初中数学北师大版九年级上册2 反比例函数的图象与性质学案

反比例函数的图象与性质

【学习目标】

1．理解反比例函数解析式中系数k的几何意义。

2．会综合运用正比例函数与反比例函数的图象和性质解题。

【学习重难点】

会综合运用正比例函数与反比例函数的图象和性质解题。

【学习过程】

一、知识回顾

1．已知一个反比例函数的图象经过点A（6，-3）

（1）这个函数的图象位于第__________象限，在图象的每一分支上，y随x的增大而______

（2）已知点B（-6，3）、C（2，-9）、D（4，7）， 其中在这个函数的图象上的点是__________

2．如图是反比例函数图象的一支，则：

（1）图象的另一支位于第_______象限，常数n的取值范围是_________

（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和点B（a′，b′），若a>a′，则b与b′的大小关系是___________

二、学习新知

知识要点一：反比例函数中系数k的几何意义

(一）探索活动：

活动一：函数的图象如图所示

（1）在图象位于第一象限的分支上任意取一点P（a，b），

过P分别作x轴、y轴的垂线PA．PB，垂足分别为A、B，求矩形OAPB的面积

解：∵a>0，b>0

∴OA=______，OB=______

∴=OA·OB=________

又∵P（a，b）在函数的图象上

∴ab=________

从而=____________

（2）请你在图象位于第三象限的分支上任意取要点Q（c，d），过Q分别作x轴、y轴的垂线QC．QD，垂足分别为C、D，求矩形OCQD的面积

解：

∵c<0，d<0

∴OC=______，OD=______

∴=OC·OD=________

又∵Q（c，d）在函数的图象上

∴(-c)·(-d)=________=______

从而=____________

活动二：函数的图象如图所示，请你分别在图象每一个象限的分支上任意取一点，过这一点分别作x轴、y轴的垂线构成一个矩形，则这个矩形的面积为________

（二）猜想：___________________________________________

（三）证明你的猜想

过反比例函数图象上的任一点P（x，y），

分别作x轴、y轴的垂线PA．PB，垂足分别为A、B

∵OA=，OB=______

∴=OA·OB=________=_________=

又∵P（x，y）在函数的图象上

∴xy=________

从而=____________

（四）基本运用：

1．如图1，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=过点A，则k的值是（    ）

A．2       B．－2      C．4      D．－4

2．如图2，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA．OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1．S2，比较它们的大小，可得（      ）

A．S1＞S2        B．S1＝S2       C．S1＜S2    D．大小关系不能确定

3．如图3，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于点A，AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为2，则k=_________

知识要点二：反比例函数与一次函数的交点

例1．如图，已知：一次函数y=ax与反比例函数y=的图像交于A、B两点，已知A点坐标为（1，2），求：（1）确定这两个函数的表达式；

（2）求出点B的坐标；

（3）根据图像回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？

例2．如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于A、B两点，求：

（1）A、B两点的坐标；

（2）求△AOB的面积。

三、分层练习

一层：

1.一次函数y=2x-1与反比例函数y=的图象有__________个交点；函数y=－和y=的图象有____________个交点。

2.如图，直角三角形APO的面积为3，则此双曲线的函数解析式

为________________

3.若一次函数与反比例函数的图象交点是（2，3），

则k=_______，b=_____

二层：

4．若双曲线和直线正比例函数没有交点，则m的取值范围是______

5．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A．D，从点A分别向x轴、y轴作垂线，组成的正方形ABOC的面积为4

（1）分别求出正比例函数和反比例函数的解析式

（2）求两个函数图象的另一交点D的坐标

三层：

6．一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A（－2，1）、B（1，n）两点

（1）求反比例函数和一次函数的解析式

（2）求△AOB的面积

7．如图，在反比例函数的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点做x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=__________

四、小结

反比例函数中系数k的几何意义

【达标检测】

一、必做题

1．函数y=－和函数 y=的图像有        个交点

2．如图，函数图象位于第二、四象限，A为双曲线上一点，且△AOT的面积为3，则k的值为      

3．若点（，－）在反比例函数图像上，则此反比例函数解析式为        

4．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点M、N

（1）求m的值

（2）根据图象求出使得反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围

5．如图，P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA，交双曲线于点A，连接OA

（1）如图（1），当P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，求出Rt△AOP的面积

（2）如图（2），在x轴上点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接OB交AP于点C，设△AOB的面积为S1，梯形APDB的面积为S2，则S1与S2的大小关系是：S1______S2

（3）如图（3），AO的延长线与双曲线的另一个交点为F，FH⊥x轴于点H，连接AH、PF，当P在x轴的正方向上运动时，四边形APFH的面积大小是否变化？若不变，求出四边形APFH的面积