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2022-2023学年湖北省恩施州高中教育联盟高二上学期期末数学试题（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省恩施州高中教育联盟高二上学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x−1A. 0,1B. −1,2C. 1,2D. 0,1
2.关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R，则a的取值范围
( )
A. a >0B. 01
3.已知a=sinα,1，b=1,2csα，若a⊥b，则tanα−π4=( )
A. −3B. −13C. −1D. 3
4.已知圆(x−1)2+y2=4内一点P0,1，则过P点的最短弦所在的直线方程是
( )
A. x+y−1=0B. x−y+1=0C. x−y−1=0D. x=0
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为AD，C1D1的中点，O为BCC1B1侧面的中心，则异面直线MN与OD1所成角的正弦值为
( )
A. 16B. 66C. 306D. 356
6.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，过焦点F的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，设PF=2FQ，M为PQ的中点，则M到y轴的距离为
( )
A. 12B. 32C. 54D. 45
7.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圆为C：x2+y2=32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列结论不正确的是
( )
A. 椭圆Γ的离心率为 22
B. ▵MPQ面积的最大值为34a2
C. M到Γ的左焦点的距离的最小值为 6− 2a2
D. 若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2=−12
8.已知F1,F2分别为双曲线C:x24−y212=1的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点(其中点A在第一象限)，设M,N分别为▵AF1F2,▵BF1F2的内心，则ME−NE的取值范围是
( )
A. −∞,−4 33∪4 33,+∞B. −4 33,4 33
C. −3 35,3 35D. − 53, 53
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a>b>c>0，则
( )
A. ab+c>ba+cB. ac>bc
C. lgca>lgcbD. ab10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|=2c.直线l:y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有( )
A. 若|AF2|+|BF2|=m，则|AB|=4a−2m
B. 若AB的中点为M，则kOM⋅k=−b2a2
C. |AB|的最小值为2b2a
D. 若AF1⋅AF2=3c2，则椭圆的离心率的取值范围是[ 55,12]
11.已知曲线C的方程为 x2+y2=|2x+y|，圆M:x2+(y−b)2=2(b∈R)，则( )
A. 曲线C表示一条直线
B. 点(1,2)与曲线C上的点的最短距离为1
C. 当b=5 24时，曲线C与圆M有3个公共点
D. 不论b取何值，总存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与曲线C有4个公共点
12.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足DP=λDD1+μDA，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则以下说法正确的是( )
A. 当λ=μ时，BP//平面CB1D1
B. 当μ=12时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为π3
C. 当λ+μ=1时，CP长度的最小值为 62
D. 当λ+μ=1时，CP与平面BCC1B1所成的角不可能为π3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a1+a3=6，a2+a4=10，则S5=______．
14.甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是23，乙解出这道题目的概率是34，则这道题被解出(至少有一人解出来)的概率是______．
15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2,O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且F1P= 3OP，则C的渐近线方程为__________．
16.若函数fx的定义域为R，对任意的x1，x2，当x1−x2∈D时，都有fx1−fx2∈D，则称函数fx是关于D关联的.已知函数fx是关于4关联的，且当x∈−4,0时，fx=x2+6x.则：①当x∈0,4时，函数fx的值域为 ；②不等式0四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3a=2csinA．
(1)求角C的大小；
(2)若c= 7，且ab=6，求△ABC的周长．
18.(本小题12分)
2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩(满分100分)，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计这50名同学的平均成绩；
(2)先用分层抽样的方法从评分在40,60和80,100的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中抽取2名，求这2名同学的分数在同一区间的概率．
19.(本小题12分)
已知函数y=1−1x+2的图象按向量n=2,1平移后得到fx的图象，数列an满足an=fan−1(n∈N∗且n≥2).
(1)若a1=35，且bn=1an−1，证明：bn是等差数列；
(2)若a1=35，试判断an中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，请说明理由．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PD=DC=BC=12AB=1，AB//CD，∠APD=∠ABC=90∘，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA中点．
(1)求证：DE//面PBC;
(2)求证：PA⊥面PBD;
(3)点Q在棱PB上，设PQ=λPB(0<λ<1)，若二面角P−AD−Q的余弦值为 55，求λ．
21.(本小题12分)
如图，已知圆O:x2+y2=1，点P为直线x+2y−3 5=0上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为M、N，且两条切线PM、PN与x轴分别交于A、B两点．
(1)当P在直线y=x上时，求PA−PB的值；
(2)当P运动时，直线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为 33，焦距为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l:y=mx− 52交椭圆于A,B两点，D是椭圆C上一点，O为坐标原点，直线OD的斜率为n，且mn=12．T是线段OD延长线上一点，且DT=2 2115AB，⊙T的半径为DT，直线OP,OQ是⊙T的两条切线，切点分别为P,Q，求∠QOP的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；
