2022-2023学年湖北省恩施州高中教育联盟高二上学期期中考试数学试题含解析

  恩施州高中教育联盟2022年秋季学期高二期中考试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4．本试卷主要考试内容：必修第一册占，必修第二册占，选择性必修第一册第一章至第二章第3节占30%.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合，利用交集的定义即可求解．

【详解】因为，或，

所以．

故选：A．

2. 设：，：，则是成立的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由解得，然后根据充分条件与必要条件的概念即可求解．

【详解】由解得，所以，但推不出，则是成立的充分不必要条件．

故选：B．

3. 若，则（    ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】复数的基本运算

【详解】因为，所以．

故选：A.

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数函数的单调性比较与，与的大小关系，即可得出答案．

【详解】因为，，，

所以．

故选：D．

5. 某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是（    ）

A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】根据百分位数的求法，即可求解．

【详解】抽取的工人总数为20，，那么第60百分位数是所有数据从小到大排序的第12项与第13项数据的平均数，

第12项与第13项数据分别为9，9，所以第60百分位数是9．

故选：B．

6. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】以为基底表示空间向量，再利用数量积运算求解.

【详解】因为

所以

即

所以．

故选：C．

7. 已知是球内一点，过点作球的截面，其中最大截面圆的面积为，最小截面圆的面积为，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】过点E作球O的截面，当截面过球心时，截面圆的面积最大；当截面与OE垂直时，截面的面积最小，由此求解即可．

【详解】∵过点E作球O的截面，当截面过球心时，截面圆的面积最大；当截面与OE垂直时，截面的面积最小，

∴球的半径，最小截面圆的半径，所以．

故选：D．

8. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，，，点在线段上，，过点作，，垂足分别是E，F，则面积的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由结合正弦定理得，，由余弦定理可得，结合不等式得，又，所以，求得，，从而得面积的表达式，进而求出最大值．

【详解】因为，所以，

所以，则．

由余弦定理可得，即．

因为，所以，则，当且仅当时，等号成立．

因为，所以，

所以，

所以，，

则．

故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知空间中三点，，，O是坐标原点，下列说法正确的是（    ）

A. 点关于平面对称的点为 B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】利用空间直角坐标系中点的坐标的概念判断A；利用向量长度公式判断B；利用共线向量的性质判断C；利用向量垂直的性质判断D．

【详解】因为点关于平面对称的点为，所以A错误；

因为，所以B正确；

因为，，则，所以C正确；

因为，，则，所以D错误．

故选：BC．

10. 连续掷两次骰子，设先后得到的点数为m，n，则（    ）

A. 的概率为 B. m是偶数的概率为

C. 的概率为 D. m>n的概率为

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据古典概型的知识求得正确答案.

详解】连续掷两次骰子，基本事件有：

，

，

，

，

，

，

共种，

其中的有：，共种，概率为，A选项正确.

是偶数的有：

，

，

，

共种，概率为，B选项正确.

的有：，共种，概率为，C选项正确.

的有：

，，，

， ，

共种，概率为，D选项错误.

故选：ABC

11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是（    ）

A. 直线BD与A1D 所成的角为45°

B. 异面直线BD与AD1所成的角为60°

C. 二面角A-B1C-C1的正弦值为

D. 二面角A-B1C-C1的正弦值为

【答案】BD

【解析】

【分析】先利用几何法找出题目中异面直线所成的角和二面角的平面角，再借助几何知识求出角度及正弦值，验证选项.

【详解】正方体中，为等边三角形，直线BD与A1D 所成的角为60°，选项A错误；

，异面直线BD与AD1所成的角等于BD与BC1所成的角，为等边三角形， ∴异面直线BD与AD1所成的角为60°，选项B正确；

BC1与CB1相交于点O，连接AO、AC1，如图所示：

正方体中，，O为B1C的中点，∴，，二面角A-B1C-C1的平面角为，

不妨设正方体棱长为2，，，，

由余弦定理，，

∴，则二面角A-B1C-C1的正弦值为，选项C错误，选项D正确.

故选：BD

12. 已知函数，下列说法正确的是（    ）

A. 的最大值为2

B. 直线是图像的一条对称轴

C. 在区间上是增函数

D. 若，则

【答案】BD

【解析】

【分析】由题知，再结合函数性质依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：当时，即，时，，

当时，即，时，，

所以，，的部分图像如图，

所以，的最大值为1，故A错误；

因为，所以的图像关于直线对称，故B正确；

观察图像知，在区间上不单调，，在区间上不是增函数，C错误；

因为且，则当时，且，

则且，，

所以，，D正确．

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则______．

【答案】4

【解析】

【分析】根据，可得，利用向量垂直的判定条件即可求出的值．

【详解】因为，所以，

所以，即，解得．

故答案为：4．

14. 一条光线从点处射到轴上，经轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线的倾斜角是______．

【答案】##

【解析】

【分析】由题知关于轴对称的点为，再根据斜率公式求解即可.

