如图，，，
易得的解析式为：，
由题意得：，则，
，
；
，
有最大值，
，
当时，的最大值是；
如图，设点，
当时，
由勾股定理得：，
，
，
，
解得：舍，，
，
当时，同理可得：，
，
，
舍，，
；
综上所述，点的坐标为或 

【解析】把和代入二次函数的解析式中，列方程组可得、的值，写出二次函数的解析式；
如图，在抛物线对称轴上存在一点，使得周长最小，由题意可知作关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，此时的周长最小，由待定系数法求得直线的解析式，把代入即可求得点的纵坐标；
利用梯形面积公式可得与之间的函数关系，根据可得自变量的取值范围，配方成顶点式可得的最大值；
分三种情况：其中为直角顶点时不成立，当和为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得的坐标．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，需要学生熟练掌握二次函数、一次函数以及梯形的面积的求法等知识点，另外，注意“数形结合”数学思想的应用．