解：因为 A=x−1所以 A∩B=0,1 ；
故选：A
2.【答案】B
【解析】【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解．
解：要使一元二次不等式 ax2+2ax+1>0 的解集为 R ，则需满足 a>0Δ=2a2−4a<0⇒0故选：B
3.【答案】D
【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算求出 tanα ，代入两角差的正切计算可求出结果．
解：因为 a⊥b ，所以有 sinα+2csα=0 ，即 tanα=−2 ，
所以 tanα−π4=tanα−11+tanα=−3−1=3 ．
故选：D
4.【答案】B
【解析】【分析】由几何性质可知：过 P 点的最短弦所在的直线与直线 AP 垂直，求出直线 AP 的斜率，从而得到过 P 点的最短弦所在的直线的斜率，求出直线方程．
解： (x−1)2+y2=4 的圆心为 A1,0 ，半径为2，
由几何性质可知：过 P 点的最短弦所在的直线与直线 AP 垂直，
直线 AP 的斜率为 1−00−1=−1 ，故过 P 点的最短弦所在的直线的斜率为1，
故过 P 点的最短弦所在的直线方程为 y−1=x−0 ，
整理为： x−y+1=0 ．
故选：B
5.【答案】D
【解析】【分析】以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出 MN ， OD1 的坐标，由数量积求夹角公式求解．
解：如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则 M(1 ，0， 0) ， N(0 ，1， 2) ， O(1 ，2， 1) ， D1(0 ，0， 2) ，
∴ MN=(−1,1,2),OD1=(−1,−2,1) ．
则 csα=cs⟨MN,OD1⟩=(−1,1,2)⋅(−1,−2,1) 6× 6=16 ，
∴ 异面直线 MN 与 OD1 所成角的正弦弦值为 16 ，
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】先求出抛物线的焦点以及准线方程，设出点 P ， Q 的坐标，再由已知向量关系求出 P ， Q 的坐标关系，再利用点 P ， Q 在抛物线上，联立即可求解．
解：由抛物线的方程可得 F(1,0) ，准线方程为： x=−1 ，
设 P(x1 ， y1) ， Q(x2 ， y2) ，
则由 PF=2FQ 可得： (1−x1,−y1)=2(x2−1,y2) ，
所以 1−x1=2(x2−1)−y1=2y2y12=4x1y22=4x2 ，解得 x1=2,x2=12 ，
则 M 到 y 轴的距离为 12( x1+x2)=54 ，
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】对于A，取椭圆左顶点与上顶点处的切线，建立齐次方程，可得答案；
对于B，根据圆的性质，结合三角形的面积公式，可得答案；
对于C，设出点的坐标，由两点距离公式，利用函数的思想，可得答案；
对于D，设出点的坐标，代入椭圆的标准方程，利用点差法，结合两点之间斜率公式，可得答案．
解：依题意，过椭圆 Γ 的上顶点作y轴的垂线，过椭圆 Γ 的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，
所以 a2+b2=32a2 ，得 a2=2b2 ，所以椭圆 Γ 的离心率 e=ca= 1−b2a2= 22 ，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且 ∠PMQ=90∘ ，所以PQ为圆C的直径，所以 PQ=2× 32a2= 6a ，
所以 ▵MPQ 面积的最大值为 12PQ× 32a2= 6a2× 32a2=32a2 ，故B不正确；
设 Mx0,y0 ， Γ 的左焦点为 F−c,0 ，连接MF，
因为 c2=a2−b2=12a2 ，所以 MF2=x0+c2+y02=x02+y02+2x0c+c2=32a2+2x0× 22a+12a2=2a2+ 2ax0 ，
又 − 62a≤x0≤ 62a ，所以 MF2≥2− 3a2 ，
则M到 Γ 的左焦点的距离的最小值为 6− 2a2 ，故C正确；
由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设 Ax1,y1 ， Dx2,y2 ，则 B−x1,−y1 ， k1=y1−y2x1−x2 ， k2=y1+y2x1+x2 ，
又 x122b2+y12b2=1x222b2+y22b2=1 ，所以 x12−x222b2+y12−y22b2=0 ，所以 y12−y22x12−x22=y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=−12 ，所以 k1k2=−12 ，故D正确
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有 ∠EF2M=π−θ2,∠EF2N=θ2 ，将 ME−NE 表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围．
【详解】设 AF1,AF2,F1F2 上的切点分别为H､I､J，
则 |AH|=|AI|,F1H=F1J,F2J=F2I ．
由 AF1−AF2=2a ，得 |AH|+HF1−|AI|+IF2=2a ，
∴ HF1−IF2=2a ，即 JF1−JF2=2a ．
设内心M的横坐标为 x0 ，由 JM⊥x 轴得点J的横坐标也为 x0 ，则 c+x0−c−x0=2a ，
得 x0=a ，则E为直线 JM 与x轴的交点，即J与E重合．
同理可得 △BF1F2 的内心在直线 JM 上，
设直线 AB 的领斜角为 θ ，则 ∠EF2M=π−θ2,∠EF2N=θ2 ，
|ME|−|NE|=(c−a)tanπ−θ2−(c−a)tanθ2
=(c−a)⋅csθ2sinθ2−sinθ2csθ2=(c−a)2csθsinθ=(c−a)2tanθ ，
当 θ=π2 时， |ME|−|NE|=0 ；
当 θ≠π2 时，由题知， a=2,c=4,ba= 3 ，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴ π3<θ<2π3 ，且 θ≠π2 ，所以 tanθ<− 3 或 tanθ> 3 ，
∴ − 33<1tanθ< 33 且 1tanθ≠0 ，
∴ |ME|−|NE|=4tanθ∈−4 33,0∪0,4 33 ，
综上所述， |ME|−|NE|=4tanθ∈−4 33,4 33 ．
故选：B．
【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有 ∠EF2M=π−θ2,∠EF2N=θ2 ，将 ME−NE 表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围．
解：设 AF1,AF2,F1F2 上的切点分别为H､I､J，
则 |AH|=|AI|,F1H=F1J,F2J=F2I ．
由 AF1−AF2=2a ，得 |AH|+HF1−|AI|+IF2=2a ，
∴ HF1−IF2=2a ，即 JF1−JF2=2a ．
设内心M的横坐标为 x0 ，由 JM⊥x 轴得点J的横坐标也为 x0 ，则 c+x0−c−x0=2a ，
得 x0=a ，则E为直线 JM 与x轴的交点，即J与E重合．
同理可得 △BF1F2 的内心在直线 JM 上，
设直线 AB 的领斜角为 θ ，则 ∠EF2M=π−θ2,∠EF2N=θ2 ，
|ME|−|NE|=(c−a)tanπ−θ2−(c−a)tanθ2
=(c−a)⋅csθ2sinθ2−sinθ2csθ2=(c−a)2csθsinθ=(c−a)2tanθ ，
当 θ=π2 时， |ME|−|NE|=0 ；
当 θ≠π2 时，由题知， a=2,c=4,ba= 3 ，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴ π3<θ<2π3 ，且 θ≠π2 ，所以 tanθ<− 3 或 tanθ> 3 ，
∴ − 33<1tanθ< 33 且 1tanθ≠0 ，
∴ |ME|−|NE|=4tanθ∈−4 33,0∪0,4 33 ，
综上所述， |ME|−|NE|=4tanθ∈−4 33,4 33 ．
