2023-2024学年广东省广州市海珠外国语实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市海珠外国语实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共1页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．科克曲线
2．下列所给的方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+x＝0B．5x2﹣4x﹣1＝0
C．3x2﹣4x+1＝0D．4x2﹣5x+2＝0
3．将二次函数y＝x2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数（ ）的图象．
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x+1）2﹣2
4．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
5．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
6．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+20xB．y＝x2﹣20xC．y＝﹣x2+10xD．y＝x2﹣10x
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是（ ）
A．2cmB．1cmC．cmD．2cm
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．x＝﹣1时，函数有最大值
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1
D．x＞1时，函数y随x的增大而减小
9．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共6小题）
11．在平面直角坐标系中，把点P（3，0）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为 ．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
13．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程： ．
15．若函数y＝mx2﹣6x+1（m是常数）的图象与x轴只有一个交点，m的值为 ．
16．如图1，△ABC中，AB＞AC，D是边BC上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AB的长为 ．
三、解答题（共9小题）
17．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）利用图象的特点填空：
①方程ax2+bx+c＝﹣3的解为 ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，其中B（﹣2、2）、请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 ；
（2）△A1B1C1的面积为 ；
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），则旋转中心的坐标为 ，并在网格中画出旋转后的△A2B2C2．
20．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．
（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？
21．如图，抛物线的顶点为C（1，9），与x轴交于A，B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交点为D，求S△BCD．
22．已知平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
23．在Rt△POQ中，OP＝OQ＝2，M是斜边PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与Rt△POQ的两直角边分别交于点A，B．
（1）求证：MA＝MB；
（2）在旋转三角尺的过程中，四边形AOBM的面积大小是否有变化？若没有变化，请求出四边形AOBM的面积；若有变化，请说明理由；
（3）连接AB，在旋转三角尺的过程中，△AOB周长的最小值是 ．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（1，﹣4）交x轴于A、B两点，与y轴交于C（0，﹣3），若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴上有一点P，连结PA、PC、AC，求△PAC周长最短时，点P的坐标；
（3）求点D的坐标．
25．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为3，求a的值；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．科克曲线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2．下列所给的方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+x＝0B．5x2﹣4x﹣1＝0
C．3x2﹣4x+1＝0D．4x2﹣5x+2＝0
【分析】分别计算出判别式Δ＝b2﹣4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可．
解：A、Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
B、Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
C、Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
D、Δ＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0，所以方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
3．将二次函数y＝x2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数（ ）的图象．
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后利用顶点式写出平移后所得抛物线的函数关系式．
解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后所得抛物线的函数关系式是y＝（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018，即可求解．
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m+2018
＝3（2m2﹣3m）+2018
＝3×1+2018
＝3+2018
＝2021，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
6．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+20xB．y＝x2﹣20xC．y＝﹣x2+10xD．y＝x2﹣10x
【分析】先由长方形一边的长度为x米，周长为20米，得出另外一边的长度为（10﹣x）米，再利用长方形的面积公式可得答案．
解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，
∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，
则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，
故选：C．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数的关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是（ ）
A．2cmB．1cmC．cmD．2cm
【分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2cm，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到AB′＝BB′．
解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，
∴AC＝AB，则AB＝2AC＝2cm．
又由旋转的性质知，AC′＝AC＝AB，B′C′⊥AB，
∴B′C′是△ABB′的中垂线，
∴AB′＝BB′．
根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质和含30度角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB'与已知线段AC的长度联系起来求解的．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．x＝﹣1时，函数有最大值
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1
D．x＞1时，函数y随x的增大而减小
【分析】根据函数的图象得出图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝﹣1，并利用抛物线的对称性逐个判断即可．