【详解】解：由题意可得点关于轴对称的点为，

则反射光线所在直线的斜率，

所以，反射光线所在直线的倾斜角为．

故答案为：

15. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据得到，即，进而根据向量夹角公式求出夹角.

【详解】因为，所以，即，

则，即，

设与的夹角为，，

所以，解得．

故答案为：．

16. 甲、乙、丙、丁四人准备从社区组织的道路安全或卫生健康志愿宣传活动中随机选择一个参加，每个人的选择相互独立，则甲、乙参加同一个活动的概率为______．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】利用概率的加法公式及乘法公式求解即可.

【详解】设事件A为“甲参加道路安全志愿宣传活动”，事件B为“乙参加道路安全志愿宣传活动”．

依题意得事件A，B相互独立，甲、乙参加道路安全或卫生健康志愿宣传活动概率都为，

则甲、乙参加同一个活动的概率为，

所以．

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在平行四边形中，点，，平行四边形对角线的交点为．

（1）求点的坐标以及直线的方程；

（2）求线段的中点到直线的距离．

【答案】（1），，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分，求得坐标，利用两点式求得直线的方程；

（2）求出线段的中点的坐标，利用点到直线的距离公式得出答案．

【小问1详解】

分别设点，，

因为平行四边形的对角线互相平分，

所以，解得，

所以，．

所以直线的方程为，化简得．

小问2详解】

设，则，，即，

所以到直线的距离．

18. 已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；

（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.

【小问1详解】

因为，

令，解得，

则的单调递增区间是；

【小问2详解】

由（1）可得．

因为，所以，

所以，

所以，

即在区间内的值域为．

19. 的内角的对边分别为，．

（1）求；

（2）若，，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题知，再根据正弦定理边角互化并整理得，进而得答案；

（2）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得，进而结合已知条件得，再求解正弦值即可.

【小问1详解】

解：因为，

所以，即，

所以，正弦定理可得，

因为，

所以，

因为，．

所以，

因为，

所以．

【小问2详解】

解：因为，

所以，由正弦定理得．

又因为，，

所以，

整理可得，即，

所以，

因为，

所以或，即或，

因为，

所以，．

20. 网店和实体店各有利弊，两者的结合已成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月的运营发现，投入实体店体验安装的费用（单位：万元）与产品的月销量（单位：万件）（）之间满足：当时，与成正比且比例系数为1；当时，．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，每件产品的进价为64元，且每件产品的售价定为“进价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和．

（1）设该产品的月净利润为（单位：万元），试建立与的函数关系式；

（2）求该产品月净利润的最大值．

【答案】（1）   

（2）775万元

【解析】

【分析】（1）先求每件产品的售价，结合t与x的关系，即可建立与的函数关系式；

（2）由（1）中的关系式，利用基本不等式即可解出．

【小问1详解】

因为每件产品的售价为%

所以该产品的月净利润

因为

所以，即

【小问2详解】

当时，单调递增，所以当时，

当时，

因为，，当且仅当，即时，等号成立

所以，即

故该产品月净利润的最大值为77.5万元．

21. 有一堆大小和质地都相同的白球和黑球，先将一个白球和一个黑球放入袋子中，再从袋子中不放回地随机取出一个球，然后再往袋子中加入一个白球和一个黑球，再从袋子中不放回地随机取出一个球，如此循环取球．

（1）若取了三次球，求刚好取出个黑球的概率；

（2）若要使取出的球中有黑球的概率不低于，求最少需要取多少次球．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分情况讨论取出三个球的颜色情况，分别计算概率；

（2）设最少需要取次，则次都是白球的概率，则，代入特值可得解.

小问1详解】

若三次取球依次为白黑黑的概率为

若三次取球依次为黑白黑的概率为

若三次取球依次为黑黑白的概率为，

所以取了三次球，求刚好取出个黑球的概率为；

【小问2详解】

设最少需要取次，

则次都是白球的概率，

所以取出的球中有黑球的概率为，

可知是关于的递增函数，

当时，，

当时，，

所以最少取次.

22. 如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为的正三角形，．

（1）求点到平面的距离；

（2）点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值．

【答案】（1）   

（2）．

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接，，过点作，交于，进而证明点在上，平面，即可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；

（2）结合（1）求平面的法向量为，设，，进而求平面的法向量，再根据向量方法求解即可.

【小问1详解】

解：取的中点，连接，．

因为是三棱锥的高，即平面，

因为平面

所以．

因为，的中点为，

所以，

因为平面

所以平面，

因为平面，

所以．

又因为是边长为的正三角形，的中点为

所以，，即点在上．

所以，，，，．

过点作，交于，则两两垂直，

所以，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，．

设平面的法向量为，

则，即，取，则．

所以，点到平面的距离为．

【小问2详解】

解：结合（1）得，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，

则，即，取，则．

所以，，

设，．

所以，．

设平面的法向量为，

则，即 取，则．

所以，，当且仅当时，等号成立．

所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．