故选：B．
9.【答案】AB
【解析】【分析】根据不等式的性质运算判定选项AB，举反例判断D，根据对数的单调性确定C．
解：对于选项A：
∵a>b ，且 c>0 ，
∴ac>bc ，
∴ab+ac>ab+bc ，
∴ab+c>ba+c ，
故A正确；
对于选项B：
∵a>b ，且 c>0 ，
∴ac>bc ，
故B正确；
对于选项C：
∵a>b ，
当 0故C错误；
对于选项D：
设 a=16 ， b=2 ， c=0.5 ，
则 ab=8>bc=4 ，
故D错误；
故选：AB．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了求椭圆的离心率(或取值范围)，椭圆的中点弦问题与椭圆的弦长的问题，属于中档题。
【解答】
解：A:直线l:y=k(x+c)(k∈R)恒过(−c,0)点，即左焦点，
由椭圆的定义可知：△ABF2的周长为：
AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2= 2a+ 2a=4a，∴|AB|=4a−m
所以：A不正确
B:设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以有
x12a2+y12b2=1(1)x22a2+y22b2=1(2)(1)−(2)⇒x12−x22a2=y12−y22b2⇒y12−y22x12−x22=b2a2
设M(x0,y0)，因为AB的中点为M，所以x0=x1+x22，y0=y1+y22，
因此kOM⋅k=y0x0．y1−y2x1−x2=y1+y22x1+x22y1−y2x1−x2=y12−y22x12−x22=−b2a2，所以B正确：
C:因为直线l:y=k(x+c)(k∈R)过定点(−c,0)，但是不包括直线x=−c，
因为只有当x=−c时，AB才有最小值，所以C不正确：
D:⋅AF1AF2=(−c−x1,y1)⋅(c−x1,y1)=x12+y12−c2=3c2⇒x12+y12=4c2，
而x12a2+y12b2=1⇒y12=b2(1−x12a2)，所以有x12+b2(1−x12a2)=4c2⇒x12=a2(4c2−b2)c2，
显然4c2−b2≥0⇒4c2−a2+c2≥0⇒e≥ 55
而a2(4c2−b2)c2≤a2⇒4c2−a2+c2≤c2⇒4c2≤a2⇒e≤12，
所以 55≤e≤12，故本选项说法正确．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系的判断及求参，圆与圆位置关系，点到直线的距离，属于中档题．
化简曲线C可判断A，结合点到直线距离可判断B，结合圆心到直线距离可判断C，结合两圆内切时圆N半径可以无限大判断D．
【解答】
解：由 x2+y2=|2x+y|，得x2+y2=4x2+y2+4xy，整理得x3x+4y=0，
得x=0或3x+4y=0，所以曲线C表示两条直线，则A错误；
点(1,2)到两直线的距离分别为1，3+85=115，所以点(1,2)与曲线C上的点的最短距离为1，B正确；
当b=5 24时，圆心在y轴上，所以与x=0有2个公共点，
又圆心到直线3x+4y=0的距离为0+4×5 245= 2，
所以直线3x+4y=0与圆相切，有1个公共点，
则当b=5 24时，曲线C与圆M有3个公共点，C正确；
不论b取何值，总存在圆N，使得圆N与圆M相内切，圆N在圆M外，圆N半径可以无限大，则圆N与两线x=0或3x+4y=0都相交，圆N与曲线C有4个公共点，所以D正确．
故选BCD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查共线向量基本定理的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．
当λ=μ时，P的轨迹为线段DA1，证明BP//平面CB1D1即可判断A；当μ=12时，点P的轨迹为线段EF，可得当P与E重合时，DP与直线CB1所成角最大，求出最大角判断B；当λ+μ=1时，P点轨迹为线段D1A，分别求出CP长度的最小值与CP与平面BCC1B1所成的角正切值的最大值判断C与D．
【解答】
解：当λ=μ时，如图(1)，P的轨迹为线段DA1，
由正方体的结构特征，可知平面CB1D1//平面A1BD，而BP⊂平面A1BD，
∴BP//平面CB1D1，故A正确；
当μ=12时，如图(1)，点P的轨迹为线段EF，直线CB1//直线DA1，
当P与E重合时，DP与直线DA1所成角最大，即DP与直线CB1所成角最大，最大为π4，
故B错误；
当λ+μ=1时，如图(2)，P点轨迹为线段D1A，当P为D1A的中点时，
CP长度最小，
此时CP= 12+( 22)2= 62，故C正确；
当点P在线段D1A上运动时，P在平面BB1C1C上的射影在C1B上，
P到平面BB1C1C的距离为定值为1，
当P为D1A的中点时，CP的射影最短，
则CP与平面BCC1B1所成的角的正切值最大，
其正切值为1 22= 2< 3，
∴CP与平面BCC1B1所成的角不可能为π3，故D正确．
故选：ACD．
13.【答案】25
【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列 an 的公差，进而求出第5项即可计算作答．
解：等差数列 an 中，由 a1+a3=6 ， a2+a4=10 得： 2a2=6 ， 2a3=10 ，即有 a2=3,a3=5 ，
因此数列 an 的公差 d=a3−a2=2 ， a5=a3+2d=9 ，
所以 S5=a1+a2+a3+a4+a5=6+10+9=25 ．
故答案为：25
14.【答案】1112
【解析】【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出(至少有一人解出来)的概率 P=1−PA
解：设数学题没被解出来为事件A，则 PA=1−23⋅1−34=112 ．
故这道题被解出(至少有一人解出来)的概率 P=1−PA =1−112=1112 ．
故答案为： 1112
15.【答案】y=± 3x
【解析】【分析】由题意得 OF1=OP ，再根据等腰三角形得角的大小，即可求出答案．
解：由题意知 OF1=OP ， F1P= 3OP ， ∴∠PF1O=30∘ ， ∴∠POF2=60∘
y=± 3x
故答案为： y=± 3x ．
16.【答案】−5,4； 5+1,2 2+1∪6,7
【解析】【分析】
本题主要考查的是函数的定义域与值域，属于难题．
由函数fx是关于4关联可得，当x2−x1=4时，fx2−fx1=4，当x1∈−4,0时，x2=x1+4∈0,4，此时fx1=x12+6x1∈−9,0，由fx2=fx1+4即可求出函数fx在0,4上的值域；分x1∈−4,0,x2=x1+4∈0,4，x3=x1+8∈4,8,x4=x1+12∈8,12，x∈12,+∞几种情况考虑，将不等式0【解答】
解：①.由函数fx是关于4关联可得：当x2−x1=4时，fx2−fx1=4．
当x1∈−4,0时，fx1=x12+6x1∈−9,0,
当x2=x1+4∈0,4时，fx2=fx1+4∈−5,4，即当x∈0,4时，函数fx的值域为−5,4；
②.由①可知，当x1∈−4,0时，fx1=x12+6x1∈−9,0，显然不满足0当x2=x1+4∈0,4时，有fx2=fx1+4，则0即−4当x3=x1+8∈4,8时，有fx3=fx1+8，则0即−8当x4=x1+12∈8,12时，有fx4=fx1+12∈3,12，显然不满足0显然当x∈12,+∞时，fx>3，不满足0综上，不等式017.【答案】解：(1)由 3a=2csinA及正弦定理得ac=2sinA 3=sinAsinC，
因为sinA>0，故sinC= 32．
又∵△ABC为锐角三角形，所以C=π3．
(2)由余弦定理a2+b2−2abcsπ3=7，
∵ab=6，得a2+b2=13，
解得：a=2b=3或a=3b=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=5+ 7．
【解析】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
(1)将 3a=2csinA根据正弦定理边角互化即可求解；
(2)根据余弦定理求得a、b的值即可求周长．
18.【答案】解：(1)由已知 0.04+10a+0.22+0.28+0.22+0.18=1 ，∴ a=0.006 ，