解：∵图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
∴x＝﹣1时，函数有最大值，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
故A，B，D正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线与x轴的交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故C错误．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，能根据图象得出正确信息是解此题的关键，用了数形结合思想．
9．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出＞0、c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：观察函数图象可知：＞0、c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＞0、c＞0是解题的关键．
10．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC＝4﹣1＝3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′＝3，然后根据平移规律即可求解．
解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，
∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），
∴AC＝4﹣1＝3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC•AA′＝3AA′＝9，
∴AA′＝3，
即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．
二、填空题（共6小题）
11．在平面直角坐标系中，把点P（3，0）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为 （0，﹣3） ．
【分析】利用图象法解决问题即可．
解：P（3，0）在x轴的正半轴上，
由旋转可知，OP＝OQ，OP⊥OQ，
∴Q点在y轴的负半轴上，
∴Q（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝ 1 ．
【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝3．
则x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
13．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＞y1＞y2 ．
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
解：∵抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴（﹣3，y1）关于对称轴直线x＝﹣2的对称点是（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y3＞y1＞y2，
故答案为：y3＞y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程： x2﹣35x+34＝0 ．
【分析】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．
解：设小道进出口的宽度为xm，
根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2x•x＝532，
整理，得：x2﹣35x+34＝0．
故答案为：x2﹣35x+34＝0．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
15．若函数y＝mx2﹣6x+1（m是常数）的图象与x轴只有一个交点，m的值为 0或9 ．
【分析】分m＝0和m≠0两种情况考虑，当m＝0时，一次函数与x轴只有一个交点；当m≠0时，由二次函数图象与x轴只有一个交点结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．综上即可得出结论．
解：当m＝0时，直线y＝﹣6x+1与x轴只有一个交点；
当m≠0时，∵二次函数y＝mx2﹣6x+1（m是常数）的图象与x轴只有一个交点，
∴二元一次方程mx2﹣6x+1＝0有两个相同的根，
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
综上所述：m的值为0或9．
故答案为：0或9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，分m＝0和m≠0两种情况考虑是解题的关键．
16．如图1，△ABC中，AB＞AC，D是边BC上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，
当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，
∴AH＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
三、解答题（共9小题）
17．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4），
（x﹣4）2﹣10（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣4﹣10）＝0，
x﹣4＝0或x﹣4﹣10＝0，
x1＝4，x2＝14．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）利用图象的特点填空：
①方程ax2+bx+c＝﹣3的解为 x＝0或2 ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集为 x＜﹣1或x＞3 ．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c，然后解方程组即可解决；
（2）①根据抛物线的对称性即可求出x的解；②从题中图象中找出y＞0的自变量x的值即可．
【解答】（1）解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
∴点C（0，﹣3）与点（2，﹣3）关于直线x＝1对称，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3的解为x＝0或2，
故答案为x＝0或2；
②从图象可知y＞0时，x的取值为x＜﹣1或x＞3，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3，
故答案为x＜﹣1或x＞3．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，其中B（﹣2、2）、请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 （2，2） ；
（2）△A1B1C1的面积为 ；
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），则旋转中心的坐标为 （0，﹣1） ，并在网格中画出旋转后的△A2B2C2．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，画出图形即可解决问题．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，，则B1的坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）；
（2）△A1B1C1的面积为＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝；
故答案为：；
（3）如图，△A2B2C2即为所求，旋转中心P的坐标为（0，﹣1）；
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
20．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．
（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？
【分析】（1）设“冰墩墩”产量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份的产量，列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份产量达到12.1万个，即可求出预计4月份平均日产量．
解：（1）设“冰墩墩”产量的月平均增长率为x，根据题意，得
10（1+x）2＝12.1．
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：“冰墩墩”产量的月平均增长率为10%；
（2）12.1×（1+0.1）＝13.31（万个）．
答：预计4月份的产量为13.31万个．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．如图，抛物线的顶点为C（1，9），与x轴交于A，B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交点为D，求S△BCD．
【分析】（1）先把解析式设为顶点式y＝a（x﹣1）2+9，再把B（4，0）代入解析式求出a的值即可；
