湖北省恩施州高中教育联盟2022-2023学年高二上学期期末数学试题

恩施州高中教育联盟2022年秋季学期高二期末考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修一、必修二，选修一至选修二第四章数列。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.关于的一元二次不等式的解集为，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

3.已知，，若，则（    ）

A. B. C. D.3

4.已知圆内一点，则过点的最短弦所在的直线方程是（    ）

A. B. C. D.

5.在正方体中，，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

6.已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，，设，为的中点，则到轴的距离为（    ）

A. B. C. D.

7.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与另交于，两点，直线交于，两点，则下列结论不正确的是（    ）

A.的离心率为

B.若动点在上，分别记直线，的斜率为，，则

C.到左焦点的距离的最小值为

D.面积的最大值为

8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心，则的取值范围是（    ）

A. B.

C.  D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10.已知椭圆的左、右焦点分别是，，其中，直线与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（    ）

A.若，则

B.若的中点为，则

C.的最小值为

D.若，则椭圆的离心率的取值范围是

11.已知曲线的方程为，圆，则（    ）

A.曲线表示一条直线

B.点与曲线上的点的最短距离为1

C.当时，曲线与圆有3个公共点

D.不论取何值，总存在圆，使得圆与圆相切，且圆与曲线有4个公共点

12.在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ）

A.当时，平面

B.当时，存在唯一的点，使得与直线的夹角为

C.当时，长度的最小值为

D.当时，与平面所成的角不可能为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列的前项和为，且满足：，，则______.

14.甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是______.

15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的渐近线方程为______.

16.若函数的定义域为，对任意的，，当时，都有，则称是关于关联的.已知是关于关联的，且当时，，则①当时，的值域为______；②不等式的解集为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在锐角中，，，的对边分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且，求的周长.

18.（12分）

2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50人，统计他们的成绩（满分：100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名同学的平均成绩；

（2）先用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中抽取2名，求这2名同学的分数在同一区间的概率.

19.（12分）

已知函数的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）.

（1）若，且，证明：是等差数列；

（2）若，试判断中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，请说明理由.

20.（12分）

如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）点在棱上，设，若二面角的余弦值为，求.

21.（12分）

如图，已知圆，为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，且两条切线，与轴分别交于，两点.

（1）当在直线上时，求的值；

（2）当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

22.（12分）

在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线交椭圆于，两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，，是的两条切线，切点分别为，，求的最大值.

恩施州高中教育联盟2022年秋季学期高二期末考试

数学参考答案

一、单选题.

1.A  2.C  3.D  4.B  5.D  6.C  7.D  8.B

二、多选题.

9.AB  10.BD  11.BCD  12.ACD

三、填空题.

13.25   14.   15.   16.；

四、解答题.

17.解：（1）由及正弦定理得.

因为，所以.又为锐角三角形，所以.

（2）由余弦定理，因为，所以，

解得或故的周长为.

18.解：（1）由已知，得，

记平均成绩为，.

（2）先用分层抽样的方法从分数在和的同学中抽取5名同学，

则应从中抽取1人，记为，从中抽取4人，记为，，，.

从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种：，，，，，，，，，.

又因为抽取的2人分数都在同一区间的结果共有6种：，，，，，.

故所求概率.

19.（1）证明：函数的图象按向量平移后得到的图象对应的函数为

，则（且），

.

由，可得，则（且），

所以是以为首项，1为公差的等差数列.

（2）解：由（1）知，数列的通项公式为，

由，可得，则.

构造函数，易知其在区间与上均为严格减函数，

若，则，且在上为严格减函数，则当时，取最小值；

若，则，且在上为严格减函数，则当时，取最大值.

故中存在最大项与最小项.

20.（1）证明：取的中点，连接，，则，，

又，，∴，，

∴四边形是平行四边形，∴.

又平面，平面，∴平面.

（2）证明：连接，由题意得，，∴，同理，

又，∴，∴，

又平面平面，∴平面，∴.

又且平面，平面，，∴平面.

（3）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，

由，有，

令是平面的法向量，则

令，有，取平面的一个法向量，

由，解得.

21.解：（1）联立方程组解得，即点.

若过点的直线垂直于轴，则该直线的方程为，显然直线与圆不相切.

设过点且与圆相切的直线的方程为，即，

则圆心到切线的距离为，整理可得，解得，.

由图可知，直线的方程为，

则直线的方程为.

在直线的方程中，令，可得，即点，

在直线的方程中，令，可得，即点，

，，因此.

（2）由题意可知，在以为圆心，为半径的圆上，设，

则，，，

所以以点为圆心，为半径的圆的方程为，

将圆和圆的方程作差，消去，可得，

即，故直线的方程为.

由可得因此，直线过定点.

22.解：（1）由题意得，即，

∵，∴，∴，∴椭圆的方程为.

（2）设，，联立得，

，，，

，

，，

∵直线的方程为，联立得，，

，，

，

令，，且，，

则

，

当且仅当，，即，时，等号成立，

，∴，∴的最大值为，∴的最大值为，此时.