记平均成绩为 x ， x=0.04×45+0.06×55+0.22×65+0.28×75+0.22×85+0.18×95=76.2 ．
(2)先用分层抽样的方法从分数在 40,60 和 80,100 的同学中抽取5名同学，
则应从 40,60 中抽取1人，记为 A ， 80,100 中抽取4人，记为 a ， b ， c ， d ．
从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：
A,a ， A,b ， A,c ， A,d ， a,b ， a,c ， a,d ， b,c ， b,d ， c,d ，
又因为抽取的2人分数都在同一区间的结果有：
a,b ， a,c ， a,d ， b,c ， b,d ， c,d 共6种．
故所求概率 P=610=35 ．
【解析】【分析】(1)由频率之和为1求出 a ，再由频率分布直方图计算平均数；
(2)由分层抽样抽取5名同学，再由列举法得出所求概率．
19.【答案】解：(1)函数 y=1−1x+2 的图象按向量 n=2,1 平移后得到的图象对应的函数为 fx=1−1x−2+2+1=2−1x ，
则当 n∈N∗ 且 n≥2 时， an=fan−1=2−1an−1 ， bn=1an−1=12−1an−1−1=an−1an−1−1 ，
由 bn=1an−1 ，得当 n∈N∗ 且 n≥2 时， bn−1=1an−1−1 ，则 bn−bn−1=an−1an−1−1−1an−1−1=1 ，
所以 bn 是以 b1=1a1−1=−52 为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知，数列 bn 的通项公式为 bn=−52+n−1=n−72 ，
由 bn=1an−1 ，得 an=1+1bn=1+1n−72 ，即 an=1+22n−7 ，
显然当 n≥4 时， an>1 ， an+1−an=22n−5−22n−7=−4(2n−5)(2n−7)<0 ，即 an+1因此当 n≥4 时，数列 an 是递减的， 1当 n≤3 时， an<1 ，而 a1=35 ， a2=13 ， a3=−1 ，即当 n≤3 时，数列 an 是递减的， −1=a3≤an<1 ，
所以数列 an 中存在最大项 a4=3 与最小项 a3=−1 ．
【解析】【分析】(1)求出函数 fx 的解析式，进而求出数列 an 相邻两项的关系等式，再根据已知推理计算作答．
(2)由(1)求出数列 an 的通项公式，再分段讨论并结合单调性求解作答．
20.【答案】解：(1)证明：取PB中点F，连接EF，CF，
则EF= //12AB，又DC= //12AB，
∴EF= //DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE//CF，
又DE⊄̸面PBC，CF⊂面PBC，
∴DE//面PBC;
(2)证明：由题意：BC=CD=1，∠BCD=90∘，
∴BD= 2，同理AD= 2，
又AB=2，∴BD2+AD2=AB2，
∴BD⊥AD，
又面PAD⊥而ABCD，
∴BD⊥面PAD，
∵PA⊂面PAD，
∴BD⊥PA.又PA⊥PD且BD∩PD=D，
∴PA⊥面PBD;
(3)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A( 2,0,0)，B(0, 2,0)，P( 22,0, 22)，
∴DA=( 2,0,0)，DP=( 22,0, 22)，PB=(− 22, 2,− 22)，
由PQ=λPB，有DQ=DP+PQ=DP+λPB=( 22(1−λ), 2λ, 22(1−λ))，
令n=(x,y,z)是面ADQ的法向量，
则n⋅DA=0,n⋅DQ=0⇒ 2x=0, 2(1−λ)2⋅x+ 2λ⋅y+ 2(1−λ)2⋅z=0,
令y=1，有n=(0,1,2λλ−1)，
取面PAD的法向量m=(0,1,0)，
由|cs |= 55⇒λ=12.
【解析】本题考查线面的位置关系，利用空间向量求二面角，属中档题．
21.【答案】解：(1)解：联立 y=xx+2y−3 5=0 可得 x=y= 5 ，即点 P 5, 5 ，
若过点 P 的直线垂直于 x 轴，则该直线的方程为 x= 5 ，显然直线 x= 5 与圆 O 不相切，
设过点 P 且与圆 O 相切的直线的方程为 y− 5=kx− 5 ，即 kx−y− 5k+ 5=0 ，
则圆心 O 到切线的距离为 d= 5− 5k k2+1=1 ，整理可得 2k2−5k+2=0 ，解得 k1=2 ， k2=12 ，
由图可知，直线 PM 的方程为 y=12x− 5+ 5=12x+ 52 ，则直线 PN 的方程为 y=2x− 5+ 5=2x− 5 ，
在直线 PM 的方程中，令 y=0 ，可得 x=− 5 ，即点 A− 5,0 ，
在直线 PN 的方程中，令 y=0 ，可得 x= 52 ，即点 B 52,0 ，
PA= 1+122⋅− 5− 5=5 ， PB= 1+22⋅ 52− 5=52 ，
因此， PA−PB=5−52=52 ．
(2)解：分析知 M 、 N 在以 P 为圆心， PM 为半径的圆上，设 P3 5−2t,t ，
OP2=3 5−2t2+t2 ， OM2=1 ， PM2=PO2−OM2=3 5−2t2+t2−1 ，
所以，以点 P 为圆心，半径为 PM 的圆的方程为 x−3 5+2t2+y−t2=3 5−2t2+t2−1 ，
将圆 P 和圆 O 的方程作差，消去 x2 、 y2 可得 2t−3 5x−ty+1=0 ，
即 t2x−y−3 5x−1=0 ，故直线 MN 的方程为 t2x−y−3 5x−1=0 ．
由 2x−y=03 5x−1=0 可得 x= 515y=2 515 ，因此，直线 MN 过定点 515,2 515 ．
【解析】【分析】求解直线过定点问题常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
(3)求证直线过定点 x0,y0 ，常利用直线的点斜式方程 y−y0=kx−x0 或截距式 y=kx+b 来证明．
(1)求出点 P 的坐标，分析可知过点 P 且与圆 O 相切的直线的斜率存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线的斜率，求出两条切线的方程，可求得点 A 、 B 的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得 PA−PB 的值；
(2)设点 P3 5−2t,t ，写出以点 P 为圆心， PM 为半径的圆 P 的方程，将圆 P 的方程与圆 O 的方程作差，可得出直线 MN 的方程，化简直线 MN 的方程，可得出直线 MN 所过定点的坐标．
22.【答案】解：(1)由题意得2c=2，c=1，
又∵e=ca= 33，∴a= 3，∴b= 2，
∴椭圆方程为：x23+y22=1．
(2)如图所示：
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x23+y22=1y=mx− 52，得(8+12m2)x2−12 5mx−9=0，
Δ=720m2+36(8+12m2)=1152m2+288>0，
x1+x2=3 5m3m2+2，x1x2=−912m2+8，
|AB|= 1+m2|x1−x2|= 1+m2⋅ Δ8+12m2
= 1+m2⋅ 1152m2+2888+12m2
= 1+m2⋅3 8m2+22+3m2
⊙T的半径r=2 2115|AB|=2 2115⋅ 1+m2⋅3 8m2+22+3m2，n=12m，
∴直线OD的方程为：y=12mx，
联立x23+y22=1y=12mx得x2=24m28m2+3，y2=68m2+3，
|OD|= x2+y2= 24m2+68m2+3，
sin∠QOP2=rr+|OD|=11+|OD|r，
|OD|r= 24m2+68m2+32 215· 1+m2· 8m2+22+3m2
=5 7142+3m2 8m2+3· m2+1
令2+3m2=t，m2=13(t−2)，且t>2，1t∈(0,12)
则|OD|r=15 714×t (8t−7)(t+1)
=15 714×t 8t2+t−7
=15 714×1 −7t2+1t+8
=15 714×1 −7(1t−114)2+1575196
≥15 714×1415 7=1
当且仅当1t=114，t=14，即2+3m2=14，m=±2时等号成立，
sin∠QOP2≤12，因此∠QOP2≤π6，
∴∠QOP的最大值为π3，
综上所述，∠QOP的最大值为π3，此时m=±2.