（2）由函数解析式求出D点坐标，再用待定系数法求直线BD的解析式，再求出对称轴与BD的交点E的坐标，然后用分割法求△BCD面积．
解：（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+9，
把B（4，0）代入解析式得：a（4﹣1）2+9＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式y＝﹣（x﹣1）2+9；
（2）设对称轴直线x＝1与直线BD相交于E，如图所示：
令x＝0，则y＝8，
∴D（0，8），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+8，
∴当x＝1时，y＝﹣2+8＝6，
∴E（1，6），
∴CE＝9﹣6＝3，
∴S△BCD＝CE•OB＝×3×4＝6．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是用待定系数法求函数解析式．
22．已知平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程中，解之即可得出这时菱形的边长；
（2）利用一元二次方程的解，可求出m的值，利用根与系数的关系，可求出AB+BC的长，再利用平行四边形的周长计算公式，即可求出结论．
解：（1）∵菱形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣）＝0，
解得：m1＝m2＝1，
∴当m＝1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴这时菱形的边长为．
（2）∵平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，且AB的长为2，
∴x＝2是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的实数根，
将x＝2代入原方程得22﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝，
∴原方程为x2﹣m+1＝0，
∴AB+BC＝，
∴平行四边形ABCD的周长为2（AB+BC）＝2×＝5．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质，找出根的判别式Δ＝0；（2）代入x＝2，求出m的值．
23．在Rt△POQ中，OP＝OQ＝2，M是斜边PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与Rt△POQ的两直角边分别交于点A，B．
（1）求证：MA＝MB；
（2）在旋转三角尺的过程中，四边形AOBM的面积大小是否有变化？若没有变化，请求出四边形AOBM的面积；若有变化，请说明理由；
（3）连接AB，在旋转三角尺的过程中，△AOB周长的最小值是 2+ ．
【分析】（1）过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME＝MF，再根据同角的余角相等可得∠AME＝∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）利用四边形AOBM的面积等于正方形OEMF的面积解决问题即可．
（3）根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，设OA＝x，OP＝OQ＝2a表示出AE为a﹣x，即BF的长度，然后表示出OB＝a+（a﹣x）＝2a﹣x，再利用勾股定理列式求出AM，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出AB的长度，然后根据三角形的周长公式列式判断出△AOB的周长随AB的变化而变化，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的x的值，然后解答即可．
【解答】（1）证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，
∵∠O＝90°，
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP＝OQ，∠O＝90°，
∴ME＝OQ，MF＝OP，
∴ME＝MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF＝90°，∠BMF+∠AMF＝90°，
∴∠AME＝∠BMF，
在△AME和△BMF中，
，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA＝MB；
（2）解：四边形AOBM的面积不发生变化；
理由：∵△AME≌△BMF（ASA），
∴S△MAE＝S△MFB，
∴S四边形AOBM＝S正方形OEMF＝S△BOQ．
（3）解：由（1）证得△AME≌△BMF（ASA），
∴AE＝BF，
设OA＝x，
∵OP＝OQ＝2，
∴AE＝1﹣x，
∴OB＝OF+BF＝1+（1﹣x）＝2﹣x，
在Rt△AME中，AM＝＝，
∵∠AMB＝90°，MA＝MB，
∴AB＝AM＝•＝，
∴△AOB的周长＝OA+OB+AB
＝x+（2﹣x）+，
＝2+，
∵x是一个变量，
∴△AOB的周长有变化，
当x＝1时，△AOB的周长最小是2+．
故答案为：2+．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角的性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，以及二次函数的最值问题，作出辅助线，把动点问题转化为固定的三角形，构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（1，﹣4）交x轴于A、B两点，与y轴交于C（0，﹣3），若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴上有一点P，连结PA、PC、AC，求△PAC周长最短时，点P的坐标；
（3）求点D的坐标．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入求出a＝1，则可得出答案；
（2）根据题意得出直线CB与对称轴的交点为点P时，△PAC周长的最小，由抛物线的对称轴为x＝1即可求出答案；
（3）过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，证明△OAC≌△HKA，可得K（2，1），用待定系数法求出直线CD的解析式，与抛物线联立解交点即可得出D的坐标；
解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入得：
4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴抛物线表达式为：y＝（x﹣1）2﹣4，
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，
∵点B、A关于抛物线对称轴对称，
∴取直线CB与对称轴的交点为点P时，△PAC周长的最小，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线CB的解析式为y＝x﹣3，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
②如图2，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，
∵∠ACD＝45°，
∴AC＝AK，
∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，
∴K（2，1），
设直线CD的解析式为y＝kx﹣3，
∴2k﹣3＝1，
∴k＝2，
∴直线CD的解析式为y＝2x﹣3，
联立，
解得x＝0（舍去），或x＝4，
∴D（4，5）．
【点评】本题考查了二次的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为3，求a的值；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）令x＝0可求点A坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴．
（2）根据抛物线开口方向及对称轴为直线，分类讨论x＝﹣1时y取最大值或抛物线顶点纵坐标为最大值．
（3）由点P为顶点，点Q在直线y＝1上运动，通过数形结合求解．
解：（1）令x＝0，则y＝1，
∴A（0，1），
∵，
∴抛物线的对称轴为．
（2）∵，
∴抛物线顶点坐标为（，），
①当a＞0时，抛物线开口向上，
∵﹣（﹣1）＞2﹣，
∴x＝﹣1时，y＝a+3a+1＝4a+1为最大值，
即4a+1＝3，
解得a＝．
②当a＜0时，抛物线开口向下，
时，y取最大值．
∴，
解得．
综上所述，或．
（3）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+1的对称轴为．
设点A关于对称轴的对称点为点B，
∴B（3，1）．
∵Q（a+1，1），
∴点Q，A，B都在直线y＝1上．
①当a＞0时，如图，
当点Q在点A的左侧（包括点A）或点Q在点B的右侧（包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∴a+1≤0或a+1≥3．
∴a≤﹣1（不合题意，舍去）或a≥2．
②当a＜0时，如图，当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∴0≤a+1＜3．
∴﹣1≤a＜2．
又∵a＜0，
∴﹣1≤a＜0．
综上所述，a的取值范围为﹣1≤a＜0或a≥2．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解．