【解析】本题考查椭圆的概念和标准方程、直线和椭圆的位置关系，属于难题．
(1)根据焦距易得c=1，再根据离心率为 33可得椭圆方程;
(2)将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到|AB|的表达式，再利用
|DT|=2 2115|AB|，则可得到|DT|，即圆半径r的表达式，根据mn=12，则n=12m，则将
直线OD的方程与椭圆方程联立，得到|OD|的表达式，利用sin∠QOP2=rr+|OD|，将上述
表达式代入，利用换元法结合二次函数最值得到sin∠QOP2的最值，最终得到∠QOP的最
大值．
1.已知集合A=x−1
2.关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R，则a的取值范围
( )
A. a >0B. 0
3.已知a=sinα,1，b=1,2csα，若a⊥b，则tanα−π4=( )
A. −3B. −13C. −1D. 3
4.已知圆(x−1)2+y2=4内一点P0,1，则过P点的最短弦所在的直线方程是
( )
A. x+y−1=0B. x−y+1=0C. x−y−1=0D. x=0
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为AD，C1D1的中点，O为BCC1B1侧面的中心，则异面直线MN与OD1所成角的正弦值为
( )
A. 16B. 66C. 306D. 356
6.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，过焦点F的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，设PF=2FQ，M为PQ的中点，则M到y轴的距离为
( )
A. 12B. 32C. 54D. 45
7.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圆为C：x2+y2=32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列结论不正确的是
( )
A. 椭圆Γ的离心率为 22
B. ▵MPQ面积的最大值为34a2
C. M到Γ的左焦点的距离的最小值为 6− 2a2
D. 若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2=−12
8.已知F1,F2分别为双曲线C:x24−y212=1的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点(其中点A在第一象限)，设M,N分别为▵AF1F2,▵BF1F2的内心，则ME−NE的取值范围是
( )
A. −∞,−4 33∪4 33,+∞B. −4 33,4 33
C. −3 35,3 35D. − 53, 53
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a>b>c>0，则
( )
A. ab+c>ba+cB. ac>bc
C. lgca>lgcbD. ab
A. 若|AF2|+|BF2|=m，则|AB|=4a−2m
B. 若AB的中点为M，则kOM⋅k=−b2a2
C. |AB|的最小值为2b2a
D. 若AF1⋅AF2=3c2，则椭圆的离心率的取值范围是[ 55,12]
11.已知曲线C的方程为 x2+y2=|2x+y|，圆M:x2+(y−b)2=2(b∈R)，则( )
A. 曲线C表示一条直线
B. 点(1,2)与曲线C上的点的最短距离为1
C. 当b=5 24时，曲线C与圆M有3个公共点
D. 不论b取何值，总存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与曲线C有4个公共点
12.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足DP=λDD1+μDA，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则以下说法正确的是( )
A. 当λ=μ时，BP//平面CB1D1
B. 当μ=12时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为π3
C. 当λ+μ=1时，CP长度的最小值为 62
D. 当λ+μ=1时，CP与平面BCC1B1所成的角不可能为π3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a1+a3=6，a2+a4=10，则S5=______．
14.甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是23，乙解出这道题目的概率是34，则这道题被解出(至少有一人解出来)的概率是______．
15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2,O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且F1P= 3OP，则C的渐近线方程为__________．
16.若函数fx的定义域为R，对任意的x1，x2，当x1−x2∈D时，都有fx1−fx2∈D，则称函数fx是关于D关联的.已知函数fx是关于4关联的，且当x∈−4,0时，fx=x2+6x.则：①当x∈0,4时，函数fx的值域为 ；②不等式0
17.(本小题10分)
在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3a=2csinA．
(1)求角C的大小；
(2)若c= 7，且ab=6，求△ABC的周长．
18.(本小题12分)
2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩(满分100分)，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计这50名同学的平均成绩；
(2)先用分层抽样的方法从评分在40,60和80,100的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中抽取2名，求这2名同学的分数在同一区间的概率．
19.(本小题12分)
已知函数y=1−1x+2的图象按向量n=2,1平移后得到fx的图象，数列an满足an=fan−1(n∈N∗且n≥2).
(1)若a1=35，且bn=1an−1，证明：bn是等差数列；
(2)若a1=35，试判断an中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，请说明理由．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PD=DC=BC=12AB=1，AB//CD，∠APD=∠ABC=90∘，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA中点．
(1)求证：DE//面PBC;
(2)求证：PA⊥面PBD;
(3)点Q在棱PB上，设PQ=λPB(0<λ<1)，若二面角P−AD−Q的余弦值为 55，求λ．
21.(本小题12分)
如图，已知圆O:x2+y2=1，点P为直线x+2y−3 5=0上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为M、N，且两条切线PM、PN与x轴分别交于A、B两点．
(1)当P在直线y=x上时，求PA−PB的值；
(2)当P运动时，直线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为 33，焦距为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l:y=mx− 52交椭圆于A,B两点，D是椭圆C上一点，O为坐标原点，直线OD的斜率为n，且mn=12．T是线段OD延长线上一点，且DT=2 2115AB，⊙T的半径为DT，直线OP,OQ是⊙T的两条切线，切点分别为P,Q，求∠QOP的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；
解：因为 A=x−1
故选：A
2.【答案】B
【解析】【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解．
解：要使一元二次不等式 ax2+2ax+1>0 的解集为 R ，则需满足 a>0Δ=2a2−4a<0⇒0
3.【答案】D
【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算求出 tanα ，代入两角差的正切计算可求出结果．
解：因为 a⊥b ，所以有 sinα+2csα=0 ，即 tanα=−2 ，
所以 tanα−π4=tanα−11+tanα=−3−1=3 ．
故选：D
4.【答案】B
【解析】【分析】由几何性质可知：过 P 点的最短弦所在的直线与直线 AP 垂直，求出直线 AP 的斜率，从而得到过 P 点的最短弦所在的直线的斜率，求出直线方程．
解： (x−1)2+y2=4 的圆心为 A1,0 ，半径为2，
由几何性质可知：过 P 点的最短弦所在的直线与直线 AP 垂直，
直线 AP 的斜率为 1−00−1=−1 ，故过 P 点的最短弦所在的直线的斜率为1，
故过 P 点的最短弦所在的直线方程为 y−1=x−0 ，
整理为： x−y+1=0 ．
故选：B
5.【答案】D
【解析】【分析】以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出 MN ， OD1 的坐标，由数量积求夹角公式求解．
解：如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则 M(1 ，0， 0) ， N(0 ，1， 2) ， O(1 ，2， 1) ， D1(0 ，0， 2) ，
∴ MN=(−1,1,2),OD1=(−1,−2,1) ．
则 csα=cs⟨MN,OD1⟩=(−1,1,2)⋅(−1,−2,1) 6× 6=16 ，
∴ 异面直线 MN 与 OD1 所成角的正弦弦值为 16 ，
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】先求出抛物线的焦点以及准线方程，设出点 P ， Q 的坐标，再由已知向量关系求出 P ， Q 的坐标关系，再利用点 P ， Q 在抛物线上，联立即可求解．
解：由抛物线的方程可得 F(1,0) ，准线方程为： x=−1 ，
设 P(x1 ， y1) ， Q(x2 ， y2) ，
则由 PF=2FQ 可得： (1−x1,−y1)=2(x2−1,y2) ，
所以 1−x1=2(x2−1)−y1=2y2y12=4x1y22=4x2 ，解得 x1=2,x2=12 ，
则 M 到 y 轴的距离为 12( x1+x2)=54 ，
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】对于A，取椭圆左顶点与上顶点处的切线，建立齐次方程，可得答案；
对于B，根据圆的性质，结合三角形的面积公式，可得答案；
对于C，设出点的坐标，由两点距离公式，利用函数的思想，可得答案；
对于D，设出点的坐标，代入椭圆的标准方程，利用点差法，结合两点之间斜率公式，可得答案．
解：依题意，过椭圆 Γ 的上顶点作y轴的垂线，过椭圆 Γ 的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，
所以 a2+b2=32a2 ，得 a2=2b2 ，所以椭圆 Γ 的离心率 e=ca= 1−b2a2= 22 ，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且 ∠PMQ=90∘ ，所以PQ为圆C的直径，所以 PQ=2× 32a2= 6a ，
所以 ▵MPQ 面积的最大值为 12PQ× 32a2= 6a2× 32a2=32a2 ，故B不正确；
设 Mx0,y0 ， Γ 的左焦点为 F−c,0 ，连接MF，
因为 c2=a2−b2=12a2 ，所以 MF2=x0+c2+y02=x02+y02+2x0c+c2=32a2+2x0× 22a+12a2=2a2+ 2ax0 ，
又 − 62a≤x0≤ 62a ，所以 MF2≥2− 3a2 ，
则M到 Γ 的左焦点的距离的最小值为 6− 2a2 ，故C正确；
由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设 Ax1,y1 ， Dx2,y2 ，则 B−x1,−y1 ， k1=y1−y2x1−x2 ， k2=y1+y2x1+x2 ，
又 x122b2+y12b2=1x222b2+y22b2=1 ，所以 x12−x222b2+y12−y22b2=0 ，所以 y12−y22x12−x22=y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=−12 ，所以 k1k2=−12 ，故D正确
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有 ∠EF2M=π−θ2,∠EF2N=θ2 ，将 ME−NE 表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围．
【详解】设 AF1,AF2,F1F2 上的切点分别为H､I､J，
则 |AH|=|AI|,F1H=F1J,F2J=F2I ．
由 AF1−AF2=2a ，得 |AH|+HF1−|AI|+IF2=2a ，
∴ HF1−IF2=2a ，即 JF1−JF2=2a ．
设内心M的横坐标为 x0 ，由 JM⊥x 轴得点J的横坐标也为 x0 ，则 c+x0−c−x0=2a ，
得 x0=a ，则E为直线 JM 与x轴的交点，即J与E重合．
同理可得 △BF1F2 的内心在直线 JM 上，
设直线 AB 的领斜角为 θ ，则 ∠EF2M=π−θ2,∠EF2N=θ2 ，
|ME|−|NE|=(c−a)tanπ−θ2−(c−a)tanθ2
=(c−a)⋅csθ2sinθ2−sinθ2csθ2=(c−a)2csθsinθ=(c−a)2tanθ ，
当 θ=π2 时， |ME|−|NE|=0 ；
当 θ≠π2 时，由题知， a=2,c=4,ba= 3 ，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴ π3<θ<2π3 ，且 θ≠π2 ，所以 tanθ<− 3 或 tanθ> 3 ，
∴ − 33<1tanθ< 33 且 1tanθ≠0 ，
∴ |ME|−|NE|=4tanθ∈−4 33,0∪0,4 33 ，
综上所述， |ME|−|NE|=4tanθ∈−4 33,4 33 ．
故选：B．
【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有 ∠EF2M=π−θ2,∠EF2N=θ2 ，将 ME−NE 表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围．
解：设 AF1,AF2,F1F2 上的切点分别为H､I､J，
则 |AH|=|AI|,F1H=F1J,F2J=F2I ．
由 AF1−AF2=2a ，得 |AH|+HF1−|AI|+IF2=2a ，
∴ HF1−IF2=2a ，即 JF1−JF2=2a ．
设内心M的横坐标为 x0 ，由 JM⊥x 轴得点J的横坐标也为 x0 ，则 c+x0−c−x0=2a ，
得 x0=a ，则E为直线 JM 与x轴的交点，即J与E重合．
同理可得 △BF1F2 的内心在直线 JM 上，
设直线 AB 的领斜角为 θ ，则 ∠EF2M=π−θ2,∠EF2N=θ2 ，
|ME|−|NE|=(c−a)tanπ−θ2−(c−a)tanθ2
=(c−a)⋅csθ2sinθ2−sinθ2csθ2=(c−a)2csθsinθ=(c−a)2tanθ ，
当 θ=π2 时， |ME|−|NE|=0 ；
当 θ≠π2 时，由题知， a=2,c=4,ba= 3 ，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴ π3<θ<2π3 ，且 θ≠π2 ，所以 tanθ<− 3 或 tanθ> 3 ，
∴ − 33<1tanθ< 33 且 1tanθ≠0 ，
∴ |ME|−|NE|=4tanθ∈−4 33,0∪0,4 33 ，
综上所述， |ME|−|NE|=4tanθ∈−4 33,4 33 ．
故选：B．
9.【答案】AB
【解析】【分析】根据不等式的性质运算判定选项AB，举反例判断D，根据对数的单调性确定C．
解：对于选项A：
∵a>b ，且 c>0 ，
∴ac>bc ，
∴ab+ac>ab+bc ，
∴ab+c>ba+c ，
故A正确；
对于选项B：
∵a>b ，且 c>0 ，
∴ac>bc ，
故B正确；
对于选项C：
∵a>b ，
当 0
对于选项D：
设 a=16 ， b=2 ， c=0.5 ，
则 ab=8>bc=4 ，
故D错误；
故选：AB．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了求椭圆的离心率(或取值范围)，椭圆的中点弦问题与椭圆的弦长的问题，属于中档题。
【解答】
解：A:直线l:y=k(x+c)(k∈R)恒过(−c,0)点，即左焦点，
由椭圆的定义可知：△ABF2的周长为：
AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2= 2a+ 2a=4a，∴|AB|=4a−m
所以：A不正确
B:设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以有
x12a2+y12b2=1(1)x22a2+y22b2=1(2)(1)−(2)⇒x12−x22a2=y12−y22b2⇒y12−y22x12−x22=b2a2
设M(x0,y0)，因为AB的中点为M，所以x0=x1+x22，y0=y1+y22，
因此kOM⋅k=y0x0．y1−y2x1−x2=y1+y22x1+x22y1−y2x1−x2=y12−y22x12−x22=−b2a2，所以B正确：
C:因为直线l:y=k(x+c)(k∈R)过定点(−c,0)，但是不包括直线x=−c，
因为只有当x=−c时，AB才有最小值，所以C不正确：
D:⋅AF1AF2=(−c−x1,y1)⋅(c−x1,y1)=x12+y12−c2=3c2⇒x12+y12=4c2，
而x12a2+y12b2=1⇒y12=b2(1−x12a2)，所以有x12+b2(1−x12a2)=4c2⇒x12=a2(4c2−b2)c2，
显然4c2−b2≥0⇒4c2−a2+c2≥0⇒e≥ 55
而a2(4c2−b2)c2≤a2⇒4c2−a2+c2≤c2⇒4c2≤a2⇒e≤12，
所以 55≤e≤12，故本选项说法正确．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系的判断及求参，圆与圆位置关系，点到直线的距离，属于中档题．
化简曲线C可判断A，结合点到直线距离可判断B，结合圆心到直线距离可判断C，结合两圆内切时圆N半径可以无限大判断D．
【解答】
解：由 x2+y2=|2x+y|，得x2+y2=4x2+y2+4xy，整理得x3x+4y=0，
得x=0或3x+4y=0，所以曲线C表示两条直线，则A错误；
点(1,2)到两直线的距离分别为1，3+85=115，所以点(1,2)与曲线C上的点的最短距离为1，B正确；
当b=5 24时，圆心在y轴上，所以与x=0有2个公共点，
又圆心到直线3x+4y=0的距离为0+4×5 245= 2，
所以直线3x+4y=0与圆相切，有1个公共点，
则当b=5 24时，曲线C与圆M有3个公共点，C正确；
不论b取何值，总存在圆N，使得圆N与圆M相内切，圆N在圆M外，圆N半径可以无限大，则圆N与两线x=0或3x+4y=0都相交，圆N与曲线C有4个公共点，所以D正确．
故选BCD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查共线向量基本定理的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．
当λ=μ时，P的轨迹为线段DA1，证明BP//平面CB1D1即可判断A；当μ=12时，点P的轨迹为线段EF，可得当P与E重合时，DP与直线CB1所成角最大，求出最大角判断B；当λ+μ=1时，P点轨迹为线段D1A，分别求出CP长度的最小值与CP与平面BCC1B1所成的角正切值的最大值判断C与D．
【解答】
解：当λ=μ时，如图(1)，P的轨迹为线段DA1，
由正方体的结构特征，可知平面CB1D1//平面A1BD，而BP⊂平面A1BD，
∴BP//平面CB1D1，故A正确；
当μ=12时，如图(1)，点P的轨迹为线段EF，直线CB1//直线DA1，
当P与E重合时，DP与直线DA1所成角最大，即DP与直线CB1所成角最大，最大为π4，
故B错误；
当λ+μ=1时，如图(2)，P点轨迹为线段D1A，当P为D1A的中点时，
CP长度最小，
此时CP= 12+( 22)2= 62，故C正确；
当点P在线段D1A上运动时，P在平面BB1C1C上的射影在C1B上，
P到平面BB1C1C的距离为定值为1，
当P为D1A的中点时，CP的射影最短，
则CP与平面BCC1B1所成的角的正切值最大，
其正切值为1 22= 2< 3，
∴CP与平面BCC1B1所成的角不可能为π3，故D正确．
故选：ACD．
13.【答案】25
【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列 an 的公差，进而求出第5项即可计算作答．
解：等差数列 an 中，由 a1+a3=6 ， a2+a4=10 得： 2a2=6 ， 2a3=10 ，即有 a2=3,a3=5 ，
因此数列 an 的公差 d=a3−a2=2 ， a5=a3+2d=9 ，
所以 S5=a1+a2+a3+a4+a5=6+10+9=25 ．
故答案为：25
14.【答案】1112
【解析】【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出(至少有一人解出来)的概率 P=1−PA
解：设数学题没被解出来为事件A，则 PA=1−23⋅1−34=112 ．
故这道题被解出(至少有一人解出来)的概率 P=1−PA =1−112=1112 ．
故答案为： 1112
15.【答案】y=± 3x
【解析】【分析】由题意得 OF1=OP ，再根据等腰三角形得角的大小，即可求出答案．
解：由题意知 OF1=OP ， F1P= 3OP ， ∴∠PF1O=30∘ ， ∴∠POF2=60∘
y=± 3x
故答案为： y=± 3x ．
16.【答案】−5,4； 5+1,2 2+1∪6,7
【解析】【分析】
本题主要考查的是函数的定义域与值域，属于难题．
由函数fx是关于4关联可得，当x2−x1=4时，fx2−fx1=4，当x1∈−4,0时，x2=x1+4∈0,4，此时fx1=x12+6x1∈−9,0，由fx2=fx1+4即可求出函数fx在0,4上的值域；分x1∈−4,0,x2=x1+4∈0,4，x3=x1+8∈4,8,x4=x1+12∈8,12，x∈12,+∞几种情况考虑，将不等式0
解：①.由函数fx是关于4关联可得：当x2−x1=4时，fx2−fx1=4．
当x1∈−4,0时，fx1=x12+6x1∈−9,0,
当x2=x1+4∈0,4时，fx2=fx1+4∈−5,4，即当x∈0,4时，函数fx的值域为−5,4；
②.由①可知，当x1∈−4,0时，fx1=x12+6x1∈−9,0，显然不满足0
因为sinA>0，故sinC= 32．
又∵△ABC为锐角三角形，所以C=π3．
(2)由余弦定理a2+b2−2abcsπ3=7，
∵ab=6，得a2+b2=13，
解得：a=2b=3或a=3b=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=5+ 7．
【解析】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
(1)将 3a=2csinA根据正弦定理边角互化即可求解；
(2)根据余弦定理求得a、b的值即可求周长．
18.【答案】解：(1)由已知 0.04+10a+0.22+0.28+0.22+0.18=1 ，∴ a=0.006 ，
记平均成绩为 x ， x=0.04×45+0.06×55+0.22×65+0.28×75+0.22×85+0.18×95=76.2 ．
(2)先用分层抽样的方法从分数在 40,60 和 80,100 的同学中抽取5名同学，
则应从 40,60 中抽取1人，记为 A ， 80,100 中抽取4人，记为 a ， b ， c ， d ．
从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：
A,a ， A,b ， A,c ， A,d ， a,b ， a,c ， a,d ， b,c ， b,d ， c,d ，
又因为抽取的2人分数都在同一区间的结果有：
a,b ， a,c ， a,d ， b,c ， b,d ， c,d 共6种．
故所求概率 P=610=35 ．
【解析】【分析】(1)由频率之和为1求出 a ，再由频率分布直方图计算平均数；
(2)由分层抽样抽取5名同学，再由列举法得出所求概率．
19.【答案】解：(1)函数 y=1−1x+2 的图象按向量 n=2,1 平移后得到的图象对应的函数为 fx=1−1x−2+2+1=2−1x ，
则当 n∈N∗ 且 n≥2 时， an=fan−1=2−1an−1 ， bn=1an−1=12−1an−1−1=an−1an−1−1 ，
由 bn=1an−1 ，得当 n∈N∗ 且 n≥2 时， bn−1=1an−1−1 ，则 bn−bn−1=an−1an−1−1−1an−1−1=1 ，
所以 bn 是以 b1=1a1−1=−52 为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知，数列 bn 的通项公式为 bn=−52+n−1=n−72 ，
由 bn=1an−1 ，得 an=1+1bn=1+1n−72 ，即 an=1+22n−7 ，
显然当 n≥4 时， an>1 ， an+1−an=22n−5−22n−7=−4(2n−5)(2n−7)<0 ，即 an+1
所以数列 an 中存在最大项 a4=3 与最小项 a3=−1 ．
【解析】【分析】(1)求出函数 fx 的解析式，进而求出数列 an 相邻两项的关系等式，再根据已知推理计算作答．
(2)由(1)求出数列 an 的通项公式，再分段讨论并结合单调性求解作答．
20.【答案】解：(1)证明：取PB中点F，连接EF，CF，
则EF= //12AB，又DC= //12AB，
∴EF= //DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE//CF，
又DE⊄̸面PBC，CF⊂面PBC，
∴DE//面PBC;
(2)证明：由题意：BC=CD=1，∠BCD=90∘，
∴BD= 2，同理AD= 2，
又AB=2，∴BD2+AD2=AB2，
∴BD⊥AD，
又面PAD⊥而ABCD，
∴BD⊥面PAD，
∵PA⊂面PAD，
∴BD⊥PA.又PA⊥PD且BD∩PD=D，
∴PA⊥面PBD;
(3)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A( 2,0,0)，B(0, 2,0)，P( 22,0, 22)，
∴DA=( 2,0,0)，DP=( 22,0, 22)，PB=(− 22, 2,− 22)，
由PQ=λPB，有DQ=DP+PQ=DP+λPB=( 22(1−λ), 2λ, 22(1−λ))，
令n=(x,y,z)是面ADQ的法向量，
则n⋅DA=0,n⋅DQ=0⇒ 2x=0, 2(1−λ)2⋅x+ 2λ⋅y+ 2(1−λ)2⋅z=0,
令y=1，有n=(0,1,2λλ−1)，
取面PAD的法向量m=(0,1,0)，
由|cs
【解析】本题考查线面的位置关系，利用空间向量求二面角，属中档题．
21.【答案】解：(1)解：联立 y=xx+2y−3 5=0 可得 x=y= 5 ，即点 P 5, 5 ，
若过点 P 的直线垂直于 x 轴，则该直线的方程为 x= 5 ，显然直线 x= 5 与圆 O 不相切，
设过点 P 且与圆 O 相切的直线的方程为 y− 5=kx− 5 ，即 kx−y− 5k+ 5=0 ，
则圆心 O 到切线的距离为 d= 5− 5k k2+1=1 ，整理可得 2k2−5k+2=0 ，解得 k1=2 ， k2=12 ，
由图可知，直线 PM 的方程为 y=12x− 5+ 5=12x+ 52 ，则直线 PN 的方程为 y=2x− 5+ 5=2x− 5 ，
在直线 PM 的方程中，令 y=0 ，可得 x=− 5 ，即点 A− 5,0 ，
在直线 PN 的方程中，令 y=0 ，可得 x= 52 ，即点 B 52,0 ，
PA= 1+122⋅− 5− 5=5 ， PB= 1+22⋅ 52− 5=52 ，
因此， PA−PB=5−52=52 ．
(2)解：分析知 M 、 N 在以 P 为圆心， PM 为半径的圆上，设 P3 5−2t,t ，
OP2=3 5−2t2+t2 ， OM2=1 ， PM2=PO2−OM2=3 5−2t2+t2−1 ，
所以，以点 P 为圆心，半径为 PM 的圆的方程为 x−3 5+2t2+y−t2=3 5−2t2+t2−1 ，
将圆 P 和圆 O 的方程作差，消去 x2 、 y2 可得 2t−3 5x−ty+1=0 ，
即 t2x−y−3 5x−1=0 ，故直线 MN 的方程为 t2x−y−3 5x−1=0 ．
由 2x−y=03 5x−1=0 可得 x= 515y=2 515 ，因此，直线 MN 过定点 515,2 515 ．
【解析】【分析】求解直线过定点问题常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
(3)求证直线过定点 x0,y0 ，常利用直线的点斜式方程 y−y0=kx−x0 或截距式 y=kx+b 来证明．
(1)求出点 P 的坐标，分析可知过点 P 且与圆 O 相切的直线的斜率存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线的斜率，求出两条切线的方程，可求得点 A 、 B 的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得 PA−PB 的值；
(2)设点 P3 5−2t,t ，写出以点 P 为圆心， PM 为半径的圆 P 的方程，将圆 P 的方程与圆 O 的方程作差，可得出直线 MN 的方程，化简直线 MN 的方程，可得出直线 MN 所过定点的坐标．
22.【答案】解：(1)由题意得2c=2，c=1，
又∵e=ca= 33，∴a= 3，∴b= 2，
∴椭圆方程为：x23+y22=1．
(2)如图所示：
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x23+y22=1y=mx− 52，得(8+12m2)x2−12 5mx−9=0，
Δ=720m2+36(8+12m2)=1152m2+288>0，
x1+x2=3 5m3m2+2，x1x2=−912m2+8，
|AB|= 1+m2|x1−x2|= 1+m2⋅ Δ8+12m2
= 1+m2⋅ 1152m2+2888+12m2
= 1+m2⋅3 8m2+22+3m2
⊙T的半径r=2 2115|AB|=2 2115⋅ 1+m2⋅3 8m2+22+3m2，n=12m，
∴直线OD的方程为：y=12mx，
联立x23+y22=1y=12mx得x2=24m28m2+3，y2=68m2+3，
|OD|= x2+y2= 24m2+68m2+3，
sin∠QOP2=rr+|OD|=11+|OD|r，
|OD|r= 24m2+68m2+32 215· 1+m2· 8m2+22+3m2
=5 7142+3m2 8m2+3· m2+1
令2+3m2=t，m2=13(t−2)，且t>2，1t∈(0,12)
则|OD|r=15 714×t (8t−7)(t+1)
=15 714×t 8t2+t−7
=15 714×1 −7t2+1t+8
=15 714×1 −7(1t−114)2+1575196
≥15 714×1415 7=1
当且仅当1t=114，t=14，即2+3m2=14，m=±2时等号成立，
sin∠QOP2≤12，因此∠QOP2≤π6，
∴∠QOP的最大值为π3，
综上所述，∠QOP的最大值为π3，此时m=±2.
【解析】本题考查椭圆的概念和标准方程、直线和椭圆的位置关系，属于难题．
(1)根据焦距易得c=1，再根据离心率为 33可得椭圆方程;
(2)将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到|AB|的表达式，再利用
|DT|=2 2115|AB|，则可得到|DT|，即圆半径r的表达式，根据mn=12，则n=12m，则将
直线OD的方程与椭圆方程联立，得到|OD|的表达式，利用sin∠QOP2=rr+|OD|，将上述
表达式代入，利用换元法结合二次函数最值得到sin∠QOP2的最值，最终得到∠QOP的最
大值．
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